二次函数中的存在性问题(等腰三角形的存在性.doc

二次函数中的存在性问题(等腰三角形)
A
C
B
y
x
0
1
1
[07福建龙岩]如图，抛物线经过的三个顶点，
已知轴，点在轴上，点在轴上，且．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）写出三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点是抛物线对称轴上且在轴下方的动点，
是否存在是等腰三角形．若存在，求出所有符合条
件的点坐标；不存在，请说明理由．
A
C
B
x
0
1
1
Ｑ

Ｎ
Ｍ
Ｋ
y
解：（1）抛物线的对称轴
（2）
把点坐标代入中，解得

（3）存在符合条件的点共有3个．以下分三类情形探索．
设抛物线对称轴与轴交于，与交于．
过点作轴于，易得，，，
① 以为腰且顶角为角的有1个：．

在中，
② 为腰且顶角为角的有1个：．
在中，
③以为底，顶角为角的有1个，即．
画的垂直平分线交抛物线对称轴于，此时平分线必过等腰的顶点．
过点作垂直轴，垂足为，显然．．
于是
[07广西河池]如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D． 点M从O点出发，以每秒1个单位长度
的速度向B运动，过M作x轴的垂线，交抛物线于点P，交BC于Q．
（1）求点B和点C的坐标；
（2）设当点M运动了x（秒）时四边形OBPC的面积为S，
求S与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．
（3）在线段BC上是否存在点Q，使得△DBQ成为以BQ为一腰的
等腰三角形？若存在，求出点Q的坐标，若不存在，说明理由．
（1）把x =0代入得点C的坐标为C（0，2）
把y =0代入得点B的坐标为B（3，0）
（2）连结OP，设点P的坐标为P（x，y）
=+ = = =
∵ 点M运动到B点上停止，∴
∴（）
（3）存在． BC==
① 若BQ = DQ
∵ BQ = DQ，BD = 2 ∴ BM = 1 ∴OM = 31 = 2
∴ ∴QM = 所以Q的坐标为Q （2，） ．
② 若BQ=BD=2
∵ △BQM∽△BCO，∴ ==
∴ = ∴ QM =
∵ = ∴ =
∴ BM = ∴ OM = 11分
所以Q的坐标为Q （，） 12分

[07年云南省]已知：如图，抛物线经过、、三点．
x
y
C
B
A
E
–1
1
O
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）若过点C的直线与抛物线相交于点E （4，m），
请求出△CBE的面积S的值；
（3）在抛物线上求一点使得△ABP0为等腰三角形并
写出点的坐标；

（4）除（3）中所求的点外，在抛物线上是否还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形？若存在，请求出一共有几个满足条件的点（要求简要说明理由，但不证明）；若不存在这样的点，请说明理由．
解：（1）∵抛物线经过点、 ∴．
又∵抛物线经过点 ∴，．
∴抛物线的解析式为．
（2）∵E点在抛物线上， ∴m = 42–4×6+5 = -3．
∵直线y = kx+b过点C（0， 5）、E（4， –3），
∴ 解得k = -2，b = 5．
设直线y=-2x+5与x轴的交点为D，当y=0时，-2x+5=0，解得x=．∴D点的坐标为（，0）．
∴S=S△BDC + S△BDE==10．
（3）∵抛物线的顶点既在抛物线的对称轴上又在抛物线上，
∴点为所求满足条件的点．
（4）除点外，在抛物线上还存在其它的点P使得△ABP为等腰三角形．
理由如下：∵，
∴分别以、为圆心半径长为4画圆，分别与抛物线
交于点、、、、、、、，
除去、两个点外，其余6个点为满足条件的点．
（说明：只说出P点个数但未简要说明理由的不给分）

[07山东威海]如图①，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，二次函数的图象记为抛物线．
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点，但不过点，写出平移后的一个抛物线的函数表达式： （任写一个即可）．
（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过两点，记为抛物线，如图②，求抛物线的函数表达式．
（3）设抛物线的顶点为，为轴上一点．若，求点的坐标．
（4）请在图③上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点，使为等腰三角形．若存在，请判断点共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由．

图①

1
1

图②

1
1

图③

1
1

解：（1）有多种答案，符合条件即可．例如，，

图②
或，，．
（2）设抛物线的函数表达式为，
点，在抛物线上，
解得 抛物线的函数表达式为．
（3），点的坐标为．
过三点分别作轴的垂线，垂足分别为，
则，，，，，．
．
延长交轴于点，设直线的函数表达式为，
点，在直线上，
解得直线的函数表达式为．点的坐标为．
设点坐标为，分两种情况：
若点位于点的上方，则．连结．
．
，，解得．点的坐标为．

图③
若点位于点的下方，则．同理可得，．点的坐标为．
（4）作图痕迹如图③所示． 由图③可知，点共有3个可能的位置．
注：作出线段的中垂线得1分，画出另外两段弧得1分．

[07山东泰安]如图，在中，，，，
将绕点按逆时针方向旋转至，点的坐标为（0，4）．
（1）求点的坐标；
（2）求过，，三点的抛物线的解析式；
（3）在（2）中的抛物线上是否存在点，使以为顶点的三角形
是等腰直角三角形？若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由
解：（1）过点作垂直于轴，垂足为,则四边形为矩形
在中，
点的坐标为
（2）在抛物线上，
，，在抛物线上
解之得
所求解析式为．
（3）①若以点为直角顶点，由于，点在抛物线上，则点为满足条件的点．
②若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为或，经计算知；此两点不在抛物线上．
③若以点为直角顶点，则使为等腰直角三角形的点的坐标应为或，经计算知；此两点也不在抛物线上．
综上述在抛物线上只有一点使为等腰直角三角形

[08广东梅州]如图11所示，在梯形ABCD中，已知AB∥CD， AD⊥DB，
AD=DC=CB，AB=4．以AB所在直线为轴，过D且垂直于
AB的直线为轴建立平面直角坐标系．
（1）求∠DAB的度数及A、D、C三点的坐标；
（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L．
（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为
等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由）
解： （1） DC∥AB，AD=DC=CB， ∠CDB=∠CBD=∠DBA，
∠DAB=∠CBA， ∠DAB=2∠DBA，
∠DAB+∠DBA=90， ∠DAB=60，
∠DBA=30，AB=4， DC=AD=2，
RtAOD，OA=1，OD=，.
A（-1，0），D（0， ），C（2， ）．
（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（－1，0），B（3，0），
故可设所求为 = （+1）（ -3）
将点D（0， ）的坐标代入上式得， =．
所求抛物线的解析式为 = 7分
其对称轴L为直线=1． 8分
（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：
①因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1，P1D=P1B，
P1DB为等腰三角形； 9分
②因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；
③与②同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5． 10分
由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个．

[08福建南平]如图，平面直角坐标系中有一矩形纸片，为原点，点分别在轴，轴上，点坐标为（其中），在边上选取适当的点和点，将沿翻折，得到；再将沿翻折，恰好使点与点重合，得到，且．
（1）求的值；
（2）求过点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点，使得是
等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，直接答出
所有满足条件的点的坐标（不要求写出求解过程）．
（1），
由题意可知，，
， ．又，
（2）过作直线轴于，则，，故．又由（1）知，
设过三点的抛物线解析式为
抛物线过原点，．
又抛物线过两点， 解得
所求抛物线为 它的对称轴为．
（3）答：存在,满足条件的点有，，，．

[08湖南株洲]如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数的图象为.
（1）平移抛物线，使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.
（2）平移抛物线，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为，如图（2），求抛物线的函数解析式及顶点C的坐标.
（3）设P为y轴上一点，且，求点P的坐标.
（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线上是否存在点Q，使为等腰三角形. 若存在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.
y
o
x
图（1）
y
o
x
图（2）
l1
l2

（1）等 （满足条件即可） ……1分
（2）设的解析式为，联立方程组，
解得：，则的解析式为， ……3分
点C的坐标为（） ……4分
（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则，，，，，.
得：. ……5分
延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为，则点G的坐标为（0，），设点P的坐标为（0，）
①当点P位于点G的下方时，，连结AP、BP，则，又，得，点P的坐标为（0，）. …… 6分
②当点P位于点G的上方时，，同理，点P的坐标为（0，）.
综上所述所求点P的坐标为（0，）或（0，） …… 7分
(4) 作图痕迹如答图23-2所示.
E
F
答图23-1
由图可知，满足条件的点有、、、，共4个可能的位置. …… 10分
答图23-2

[08浙江温州]如图，在中，，，，分别是边的中点，点从点出发沿方向运动，过点作于，过点作交于
A
B
C
D
E
R
P
H
Q

，当点与点重合时，点停止运动．设，．
（1）求点到的距离的长；
（2）求关于的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（3）是否存在点，使为等腰三角形？若存在，
请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由．
解：（1），，，．
点为中点，．
，．，
，．
（2），．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
M
2
1
，，，，
即关于的函数关系式为：．
（3）存在，分三种情况：
①当时，过点作于，则．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
，，．，
，，．
A
B
C
D
E
R
P
H
Q
②当时，，．
③当时，则为中垂线上的点，于是点为的中点，
．，
，．综上所述，当为或6或时，为等腰三角形．

二次函数中的存在性问题(直角三角形)
[08辽宁十二市]如图16，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过三点．
（1）求过三点抛物线的解析式并求出顶点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点，使为直角三角形，若存在，直接写出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）试探究在直线上是否存在一点，使得的周长最小，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
A
O
x
y
B
F
C
图16

12