行程问题综合知识点.doc

行程问题 综合知识点
⊙ 行程问题基本类型
一． 普通行程问题
路程=速度×时间 速度=路程÷时间 时间=路程÷速度
二． 相遇问题
相向而行，或者背向而行。
在共同的时间内，甲乙两人各自以某种速度运动。经过一定时间后两人合走多少路程。
这里共同的时间指的是相遇时间；而两人的速度加起来合走了一定路程。这里的速度和相当于普通行程问题中的速度，路程和相当于普通行程问题中的路程。有对应公式如下：
路程和=速度和×相遇时间 速度和=路程和÷相遇时间 相遇时间=路程和÷速度和

另外 路程和=甲路程+乙路程
甲路程=甲的速度×甲走的时间 乙路程=乙的速度×乙走的时间
注意：上述两组公式的综合运用。

三． 追及问题
同向而行。位于后面而且速度更快的人追赶在前面但是速度更慢的人。
甲乙二人速度有快有慢，同时出发，经过共同的一定时间之后，二者之间的路程差也会出现。这里的共同时间指的是追及时间，相当于普通行程问题中的时间；两人的速度的差则是追及速度，相当于普通行程问题中的速度。两人之间的路程差相当于普通行程问题中的路程。对应有公式如下：
追及路程=追及速度×追及时间
追及速度=追及路程÷追及时间 追及时间=追及路程÷追及速度

另外 追及路程=快的走的路程—慢的走的路程 （也就是路程差）
甲路程=甲的速度×甲走的时间 乙路程=乙的速度×乙走的时间
注意：上述两组公式的综合运用

⊙ 行程问题的几种重要题型
一． 火车与桥
1火车与火车错车
两列迎面行驶的火车，从车头相遇到车尾离开的整个运动过程，完成了错车。
运动性质： 相遇问题
路程和=两列车的车长之和 时间=从两列火车相遇到车尾离开的整个运动时间
速度和=两列火车的速度之和

2火车与人迎面错开
火车与人迎面而来，从车头与人相遇到车尾离开人的整个运动过程。
运动性质：相遇问题
路程和=火车车长 时间=从车头与人相遇到车尾离开人的整个运动时间
速度和=火车与人的速度之和

3火车超过火车（快车超过慢车）
A. 从快车车头赶上慢车车尾到快车车头离开满车车头的整个运动过程，完成超车。
运动性质：追及问题
路程差=两列火车的车长之和 追及速度=快车车速—慢车车速
追及时间=从快车车头赶上慢车车尾到快车车头离开满车车头的整个运动时间

B. 快车与慢车齐头并进，从快车车头与慢车车头平行到快车车尾离开慢车车头的整个运动过程。
运动性质：追及问题
路程差：快车车长 追及速度=快车车速—慢车车速
追及时间=从快车车头与慢车车头平行到快车车尾离开慢车车头的整个运动过程

C. 快车与慢车车尾平行，从快车车尾与慢车车尾平行到快车车尾离开满车车头的整个运动过程。
运动性质：追及问题
路程差：慢车车长 追及速度=快车车速—慢车车速
追及时间=从快车车尾与慢车车尾平行到快车车尾离开慢车车头的整个运动过程

4火车超过行人
火车从人后方超过行人，从火车车头与人平行到火车车尾离开人的整个运动过程。
运动性质：追及问题
路程差：火车车长 追击速度=火车车速—人的速度
追及时间=从火车车头与人平行到火车车尾离开人的整个运动时间

5坐在火车里的人与另一辆火车

A．坐在火车里的人与另一辆火车错开（迎面行驶，相向而行）
从坐在火车里的人看到窗外另一辆火车车头与自己平行，到着一辆火车的车尾离开自己的整个运动过程
运动性质：相遇问题
路程和=另一辆火车车长 速度和=两列火车的速度之和
相遇时间=整个运动时间

B．另一辆火车超过坐在火车里的人（从后超过，同向而行）
从坐在火车里的人看到窗外的另一辆火车车头与自己平行，到另一辆火车的车尾离开自己的整个运动过程
运动性质：追及问题
追击速度：快车速度—慢车速度 追及时间=整个运动时间

6火车与桥（火车与隧道）
a) 从火车车头上桥到火车车尾完全离开桥的整个运动过程（火车通过隧道）
运动性质：普通的行程问题
路程：火车车长+桥长 速度=火车速度
运动时间=从火车车头上桥到火车车尾完全离开桥的整个运动时间
b) 火车完全全部在桥上的整个运动过程
运动性质：普通的行程问题
路程：桥长—火车车长 速度=火车速度
运动时间=火车完全全部在桥上的整个运动时间

二． 流水行船
顺水速度=船速+水速 逆水速度=船速—水速
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2 水速=（顺水速度—逆水速度）÷2
顺水路程=顺水速度×时间 逆水路程=逆水速度×时间
流水行船问题中需要着重理解的是顺水速度为什么是船速与水速的和。（假设船马达停止转动，也就是船已经没有动力前进，但此时船并不能静止，而是顺着水流的方向以水流的速度漂浮前进。如果给船一定的速度，并且沿着水流的方向，那么此时顺水的速度就是船速与水速之和。）
同理，也可以理解逆水速度为什么是船速与水速之差。（假设船马达停止转动，也就是船已经没有动力前进，但此时船并不能静止，同样会顺着水流的方向以水流的速度漂浮前进。如果给船一定的速度，但是逆着水流的方向，那么此时船首先得克服水流的作用，才能前行。也就是逆水速度等于船速与水速之差。）

三． 往返行程
A．甲乙两人从AB两地同时出发相向而行，往返行驶：
第一次相遇时：两人合走一个全程；
从第一次相遇到第二次相遇时：两人又合走两个全程。
从第二次相遇到第三次相遇时：两人又合走两个全程。
以此类推，往后二人再相遇一次，两人再合走两个全程。
B．甲乙两人同时从A城出发同向而行，往返行驶：
第一次相遇时：两人合走两个全程；
从第一次相遇到第二次相遇时：两人又合走两个全程。
从第二次相遇到第三次相遇时：两人又合走两个全程。
以此类推，往后二人再相遇一次，两人再合走两个全程。
C．甲乙两人从AB两地同时出发相向而行，往返行驶：
第一次甲从后面追上乙时：甲比乙多走一个全程；
从第一次从后面追上到第二次从后面追上时：甲比乙又多走两个全程。
从第二次从后面追上到第三次从后面追上时：甲比乙又多走两个全程。
以此类推，往后甲再从后面追上乙一次，甲比乙再多走两个全程。
D．甲乙两人同时从A地出发同向而行，往返行驶：
第一次甲从后面追上乙时：甲比乙多走两个全程；
从第一次从后面追上到第二次从后面追上时：甲比乙又多走两个全程。
从第二次从后面追上到第三次从后面追上时：甲比乙又多走两个全程。
以此类推，往后甲再从后面追上乙一次，甲比乙再多走两个全程。

四． 环形跑道
A
B
·
·

注意追及的方向，顺时针或者逆时针。顺时针方向与逆时针方向时追及路程不一样。那么，第一次追上，二者的路程差就是起初二者在追及方向上的距离；从第一次追上以后开始，往后每再追上一次，每次的追及路程均为跑道长。
同样应注意相遇的方向，也就是二者是在环形跑道的哪一部分运动直至相遇。那么，第一次相遇二者合走的路程就是这一部分跑道长；从第一次相遇以后开始，往后每再相遇一次，每次二者合走的路程均为跑道长。

五． 狗追兔子
注意：选取“狗每跳两次时狐狸恰好跳3次”的时间作为单位时间，可以求出在这个单位时间内狗跳的距离以及狐狸跳的距离。
例：狗追狐狸，狗跳一次前进1.8米,狐狸跳一次前进1.1米.狗每跳两次时狐狸恰好跳3次.如果开始时狗离狐狸有30米,那么狗跑多少米才能追上狐狸.
解析：选取“狗每跳两次时狐狸恰好跳3次”的时间作为单位时间，在这个时间之内，狗跳两次，每跳1.8米，共1.8×2=3.6米；狐狸跳一次，每跳1.1米，共1.1×1=1.1米。
因此，在这个单位时间之内，狗比狐狸多跳的距离是1.8×2—1.1=2.5米
要追上狐狸30米的距离，则需要的单位时间个数是：30÷2.5=12（个）
12个单位时间内狗跑的路程是：3.6×12=43.2米

六． 电车问题
关键：截取两辆电车之间间隔的路程作为我们计算用的路程：相遇路程或者追及路程。
在相遇问题中：相遇间隔的时间=间隔的路程÷速度和
在追及问题中：追及间隔的时间=间隔的路程÷速度差

⊙ 行程问题的几种重要思维方法
1． 相遇问题的一般化思维：速度和与路程和的对应
2． 追及问题的一般化思维：速度差与路程差的对应
3． 分段考虑：分时间段和分路程段或者分不同的速度段
4． 画行程图的方法
5． 速度一定的时候，路程与时间的关系（相对应的倍数关系）
时间一定的时候，路程与速度的关系（相对应的倍数关系）
路程一定的时候，时间与速度的关系（相反的倍数关系）
6． 周期思考的方法
7． 摆实物模拟图的方法