二次函数题型分类复习总结(打印版).doc

二次函数考点分类复习
知识点一：二次函数的定义
考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。
备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数．
1、下列函数中，是二次函数的是 .
①y=x2－4x+1； ②y=2x2； ③y=2x2+4x； ④y=－3x；
⑤y=－2x－1； ⑥y=mx2+nx+p； ⑦y =错误！未定义书签。； ⑧y=－5x。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为 。
课后练习：
（1）下列函数中，二次函数的是（ ）
A．y=ax2+bx+c B。 C。 D。y=x(x—1)
（2）如果函数是二次函数，那么m的值为
知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值
1、二次函数 ，当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点
2、对于y=ax2+bx+c而言，其顶点坐标为（ ， ）．对于y=a（x－h）2+k而言其顶点坐标为（ ， ）。二次函数用配方法或公式法（求h时可用代入法）可化成：的形式，其中h= ,k=
练习：
1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为 。
2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝ ，c＝ .
3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
4．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－的顶点的横坐标是2，则m的值是_ .
5．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝ 。

6．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)xn＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。
7．已知二次函数y=x2－4x+m－3的最小值为3，则m＝ 。
知识点三：函数y=ax2+bx+c的图象和性质
1．抛物线y=x2+4x+9的对称轴是 。
2．抛物线y=2x2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x＝－2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y=x2－2x+1 ； （2）y=－3x2+8x－2； （3）y=－x2+x－4
知识点四：函数y=a(x－h)2的图象与性质
1．填表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标

2．已知函数y=2x2,y=2(x－4)2，和y=2(x+1)2。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。可以由抛物线y=2x2得到抛物线y=2(x－4)2和y=2(x+1)2？

3．试写出抛物线y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。

4．试说明函数y=(x－3)2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。
知识点五：二次函数的增减性
1.二次函数y=3x2－6x+5，当x>1时，y随x的增大而 ；当x<1时，y随x的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x2－mx+5，当x> －2时,y随x的增大而增大；当x< －2时，y随x的增大而减少；则x＝1时,y的值为 。
3.已知二次函数y=x2－m+1)x+1，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
4.已知二次函数y=－x2+3x+的图象上有三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且3 ，可以得到y=2(x+4}2－3。
8.将抛物线y=x2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
知识点七：函数的交点
11.抛物线y=x2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
12.直线y=7x+1与抛物线y=x2+3x+5的图象有 个交点。
知识点八：函数的的对称
13.抛物线y=2x2－4x关于y轴对称的抛物线的关系式为 。
14.抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线为y=2x2－4x+3，则
a= b= c=
知识点九：函数的图象特征与a、b、c的关系
①a的符号判别---开口向上 a 0；开口向下 a 0；
②c的符号判别---由抛物线的与Y轴的交点来确定：
若交点在y轴的正半轴c 0； 若交点在y轴的负半轴c 0；
若交点在原点c 0；
③b的符号由对称轴来确定：（左同右异)
对称轴在Y轴的左侧 a、b同号； 对称轴在Y轴的右侧a、b异号。
④a+b+c的符号由x=1时的点的位置决定;a－b+c的符号由x=－1时的点的位置决定
点（1，a+b+c）在x轴上方a+b+c 0点（1，a+b+c）在x轴下方a+b+c 0
点（-1，a-b+c）在x轴上方a-b+c 0点（-1，a-b+c）在x轴下方a-b+c 0
⑤b+2a的符号由对称轴与1的大小关系确定；b－2a或2a-b的符号由对称轴与-1的大小关系确定
⑥△的符号由抛物线与x轴的交点个数确定

1.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如右图所示，则a、b、c的符号为（　　　）
A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0
C.a>0,b<0,c=0 D.a>0,b<0,c<0
2.抛物线y=ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图3，有以下结论：
①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ） A．①② B．①④ C．①②③ D．①③⑤
3.当b<0是一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是（ ）

-1
1

y
4、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）
A 1 B 2 C 3 D 4
知识点十：二次函数与x轴、y轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）
知识点：二次函数与x轴有交点，y=0,；与y轴有交点，x=0.
1. 如果二次函数y＝x2＋4x＋c图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝ （写一个即可）
2. 二次函数y＝x2-2x-3图象与x轴交点之间的距离为 　
3. 抛物线y＝－3x2＋2x－1的图象与x轴交点的个数是( )
A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点

4. 若二次函数y＝(m+5)x2+2(m+1)x+m的图象全部在x轴的上方，则m 的取值范围是
5. 二次函数的图象如图所示，
（1）根据图象写出方程的两个根．　
（2） 根据图象写出不等式的解集．　
（3） 若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围．

6. 已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为 ．

7. 已知函数的图象如图所示，那么关于的方程的根的情况是（ ）
8. A．无实数根 B．有两个相等实数根
9. C．有两个异号实数根 D．有两个同号不等实数根
10. 已知二次函数y=x2+x+m,当x取任意实数时,都有y>0,则m的取值范围是( )
11. A.m≥; B.m>; C.m≤; D.m<
12. 已知关于x的函数y＝（m－1）x2＋2x＋m图像与坐标轴有且只有2个交点，则m＝
13. 已知抛物线的图象与x轴有两个交点为，且，m=

14. 已知抛物线y＝－x2＋mx－m＋2.
（1）若抛物线与x轴的两个交点A、B分别在原点的两侧，并且AB＝，试求m的值；
（2）设C为抛物线与y轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M、N，并且 △MNC的面积等于27，试求m的值.

15. 如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是1，0）（0，1.5）
（1）求此抛物线的函数关系式。
（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。
（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。

知识点十一：函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。
3．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
反馈：
6．已知x＝1时，函数有最大值5，且图形经过点（0，－3），则该二次函数的解析式 。
10．若抛物线与x 轴交于(2，0)、（3，0），与y轴交于(0，－4)，则该二次函数的解析式 。
12．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x 轴交于(2，0)、（4，0），顶点到x 轴的距离为3，求函数的解析式。
17．抛物线y= (k2－2)x2+m－4kx的对称轴是直线x=2，且它的最低点在直线y= － x+2上，求函数解析式。
知识点十二：二次函数应用
1.某商店购进一批单价为16元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件。假定每月销售件数y(件）是价格X的一次函数.
(1)试求y与x的之间的关系式.
(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润，每月的最大利润是多少？（总利润=总收入－总成本）

2、抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2。（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；（2）P是线段AC上一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值；

3、已知抛物线与x轴没有交点． (1)求c的取值范围；
(2)试确定直线y＝cx+l经过的象限，并说明理由．

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