二次函数对称性.doc

一）、教学内容
1. 二次函数的解析式六种形式
① 一般式 y=ax2 +bx+c(a≠0)
② 顶点式 （a≠0已知顶点）
③ 交点式 （a≠0已知二次函数与X轴的交点）
④ y=ax2 (a≠0) (顶点在原点)
⑤ y=ax2+c (a≠0) (顶点在y轴上)
⑥ y= ax2 +bx (a≠0) (图象过原点)
2. 二次函数图像与性质

y
x
O
对称轴：
顶点坐标：
与y轴交点坐标（0，c）

增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大
当a<0时对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小
☆ 二次函数的对称性
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c(a≠0)
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c(a≠0)

当a>0时，离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；
当a<0时，离对称轴越远函数值越小，离对称轴越近函数值越大；

【典型例题】
题型 1 求二次函数的对称轴

1、 二次函数y=-mx+3的对称轴为直线x=3，则m=________。

2、 二次函数的图像上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（ ） （A） （B） （C） （D）
3、 y=2x-4的顶点坐标为___ _____，对称轴为__________。
4、 如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1．求它与x轴的另一个交点的坐标（ ， ）

–1
1
3
O

5、抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D.或

–1
3
3

1
6、如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为 （ ）
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2

题型2 比较二次函数的函数值大小
1、、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（ ）
（A）a+c    （B）a-c    （C）-c    （D）c
2、 若二次函数的图像开口向上，与x轴的交点为（4，0），（-2，0）知，此抛物线的对称轴为直线x=1此时时，对应的y1 与y2的大小关系是（ ）
A．y1 y2 D.不确定
点拨：本题可用两种解法
解法1：利用二次函数的对称性以及抛物线上函数值y随x的变化规律确定：a>0时，抛物线上越远离对称轴的点对应的函数值越大；a<0时，抛物线上越靠近对称轴的点对应的函数值越大
解法2：求值法：将已知两点代入函数解析式，求出a，b的值 再把横坐标值代入求出y1 与y2 的值，进而比较它们的大小
变式1：已知二次函数上两点，试比较的大小

变式2：已知二次函数上两点，试比较的大小

变式3：已知二次函数的图像与的图像关于y轴对称，是前者图像上的两点，试比较的大小

题型3 与二次函数的图象关于x、y轴对称：
二次函数是轴对称图形，有这样一个结论：当横坐标为x1, x2 其对应的纵坐标相等那么对称轴:
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 y轴对称的函数解析式：y=ax2 -bx+c(a≠0)
与抛物线y=ax2 +bx+c(a≠0)关于 x轴对称的函数解析式：y=-ax2 –bx-c(a≠0)

1、把抛物线y=-2x2+4x+3沿x轴翻折后，则所得的抛物线关系式为____ ____
2、与y= -3x+关于Y轴对称的抛物线________________
3、求将二次函数的图象绕着顶点旋转180°后得到的函数图象的解析式。

4、在平面直角坐标系中，先将抛物线关于轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（ ）
A． B．
C．　 D．
5、如图，已知抛物线l1:y=-x2+2x与x轴分别交于A、O两点，顶点为M.将抛物线l1关于y轴对称到抛物线l2.则抛物线l2过点O，与x轴的另一个交点为B，顶点为N，连接AM、MN、NB，则四边形AMNB的面积
A.3 B.6 C.8 D.10

x
A
y
O
B
M
N
C

l1
l2

题型4 二次函数图象的翻折
1、如图，已知抛物线与x轴分别交于A、B两点，顶点为M．将抛物线l1沿x轴翻折后再向左平移得到抛物线l2．若抛物线l2过点B，与x轴的另一个交点为C，顶点为N，则四边形AMCN的面积为
A．32 B．16 C．50 D．40

（二）.教学辅助练习
一、选择
1、若二次函数，当x取，（≠）时，函数值相等，则当x取+时，函数值为（ ）
（A）a+c    （B）a-c    （C）-c    （D）c

2、已知抛物线与轴交于两点，则线段的长度为（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

–1
1
3
O

3、抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取
值范围是（ ）
A. B.
C. 或 D.或
4、小明从右边的二次函数图象中，观察得
出了下面的五条信息：
①，②，③函数的最小值为，④当时，
，⑤当时，．你认为其中正确 的个数为（　　）
Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5

5、小颖在二次函数y=2x2+4x+5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y1)，(，y2)，
(－3，y3)，则你认为y1，y2，y3的大小关系应为（　　　）
A.y1>y2>y3 B.y2>y3>y1 C.y3>y1>y2 D.y3>y2>y1
6、下列四个函数：①y=2x；②；③y=3-2x；④y=2x2+x(x≥0)，其中，在自变量x的
允许取值范围内，y随x增大而增大的函数的个数为(　 )
　　A. 1　　 B. 2　　 C. 3 　　D. 4
7、已知二次函数的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（　　　）
Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.3　
8、如图，抛物线的对称轴是直线，且经过点（3，0），则的值为
A. 0 B. －1 C. 1 D. 2
二、填空
1、已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·
2、已知二次函数，其中满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线　　　　　．
4、一元二次方程的两根为，，且，点在抛物
线上则点关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为 ．
5、抛物线的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=
6、y=a+5与X轴两交点分别为（x1 ,0），（x2 ,0） 则当x=x1 +x2时，y值为____
7、请你写出一个的值，使得函数在第一象限内的值随着的值增大而增大，则可以是 ．
8、当时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是 　（只填写序号）①；②；③；④
9、一个关于x的函数同时满足如下三个条件
①x为任何实数，函数值y≤2都能成立；
②当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；
③当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；
符合条件的函数的解析式可以是 。
10、已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用 “<”排列是 .
（三）、作业布置。

5、在平面直角坐标系xOy中，二次函数C1:y=ax2+bx+c的图象与C2:y=2x2-4x+3的图象关于y轴对称，且C1与直线y=mx+2交与点A(n，1).试确定m的值.

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