二次函数-矩形的存在性问题-含答案.doc

二次函数中矩形的存在性问题
1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

3. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．
（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．

5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A(0，－3)，B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，在四边形PMON上分别截取
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

参考答案
1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC．
（1）求直线BD的解析式；
（2）求△OFH的面积；
（3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点
D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，
请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

1. 分析： （1）解方程可求得OC、BC的长，可求得B、D的坐标，
利用待定系数法可求得直线BD的解析式；
（2）可求得E点坐标，求出直线OE的解析式，联立直线BD、OE解析式可求得H点的横坐标，可求得△OFH的面积；
（3）当△MFD为直角三角形时，可找到满足条件的点N，分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况，分别求得M点的坐标，可分别求得矩形对角线的交点坐标，再利用中点坐标公式可求得N点坐标．
解答： 解：（1）解方程x2﹣6x+8=0可得x=2或x=4，∵BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC，
∴BC=2，OC=4，∴B（﹣2，4），∵△ODE是△OCB绕点O顺时针旋转90°得到的，
∴OD=OC=4，DE=BC=2，∴D（4，0），设直线BD解析式为y=kx+b，
把B、D坐标代入可得，解得，∴直线BD的解析式为y=﹣x+；
（2）由（1）可知E（4，2），设直线OE解析式为y=mx，
把E点坐标代入可求得m=，
∴直线OE解析式为y=x，令﹣x+=x，
解得x=，∴H点到y轴的距离为，
又由（1）可得F（0，），∴OF=，∴S△OFH=××=；
（3）∵以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形，
∴△DFM为直角三角形，
①当∠MFD=90°时，则M只能在x轴上，连接FN交MD于点G，如图1，
由（2）可知OF=，OD=4，则有△MOF∽△FOD，
∴=，即=，解得OM=，∴M（﹣，0），且D（4，0），∴G（，0），
设N点坐标为（x，y），则0，解得x=，y=﹣，此时N点坐标为（，﹣）；
②当∠MDF=90°时，则M只能在y轴上，连接DN交MF于点G，如图2，
则有△FOD∽△DOM，
∴=，即=，解得OM=6，
∴M（0，﹣6），且F（0，），
∴MG=MF=，则OG=OM﹣MG=6﹣=，
∴G（0，﹣），
设N点坐标为（x，y），则=0，=﹣，
解得x=﹣4，y=﹣，此时N（﹣4，﹣）；
③当∠FMD=90°时，则可知M点为O点，如图3，
∵四边形MFND为矩形，
∴NF=OD=4，ND=OF=，可求得N（4，）；
综上可知存在满足条件的N点，其坐标为（，﹣）或（﹣4，﹣）或（4，）．
2. (2015 重庆市綦江县) 如图，抛物线与x轴交与A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C. 点D和点C关于抛物线的对称轴对称，直线AD与y轴相交于点E.
（1）求直线AD的解析式；
（2）如图1，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FG⊥AD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求△FGH的周长的最大值；
（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标.

答案解：⑴AD：
⑵过点F作x轴的垂线，交直线AD于点M，易证△FGH≌△FGM
故
设
则FM=
则 C=
故最大周长为
⑶①若AP为对角线
如图，由△PMS∽△MAR可得由点的平移可知故Q点关于直线AM的对称点T为
②若AQ为对角线

如图，同理可知P由点的平移可知Q故Q点关于直线AM的对称点T为
3. (2016 山东省东营市) 】．】．在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′．
（1）若抛物线经过点C、A、A′，求此抛物线的解析式；
（2）点M时第一象限内抛物线上的一动点，问：当点M在何处时，
△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并求出此时M的坐标；
（3）若P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，点Q坐标为
（1，0），当P、N、B、Q构成平行四边形时，求点P的坐标，
当这个平行四边形为矩形时，求点N的坐标．

分析（1）由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，
得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），
可求得点A′的坐标，然后利用待定系数法即可求得经
过点C、A、A′的抛物线的解析式；
（2）首先连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式，再设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），继而可得△AMA′的面积，继而求得答案；
（3分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案．
解答解：（1）∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°，得到平行四边形A′B′OC′，且点A的坐标是（0，4），
∴点A′的坐标为：（4，0），
∵点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），抛物线经过点C、A、A′，
设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c，
∴，解得：，∴此抛物线的解析式为：y=﹣x2+3x+4；
（2）连接AA′，设直线AA′的解析式为：y=kx+b，
∴，解得：，∴直线AA′的解析式为：y=﹣x+4，
设点M的坐标为：（x，﹣x2+3x+4），
则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣（﹣x+4）]=﹣2x2+8x=﹣2（x﹣2）2+8，
∴当x=2时，△AMA′的面积最大，最大值S△AMA′=8，
∴M的坐标为：（2，6）；
（3）设点P的坐标为（x，﹣x2+3x+4），当P，N，B，Q构成平行四边形时，
∵平行四边形ABOC中，点A、C的坐标分别是（0，4）、（﹣1，0），
∴点B的坐标为（1，4），
∵点Q坐标为（1，0），P为抛物线上一动点，N为x轴上的一动点，
①当BQ为边时，PN∥BQ，PN=BQ，∵BQ=4，∴﹣x2+3x+4=±4，
当﹣x2+3x+4=4时，解得：x1=0，x2=3，∴P1（0，4），P2（3，4）；
当﹣x2+3x+4=﹣4时，解得：x3=，x2=，
∴P3（，﹣4），P4（，﹣4）；
②当PQ为对角线时，BP∥QN，BP=QN，此时P与P1，P2重合；
综上可得：点P的坐标为：P1（0，4），P2（3，4），P3（，﹣4），P4（，﹣4）；
如图2，当这个平行四边形为矩形时，点N的坐标为：（0，0）或（3，0）．

4. (2016 贵州省毕节地区) 如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A（a，8）、B两点，点P是抛物线上A、B之间的一个动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C为AB中点，求PC的长；
（3）如图，以PC，PE为边构造矩形PCDE，
设点D的坐标为（m，n），请求出m，n之间的关系式．
分析（1）把A点坐标代入直线方程可求得a的值，再代入抛物线可求得b的值，可求得抛物线解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，可知OC=AQ=4，可求得C点坐标，结合条件可知P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标，从而可求得PC的长；
（3）根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标，根据DE=CP，可得到m、n的关系式．
解：（1）∵A（a，8）是抛物线和直线的交点，∴A点在直线上，
∴8=2a+4，解得a2，∴A点坐标为（2，8），又A点在抛物线上，
∴8=22+2b，解得b=2，∴抛物线解析式为y=x2+2x；
（2）联立抛物线和直线解析式可得，
解得，，
∴B点坐标为（﹣2，0），
如图，过A作AQ⊥x轴，交x轴于点Q，

则AQ=8，OQ=OB=2，即O为BQ的中点，
当C为AB中点时，则OC为△ABQ的中位线，即C点在y轴上，
∴OC=AQ=4，∴C点坐标为（0，4），
又PC∥x轴，∴P点纵坐标为4，
∵P点在抛物线线上，
∴4=x2+2x，解得x=﹣1﹣或x=﹣1，
∵P点在A、B之间的抛物线上，
∴x=﹣1﹣不合题意，舍去，
∴P点坐标为（﹣1，4
∴PC=﹣1﹣0=﹣1；
（3）∵D（m，n），且四边形PCDE为矩形，
∴C点横坐标为m，E点纵坐标为n，
∵C、E都在直线y=2x+4上，
∴C（m，2m+4），E（，n），
∵PC∥x轴，
∴P点纵坐标为2m+4，
∵P点在抛物线上，
∴2m+4=x2+2x，整理可得2m+5=（x+1）2，解得x=﹣1或x=﹣﹣1（舍去），
∴P点坐标为（﹣1，2m+4），
∴DE=﹣m，CP=﹣1﹣m，
∵四边形PCDE为矩形，
∴DE=CP，即﹣m=﹣1﹣m，
整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0，
即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0．
5. (2013 湖南省常德市) 如图，已知二次函数的图象过点A(0，－3)，
B（），对称轴为直线，点P是抛物线上的一动点，
过点P分别作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，
在四边形PMON上分别截取
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求证：以C，D，E，F为顶点的四边形CDEF是平行四边形；
（3）在抛物线上是否存在这样的点P，使四边形CDEF为矩形？
若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由.

解：（1）设二次函数的解析式为,将点A（0，-3）、B（）、对称轴方程分别代入可得：，解得∴此二次函数的解析式为.
（2）证明：如图连接CD，DE，EF，FC∵PM⊥x轴，PN⊥y轴，
∴四边形OMPN是矩形.∴MP=ON，OM=PN.
又
∴∴△CMD△ENF,同理△ODE△FPC(SAS),
∴CF=ED，CD=EF.,∴四边形CDEF是平行四边形.
（3）如图，作CQ⊥y轴于点Q，设P点坐标为，
则∴.∴在Rt△ECQ中，
当CD⊥DE时，

本题用相似更简单！
6．如图所示，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图所示，直线BC下方的抛物线上有一点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF平行于x轴交直线BC于点F，求△PEF周长的最大值；
（3）已知点M是抛物线的顶点，点N是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，若点P是抛物线上一点，且位于抛物线的对称轴右侧，是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形？若存在，直接写出点P的横坐标；若不存在，说明理由．

【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0）两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3，
得到，
解得，
∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3．
（2）如图1中，连接PB、PC．设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB=OC，
∴∠OBC=45°，
∵PF∥OB，
∴∠PFE=∠OBC=45°，
∵PE⊥BC，
∴∠PEF=90°，
∴△PEF是等腰直角三角形，
∴PE最大时，△PEF的面积中点，此时△PBC的面积最大，
则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•（﹣m2+2m+3）+•3•m﹣=﹣（m﹣）2+，
∴m=时，△PBC的面积最大，此时△PEF的面积也最大，
此时P（，﹣），
∵直线BC的解析式为y=x﹣3，
∴F（﹣，﹣），
∴PF=，
∵△PEF是等腰直角三角形，
∴EF=EP=，
∴C△PEF最大值=+．
（3）①如图2中，
当N与C重合时，点N关于对称轴的对称点P，此时思想MNQP是正方形，易知P（2，﹣3）．点P横坐标为2，
②如图3中，当四边形PMQN是正方形时，作PF⊥y轴于N，ME∥x轴，PE∥y轴．
易知△PFN≌△PEM，
∴PF=PE，设P（m，m2﹣2m﹣3），
∵M（1，﹣4），
∴m=m2﹣2m﹣3﹣（﹣4），
∴m=或（舍弃），
∴P点横坐标为
所以满足条件的点P的横坐标为2或．

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