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二次函数在实际生活中的应用

【经典母题】
某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，经市场调查表明，当售价在10元到14元之间(含10元，14元)浮动时，每瓶售价每增加0.5元，日均销量减少40瓶；当售价为每瓶12元时，日均销量为400瓶．问销售价格定为每瓶多少元时，所得日均毛利润(每瓶毛利润＝每瓶售价－每瓶进价)最大？最大日均毛利润为多少元？
解：设售价为每瓶x元时，日均毛利润为y元，由题意，得日均销售量为400－40[(x－12)÷0.5]＝1 360－80x，
y＝(x－9)(1 360－80x)
＝－80x2＋2 080x－12 240(10≤x≤14)．
－＝－＝13，
∵10≤13≤14，∴当x＝13时，y取最大值，
y最大＝－80×132＋2 080×13－12 240＝1 280(元)．
答：售价定为每瓶13元时，所得日均毛利润最大，最大日均毛利润为1 280元．
【思想方法】本题是一道复杂的市场营销问题，在建立函数关系式时，应注意自变量的取值范围，在这个取值范围内，需了解函数的性质(最大最小值，变化情况，对称性，特殊点等)和图象，然后依据这些性质作出结论．
【中考变形】
1．[2017·锦州]某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件，第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图Z8－1所示．
(1)图中点P所表示的实际意义是__当售价定为35元/件时，销售量为300件__；销售单价每提高1元时，销售量相应减少__20__件；
图Z8－1
(2)请直接写出y与x之间的函数表达式：__y＝20x＋1_000__；自变量x的取值范围为__30≤x≤50__；
(3)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？
解：(1)图中点P所表示的实际意义是：当售价定为35元/件时，销售量为300件；
第一个月的该商品的售价为20×(1＋50%)＝30(元)，销售单价每提高1元时，销售量相应减少数量为(400－300)÷(35－30)＝20(件)．
(2)设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，将点(30，400)，(35，300)代入，得解得
∴y与x之间的函数表达式为y＝－20x＋1 000.
当y＝0时，x＝50，
∴自变量x的取值范围为30≤x≤50.
(3)设第二个月的利润为W元，
由已知得W＝(x－20)y＝(x－20)(－20x＋1 000)＝－20x2＋1 400x－20 000
＝－20(x－35)2＋4 500，
∵－20＜0，∴当x＝35时，W取最大值4 500.
答：第二个月的销售单价定为35元时，可获得最大利润最大利润是4 500元．
2．[2016·宁波一模]大学生自主创业，集资5万元开品牌专卖店，已知该品牌商品成本为每件a元，市场调查发现日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间存在一次函数关系，如下表所示：
销售价x(元/件)
…
110
115
120
125
130
…
销售量y(件)
…
50
45
40
35
30
…
若该店某天的销售价定为110元/件，雇有3名员工，则当天正好收支平衡(即支出＝商品成本＋员工工资＋应支付的其他费用)．已知员工的工资为每人每天100元，每天还应支付其他费用200元(不包括集资款)．
(1)求日销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系式；
(2)该店现有2名员工，试求每件服装的销售价定为多少元时，该服装店每天的毛利润最大(毛利润＝销售收入－商品成本－员工工资－应支付的其他费用)；
(3)在(2)的条件下，若每天毛利润全部积累用于一次性还款，而集资款每天应按其万分之二的利率支付利息，则该店最少需要多少天(取整数)才能还清集资款？
解：(1)由表可知，y是关于x的一次函数，设y＝kx＋b，
将x＝110，y＝50；x＝115，y＝45分别代入，
得解得
∴y＝－x＋160(0＜x≤160)；
(2)由已知可得50×110＝50a＋3×100＋200，
解得a＝100.设每天的毛利润为W元，
则W＝(x－100)(－x＋160)－2×100－200
＝－x2＋260x－16 400
＝－(x－130)2＋500，
∴当x＝130时，W取最大值500.
答：每件服装的销售价定为130元时，该服装店每天的毛利润最大，最大毛利润为500元；
(3)设需t天才能还清集资款，
则500t≥50 000＋0.000 2×50 000t，
解得t≥102.
∵t为整数，∴t的最小值为103天．
答：该店最少需要103天才能还清集资款．
3．[2017·青岛]青岛市某大酒店豪华间实行淡季、旺季两种价格标准，旺季每间价格比淡季上涨.下表是去年该酒店豪华间某两天的相关记录：

淡季
旺季
未入住房间数
10
0
日总收入(元)
24 000
40 000
(1)该酒店豪华间有多少间？旺季每间价格为多少元？
(2)今年旺季来临，豪华间的间数不变，经市场调查发现，如果豪华间仍旧实行去年旺季的价格，那么每天都客满；如果价格继续上涨，那么每增加25元，每天未入住房间数增加1间．不考虑其他因素，该酒店将豪华间的价格上涨多少元时，豪华间的日总收入最高？最高日总收入是多少元？(注：上涨价格需为25的倍数)
解：(1)设淡季每间的价格为x元，依题意得
＝＋10，解得x＝600，
∴酒店豪华间有＝＝50(间)，
旺季每间价格为x＋x＝600＋×600＝800(元)．
答：该酒店豪华间有50间，旺季每间价格为800元；
(2)设该酒店豪华间的价格上涨x元，日总收入为y元，
y＝(800＋x)＝－(x－225)2＋42 025，
∴当x＝225时，y取最大值42 025.
答：该酒店将豪华间的价格上涨225元时，豪华间的日总收入最高，最高日总收入是42 025元．
4．某公司经营杨梅业务，以3万元/t的价格向农户收购杨梅后，分拣成A，B两类，A类杨梅包装后直接销售，B类杨梅深加工再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/t，根据市场调查，它的平均销售价格y(万元/t)与销售数量x(x≥2)(t)之间的函数关系式如图Z8－2，B类杨梅深加工总费用s(单位：万元)与加工数量t(单位：t)之间的函数关系是s＝12＋3t，平均销售价格为9万元/t.

图Z8－2

(1)直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
(2)第一次该公司收购了20 t 杨梅，其中A类杨梅x t，经营这批杨梅所获得的毛利润为W万元(毛利润＝销售总收入－经营总成本)．
①求W关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直接销售的A类杨梅有多少吨？
(3)第二次该公司准备投人132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．
解：(1)y＝
(2)∵销售A类杨梅x t，则销售B类杨梅(20－x)t.
①当2≤x＜8时，
W＝x(－x＋14)＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x2＋7x＋48，
当x≥8时，W＝6x＋9(20－x)－3×20－x－[12＋3(20－x)]＝－x＋48，
∴函数表达式为W＝
②当2≤x＜8时，－x2＋7x＋48＝30，解得x1＝9，x2＝－2，均不合题意，
当x≥8时，－x＋48＝30，解得x＝18.
答：当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18 t；
(3)设该公司用132万元共购买m t杨梅，其中A类
杨梅为x t，B类杨梅为(m－x)t，购买费用为3m万元．
由题意，得3m＋x＋[12＋3(m－x)]＝132，
化简，得3m＝x＋60.
①当2≤x＜8时，W＝x(－x＋14)＋9(m－x)－132，把3m＝x＋60代入，得
W＝－(x－4)2＋64，
当x＝4时，有最大毛利润64万元．
此时，m＝，m－x＝；
②当x≥8时，W＝6x＋9(m－x)－132，由3m＝x＋60，得W＝48，当x≥8时，毛利润总为48万元．
答：综上所述，购买杨梅共 t，且其中直销A类杨梅4 t，B类杨梅 t，公司能获得最大毛利润64万元．
【中考预测】
某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件．
(1)写出月销售利润y(元)与售价x(元/件)之间的函数关系式；
(2)当销售价定为45元时，计算月销售量和销售利润；
(3)衬衣店想在月销售量不少于300件的情况下，使月销售利润达到10 000元，销售价应定为多少？
(4)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润．
解：(1)由题意可得月销售利润y与售价之间的函数关系式为
y＝(x－30)[600－10(x－40)]＝－10x2＋1 300x－30 000；
(2)当x＝45时，600－10(x－40)＝550(件)，
y＝－10×452＋1 300×45－30 000＝8 250(元)；
(3)令y＝10 000，代入(1)中函数关系式，得
10 000＝－10x2＋1 300x－30 000，
解得x1＝50，x2＝80.
当x＝80时，600－10(80－40)＝200＜300(不合题意，舍去)，故销售价应定为50元；
(4)y＝－10x2＋1 300x－30 000＝－10(x－65)2＋12 250，∴x＝65时，y取最大值12 250.
答：当销售价定为65元时会获得最大利润，最大利润为12 250元．
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