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二次函数综合题分类讨论
一、 直角三角形分类讨论：
1、 已知点A(1，0),B（-5,0），在直线上存在点C，使得为直角三角形，这样的C点你能找到 个
2、 如图1，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相较于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1.（1）求P点坐标及的值；（2）如图1，抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后得到抛物线C3，C,3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C,3的解析式；（3）如图2，点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转后得到抛物线C,4，抛物线C,4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标。（2013汇编P56+P147）

3、如图，矩形A’BC’O’是矩形OABC(边OA在x轴正半轴上，边OC在y轴正半轴上)绕B点逆时针旋转得到的．O’点在x轴的正半轴上，B点的坐标为(1，3)．
(1)如果二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过O、O’两点且图象顶点M的纵坐标为
—1．求这个二次函数的解析式；
(2)在(1)中求出的二次函数图象对称轴的右支上是否存在点P，使得ΔPOM为直角三角形?若存在，请求出P点的坐标和ΔPOM的面积；若不存在，请说明理由；
(3)求边C’O’所在直线的解析式．

练习（09成都28）已知抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，其顶点为M，若直线MC的函数表达式为y=kx-3 ，与x轴的交点为N，且cos∠BCO＝(3√(10) /10)．（1）求此抛物线的解析式；（2）在此抛物线上是否存在异于点C的点P，使以N、P、C为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；（3）过点A作x轴的垂线，交直线MC于点Q. 若将抛物线沿其对称轴上下平移，使
抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

二、 等腰三角形分类讨论
1、如图，已知Rt在直线BC或直线AC上取一点P，使得是等腰三角形，则符合条件的P点有 个

2、①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．
（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．
（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明师．

图①

1
1

图②

1
1

图③

1
1

解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，或，，．

图②
（2）设抛物线的函数表达式为，
点，在抛物线上，
解得
抛物线的函数表达式为．
（3），点的坐标为．
过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，
则，，，，，．
．
．
延长交轴于点，设直线的函数表达式为，
点，在直线上，解得
直线的函数表达式为．点的坐标为．
设点坐标为，分两种情况：
若点位于点的上方，则．连结．
．
，，解得．点的坐标为．
若点位于点的下方，则．

图③
同理可得，．
点的坐标为．
（4）作图痕迹如图③所示．
由图③可知，点共有3个可能的位置．

2、如图：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A(10，0)、C（0,4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为
3、在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，以O为坐标原点，以BD所在直线为x轴，CA所在直线为y轴建立如图所示的坐标系，且AC=12，BD=16，E为AD的中点，点P在线段BD上移动，若为等腰三角形，则所有符合条件的点P的坐标为
三、 最值问题
类型一：两点之间线段最短
1、请写出的最小值为
2、如图，四边形ABCD是正方形，是等边三角形，对角线上任一点，将BM绕点B逆时针旋转，得到BN，连EN、AM、CM，求证：（1），(2)M点在何处时，AM+CM值最小，（3）AM+BM+CN最小值为时，求正方形的边长（2012汇编P52+P137）

3、（2010年天津25）在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点。（1）若E为边OA上的一个动点，当的周长最小时，求点E的坐标；(2)若E、F为边OA的两个动点，且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求当E、F的坐标

类型二 垂线段最短
1、已知对称轴为y轴的抛物线，与直线交于A（-4,3），B(2，0)两点，经过点C（0，-2）的直线与x轴平行，O为坐标原点1）求直线和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线上的点D的横坐标为-1，P是（1）中抛物线上的动点，当的周长最小时，求四边形CODP的面积。（2013汇编P36+P139）
2、如图，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为

类型三 三角形两边之差小于第三边
在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A,B的坐标分别为A（0,3）和B（5,0），连结AB;(1)现将绕点O按逆时针方向旋转，得到，（点A落到点C处），求经过B、C、D三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B的对应点为点E，平移后的抛物线与原抛物线相较于点F。P为平移后得到抛物线对称轴上一个动点，连接PE、PF，当取得最大值时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P使得为直角三角形？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。（2012汇编P16+P125）

汇编2013 P96同类型

类型四 抛物线顶点的最值
已知抛物线与x轴交于A（-6,0）、B（2,0），与y轴交于点C（0，-6）。（1）求此抛物线的函数表达式，写出它的对称轴；（2）若在抛物线的对称轴上存在一点M，使的周长最小，求点M的坐标；（3）在（2）的情况下，若点P(0，k)为线段OC上的一个不与端点重合的动点，过点P作PD∥CM交x于点D，连结MD、MP，设的面积为S，求当点P运动到何处时S的值最大？（2012汇编P8+P123）

2013汇编P104+P169
三、等积转化问题
1、如图，是一个由弓形和三角形组成的组合图形，若取弧AB的中点M，弦AB的中点N，连接MN和NC，则折线MNC将此图形分为两部分，这两部分的面积是否相等？请你在图中画出一条直线，将这个组合图形分成面积相等的两部分，并说明这条直线的画法。

2、我们把能平分四边形面积的直线成为“等积线”，下面是平分四边形面积的方法之一，利用作图，可以得到四边形的“等积线”，如图，在四边形ABCD中，取对角线BD的中点O，连接OA,OC.显然，折线AOC能平分四边形ABCD的面积，再过点O作OE||AC交CD于E，则直线AE即为一条“等积线”。
（1） 在图中，画出经过C点的四边形ABCD的“等积线”CK
（2） 如图，AE为四边形ABCD的一条“等积线”，F为AD边上的一点，请画出经过F点的四边形ABCD的“等积线”，并写出画图步骤

3、已知：如图，抛物线与y轴交于点C(0,4)，于x轴交于点A,B，点A的坐标为（4,0）
（1） 求抛物线的解析式
（2） 点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE||AC,交BC于点E，连接CQ，当三角形CQE的面积为3时，求Q的坐标
（3） 若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（2,0），问：是否存在这样的直线l，使得三角形ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由。

4、如图，已知关于x的二次函数的图形与x轴相交于A,B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，且OB=OC=3,顶点为M，
（1） 求出二次函数的关系式
（2） 点P为线段MB上的一个动点，过点P作x轴的垂线PD，垂足为D，若OD=m，三角形PCD的面积为S，求S关于m的函数关系式，并写出m的取值范围。
（3） 探索线段MB上是否存在点P，使得三角形PCD为直角三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由。

5、将直角边长为6的等腰直角三角形AOC放在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x轴、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A,C，及点B（-3,0）
（1） 求该抛物线的解析式
（2） 若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，当三角形APE的面积最大时，求点P的坐标
（3） 若点P（t,t）在抛物线上，则称点P为抛物线的不动点，将1）中的抛物线进行平移，平移后，该抛物线只有一个不动点，且顶点在直线上，求此时抛物线的解析式。

6、已知抛物线与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB