3-3-1-比例解行程问题.教师版.doc

比例解行程问题

教学目标

1. 理解行程问题中的各种比例关系.
2. 掌握寻找比例关系的方法来解行程问题．

知识精讲

比例的知识是小学数学最后一个重要内容，从某种意义上讲仿佛扮演着一个小学“压轴知识点”的角色。
从一个工具性的知识点而言，比例在解很多应用题时有着“得天独厚”的优势，往往体现在方法的灵活性和思维的巧妙性上，使得一道看似很难的题目变得简单明了。比例的技巧不仅可用于解行程问题，对于工程问题、分数百分数应用题也有广泛的应用。
我们常常会应用比例的工具分析2个物体在某一段相同路线上的运动情况，我们将甲、乙的速度、时间、路程分别用来表示，大体可分为以下两种情况：

1. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，经过同一段时间后，他们走过的路程之比就等于他们的速度之比。
，这里因为时间相同，即,所以由
得到，，甲乙在同一段时间t内的路程之比等于速度比

2. 当2个物体运行速度在所讨论的路线上保持不变时，走过相同的路程时，2个物体所用的时间之比等于他们速度的反比。
，这里因为路程相同，即，由
得，，甲乙在同一段路程s上的时间之比等于速度比的反比。

模块一：比例初步——利用简单倍比关系进行解题
【例 1】 甲、乙两车从相距330千米的A、B两城相向而行，甲车先从A城出发，过一段时间后，乙车才从B城出发，并且甲车的速度是乙车速度的。当两车相遇时，甲车比乙车多行驶了30千米，则甲车开出 千米，乙车才出发。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，5年级，1试
【解析】 两车相遇时共行驶330千米，但是甲多行30千米，可以求出两车分别行驶的路程，可得甲车行驶180千米，乙车行驶150千米，由甲车速度是乙车速度的可以知道，当乙车行驶150千米的时候，甲车实际只行驶了千米，那么可以知道在乙车出发之前，甲车已经行驶了180-125=55千米。
【答案】55千米

【例 2】 甲乙两地相距12千米，上午10：45一位乘客乘出租车从甲地出发前往乙地，途中，乘客问司机距乙地还有多远，司机看了计程表后告诉乘客：已走路程的加上未走路程的2倍，恰好等于已走的路程，又知出租车的速度是30千米/小时，那么现在的时间是 。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【关键词】希望杯，6年级，1试
【解析】 可设已走路程为X千米，未走路程为（12-X）千米。
列式为：X-X=(12-X)×2 解得：X=9
分钟，现在时间是
【答案】

【例 3】 上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 画一张简单的示意图：

图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是 4＋ 8＝ 12（千米）.这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的 12÷4＝3（倍）.按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分），爸爸骑行16千米需要16分钟.8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
注意：小明第2个4千米，也就是从到的过程中，爸爸一共走12千米，这一点是本题的关键．对时间相同或距离相同，但运动速度、方式不同的两种状态，是一大类行程问题的关键．本题的解答就巧妙地运用了这一点．
【答案】8点32分

【巩固】 欢欢和贝贝是同班同学，并且住在同一栋楼里．早晨 7 : 40 ，欢欢从家出发骑车去学校， 7 : 46 追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的 2倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢 8 : 00赶到学校时，贝贝也恰好到学校．如果欢欢在家换校服用去 6分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是几点几分．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了 6分钟，她调头后速度提高到原来的 2倍，根据路程一定，时间比等于速度的反比，她回到家所用的时间为 3 分钟，换衣服用时 6 分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了 20- 6-3- 6 =5分钟，故她以原速度到达学校需要 10 分钟，最开始她追上贝贝用了 6分钟，还剩下 4 分钟的路程，而这 4 分钟的路程贝贝走了 14 分钟，所以欢欢的 6 分钟路程贝贝要走 14 ×（6÷ 4）= 21分钟，也就是说欢欢追上贝贝时贝贝已走了 21 分钟，所以贝贝是 7 点 25 分出发的．
【答案】7 点 25 分

【例 4】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 画线段示意图(实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线)：

可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：95×3-25=285-25=260(千米)．
【答案】260千米

【巩固】 地铁有 A，B 两站，甲、乙二人都要在两站间往返行走.两人分别从 A，B 两站同时出发，他们第一次相遇时距 A 站 800 米，第二次相遇时距 B 站 500 米.问：两站相距多远？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从起点到第一次迎面相遇地点，两人共同完成 1 个全长，从起点到第二次迎面相遇地点，两人共同完成 3 个全长，一个全程中甲走 1 段 800 米，3 个全程甲走的路程为 3 段 800 米. 画图可知，由 3 倍关系得到：A，B 两站的距离为 800×3－500=1900 米
【答案】1900 米

【巩固】 如右图，A，B 是圆的直径的两端，甲在 A 点，乙在 B 点同时出发反向而行，两人在 C 点第一次相遇，在 D 点第二次相遇.已知 C 离 A 有 80 米，D 离 B 有 60 米，求这个圆的周长.

【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 根据总结可知，第二次相遇时，乙一共走了 80×3=240 米，两人的总路程和为一周半，又甲所走路程比一周少 60 米，说明乙的路程比半周多 60 米，那么圆形场地的半周长为 240-60=180 米，周长为 180×2=360 米.
【答案】360 米

【例 5】 甲、乙两人从相距 490 米的 A、 B 两地同时步行出发，相向而行，丙与甲同时从 A出发，在甲、乙二人之间来回跑步(遇到乙立即返回，遇到甲也立即返回)．已知丙每分钟跑 240 米，甲每分钟走 40 米，当丙第一次折返回来并与甲相遇时甲、乙二人相距 210 米，那么乙每分钟走________米；甲下一次遇到丙时，甲、乙相距________米．
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】填空
【解析】 如图所示：

假设乙、丙在处相遇，然后丙返回，并在处与甲相遇，此时乙则从走处到处．根据题意可知米．由于丙的速度是甲的速度的6倍，那么相同时间内丙跑的路程是甲走的路程的6倍，也就是从到再到的长度是的6倍，那么，，可见．那么丙从到所用的时间是从到所用时间的，那么这段时间内乙、丙所走的路程之和(加)是前一段时间内乙、丙所走的路程之和(加，即全程)的，所以，而，可得，．
相同时间内丙跑的路程是乙走的路程的倍，所以丙的速度是乙的速度的4倍，那么乙的速度为(米/分)，即乙每分钟走60米．
当这一次丙与甲相遇后，三人的位置关系和运动方向都与最开始时相同，只是甲、乙之间的距离改变了，变为原来的，但三人的速度不变，可知运动过程中的比例关系都不改变，那么当下一次甲、丙相遇时，甲、乙之间的距离也是此时距离的，为米．
【答案】米

【巩固】 甲、乙两车同时从 A地出发，不停地往返行驶于 A、B 两地之间．已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中 C 地．甲车的速度是乙车速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第一次相遇时两车合走了两个全程，而乙车走了 AC 这一段路；第二次相遇两车又合走了两个全程，而乙车走了从 C 地到 B 地再到 C 地，也就是 2 个 BC 段．由于两次的总行程相等，所以每次乙车走的路程也相等，所以 AC 的长等于 2 倍 BC 的长．而从第一次相遇到第二次相遇之间，甲车走了 2 个 AC 段，根据时间一定，速度比等于路程的比，甲车、乙车的速度比为 2 AC : 2 BC =2 :1 ，所以甲车的速度是乙车速度的 2 倍．
【答案】2 倍

【巩固】 甲、乙两人同时地出发，在、两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达地、地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇的地点距离地米，第三次的相遇点距离地米，那么第二次相遇的地点距离地 。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，4年级
【解析】 设甲、乙两人的速度分别为、，全程为，第二次相遇的地点距离地米。
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与地的距离为，那么第一次相遇的地点到地的距离与全程的比为；
两人第一次相遇后，甲调头向地走，乙则继续向地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到地的距离，即米。根据上面的分析可知第二次相遇的地点到地的距离与第一次相遇的地点到地的距离的比为；类似分析可知，第三次相遇的地点到地的距离与第二次相遇的地点到地的距离的比为；那么，，得到，故第二次相遇的地点距离地米。
【答案】

【例 6】 甲、乙两人同时从A地出发，在 A、 B 两地之间匀速往返行走，甲的速度大于乙的速度，甲每次到达 A地、B 地或遇到乙都会调头往回走，除此以外，两人在 A、B 之间行走方向不会改变，已知两人第一次相遇点距离 B 地1800 米，第三次相遇点距离 B 地 800米，那么第二次相遇的地点距离B 地多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设甲、乙两人的速度分别为、，全程为 s，第二次相遇的地点距离 B 地 x米．
由于甲的速度大于乙的速度，所以甲第一次遇到乙是甲到达 B 地并调头往回走时遇到乙的，这时甲、乙合走了两个全程，第一次相遇的地点与 B 地的距离为，那么第一次相遇的地点到 B 地的距离与全程的比为；两人第一次相遇后，甲调头向 B 地走，乙则继续向 B 地走，这样一个过程与第一次相遇前相似，只是这次的“全程”为第一次相遇的地点到 B 地的距离，即1800 米．根据上面的分析可知第二次相遇的地点到 B 地的距离与第一次相遇的地点到 B 地的距离的比为；类似分析可知，第三次相遇的地点到 B 地的距离与第二次相遇的地点到 B 地的距离的比为；那么，得到 ，故第二次相遇的地点距离 B 地1200 米．
【答案】1200 米

【例 7】 每天早晨，小刚定时离家步行上学，张大爷也定时出家门散步，他们相向而行，并且准时在途中相遇．有一天，小刚提早出门，因此比平时早 7 分钟与张大爷相遇．已知小刚步行速度是每分钟70 米，张大爷步行速度是每分钟 40 米，那么这一天小刚比平时早出门多少分钟？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 比平时早 7 分钟相遇，那么小刚因提早出门而比平时多走的路程为小刚和张大爷 7 分钟合走的路程，所以当张大爷出门时小刚已经比平时多走了 （70 +40 ）×7 =770 米，因此小刚比平时早出门770 ÷70 =11分钟．
【答案】11分钟

【例 8】 甲、乙两人步行速度之比是3∶2，甲、乙分别由A，B两地同时出发，若相向而行，则1时后相遇。若同向而行，则甲需要多少时间才能追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 5时。解：设甲、乙速度分别为3x千米／时和2x千米／时。由题意可知 A，B两地相距（3x＋2x）×1＝5x（千米）。追及时间为5x÷（3x－2x）=5（时）。
【答案】5时

【例 9】 一辆小汽车与一辆大卡车在一段9千米长的狭路上相遇，必须倒车，才能继续通行．已知小汽车的速度是大卡车速度的3倍，两车倒车的速度是各自速度的，小汽车需倒车的路程是大卡车需倒车的路程的4倍．如果小汽车的速度是每小时50千米，那么要通过这段狭路最少用多少小时?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】

如果一辆车在倒车，另一辆的速度一定大于其倒军速度，即一车倒出狭路另一车也驶离狭路，倒车的车可立即通过．
小汽车倒车的路程为千米，大卡车倒车的路程为千米．
小汽车倒车的路程为千米／小时，大卡车倒车的速度为千米/小时
当小汽车倒车时，倒车需7.2÷10=O.72小时，而行驶过狭路需9÷50=0.18小时，共需小时；
当大卡车倒车时，倒车需小时，而行驶过狭路需小时，共小时．
显然当小轿车倒车时所需时间最少，需0.9小时．
【答案】0.9小时

【例 10】 一辆货车从甲地往乙地运货，然后空车返回，再继续运货。已知装满货物每时行50千米，空车每时行70千米。不计装卸货物时间，9时往返五次。求甲、乙两地的距离。
考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 52.5千米。解：因为满车与空车的速度比为50∶70＝5∶7，所以9时中满车行的时间为的时间为（时），两地距离为（千米）。
【答案】千米

【例 11】 甲、乙两车往返于A，B两地之间。甲车去时的速度为60千米／时，返回时的速度为40千米／时；乙车往返的速度都是50千米／时。求甲、乙两车往返一次所用时间的比。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 25∶24。提示：设A，B两地相距600千米。
【答案】25∶24

【例 12】 甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 75分。提示：行驶相同路程所需时间之比为：，。
【答案】75分

【例 13】 甲火车4分行进的路程等于乙火车 5分行进的路程。乙火车上午8：00从B站开往A站，开出若干分后，甲火车从A站出发开往B站。上午9：00两列火车相遇，相遇的地点离A，B两站的距离的比是15∶16。甲火车从A站发车的时间是几点几分？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 8点15分。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，B两站的距离的比是15∶16，说明相遇前乙车所走路程等于乙火车时所走路程的，也就是说已走了时。所以甲火车发车时间是点分。
【答案】8点15分

【例 14】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是1∶2∶3，某人走这三段路所用的时间之比是4∶5∶6。已知他上坡时每小时行2.5千米，路程全长为20千米。此人走完全程需多长时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 20.5时。提示：先求出上坡的路程和所用时间。
【答案】20.5时

【巩固】 一段路程分为上坡、平路、下坡三段，各段路程的长度之比是2∶3∶5，某人骑车走这三段路所用的时间之比是6∶5∶4。已知他走平路时速度为4.5千米／时，全程用了5时。问：全程多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 21.25千米。提示：先求出走平路所用的时间和路程。
【答案】21.25千米

【巩固】 甲、乙两列火车的速度比是5∶4。乙车先从B站开往A站，当走到离B站72千米的地方时，甲车从A站发车开往B站。如果两列火车相遇的地方离A，B两站距离的比是3∶4，那么A，B两站之间的距离为多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 315千米。解：从甲火车出发算起，到相遇时两车走的路程之比为5∶4＝15∶12，而相遇点距A，B两站的距离之比是3∶4＝15∶20，说明相遇前乙车走的千米占全程的，所以全程为（千米）
【答案】315千米

【巩固】 大、小客车从甲、乙两地同时相向开出，大、小客车的速度比为4∶5，两车开出后60分相遇，并继续前进。　　问：大客车比小客车晚多少分到达目的地？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 27分。解：大客车还需（分）、小客车还需（分）。大客车比小客车晚到（分）
【答案】27分

【例 15】 从甲地到乙地全部是山路，其中上山路程是下山路程的。一辆汽车上山速度是下山速度的一半，从甲地到乙地共行7时。这辆汽车从乙地返回甲地需要多少时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 8时。 解：根据题意，上山与下山的路程比为2∶3，速度比为，所用时间比为。因为从甲地到乙地共行7时，所以上山用4时，下山用3时。
　　如下图所示，从乙地返回甲地时，因为下山的速度是上山的2倍，所以从乙到丙用3×2＝6（时），从丙到甲用4÷2＝2（时），共用6＋2＝8（时）。

【答案】8时

【例 16】 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 680米。提示：先求长跑运动员的速度。
【答案】680米

【例 17】 甲、乙两人都从A地经B地到C地。甲8点出发，乙8点45分出发。乙9点45分到达B地时，甲已经离开B地20分。两人刚好同时到达C地。问：到达C地时是什么时间？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 10点33分。解：到达B地甲用85分，乙用60分，也就是说，甲走85分的路程，乙至少走25分。由此推知，乙要比甲少走45分，甲要走（分）=时分。所以两人同时到C地的时间为10点33分。
【答案】10点33分

【例 18】 甲、乙两车先后以相同的速度从A站开出，10点整甲车距A站的距离是乙车距A站距离的三倍，10点10分甲车距A站的距离是乙车距A站距离的二倍。问：甲车是何时从A站出发的？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 9点30分。提示：因为两车速度相同，故甲、乙两车距A站的距离之比等于甲、乙两车行驶的时间之比。设10点时乙车行驶了x分，用车行驶了3x分，据题意有2（x＋10）=3x＋10。
【答案】9点30分

【例 19】 某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的三倍，那么汽车速度是人步行速度的多少倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 7倍。提示：汽车行10分的路程，等于步行10分与骑车20分行的路程之和。
【答案】7倍

【例 20】 兄弟两人骑马进城，全程51千米。马每时行12千米，但只能由一个人骑。哥哥每时步行5千米，弟弟每时步行4千米。两人轮换骑马和步行，骑马者走过一段距离就下鞍拴马（下鞍拴马的时间忽略不计），然后独自步行。而步行者到达此地，再上马前进。若他们早晨6点动身，则何时能同时到达城里？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 下午1点45分。解：设哥哥步行了x千米，则骑马行了（51－x）千米。而弟弟正好相反，步行了（51－x）千米，骑马行x千米。由哥哥骑马与步行所用的时间之和与弟弟相等，可列出方程　　解得x=30（千米）。所以两人用的时间同为.早晨6点动身，下午1点45分到达。
【答案】下午1点45分

模块二：时间相同速度比等于路程比
【例 21】 A、 B 两地相距 7200 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇．如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为 (7200 －2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3．乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的．两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分钟，所以甲的速度为 (米/分)．
【答案】 米/分

【例 22】 甲、乙分别从A，B两地同时相向出发。相遇时，甲、乙所行的路程比是a∶b。从相遇算起，甲到达B地与乙到达A地所用的时间比是多少？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 b2∶a2。解：因为甲、乙的速度比是a∶b，所以相遇后甲、乙还要行的路程比是b∶a，还要用的时间比是（b÷a）∶（a÷b）＝b2：a2。
【答案】b2∶a2

【巩固】 甲、乙两辆车分别同时从 A， B两地相向而行，相遇后甲又经过15分到达B地，乙又经过1时到达A地，甲车速度是乙车速度的几倍？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 2倍。解： 60∶15＝22∶12，所以甲车速度是乙车的2倍。
【答案】2倍

【巩固】 A，B两地相距1800米，甲、乙二人分别从A，B两地同时出发，相向而行。相遇后甲又走了8分到达B地，乙又走了18分到达A地。甲、乙二人每分钟各走多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 每分甲走90米，乙走60米。解： 18∶8＝32∶22，所以甲的速度是乙的3÷2＝1.5（倍）。相遇时乙走了1800÷（1＋1.5）＝720（米）。推知，甲每分走720÷8＝90（米），乙每分走90÷1.5＝60（米）。
【答案】60米

【例 23】 甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行。出发时他们的速度之比是3：2，相遇后，甲的速度提高20%，乙的速度提高，这样当甲到达地时，乙离地还有41千米，那么两地相遇__________千米。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯,六年级,一试
【解析】

相遇前
相遇后
∴ 如图！
即
【答案】

【例 24】 甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了个全程，与第一次相遇地点的距离为个全程．所以 A、 B两地相距 (千米)．
【答案】 千米

【巩固】 甲、乙两车分别从 A、B 两地出发，在 A、B 之间不断往返行驶，已知甲车的速度是乙车的速度的，并且甲、乙两车第 2007 次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第 2008 次相遇的地点恰好相距 120 千米，那么，A、B 两地之间的距离等于多少 千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 甲、乙速度之比是 3：7，所以我们可以设整个路程为 3+7=10 份，这样一个全程中甲走 3 份，第 2007 次相遇时甲总共走了 3×（2007×2-1）=12039 份，第 2008 次相遇时甲总共走了 3×（2008×2-1）=12045 份，所以总长为 120÷［12045-12040-（12040-12039）]×10=300 米.
【答案】300 米

【例 25】 B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：

因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：
（1） 若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信

当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信
在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），
此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟
所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）
（2） 同理先追及甲需要时间为120分钟
【答案】90分钟

【例 26】 甲、乙两人同时从 A、 B 两点出发，甲每分钟行 80米，乙每分钟行 60米，出发一段时间后，两人在距中点的 C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了 7分钟，两人将在距中点的 D 处相遇，且中点距 C 、 D 距离相等，问 A、 B 两点相距多少米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 甲、乙两人速度比为，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的，乙走了全程的．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的，甲行了全程的．由于甲、乙速度比为 4 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了，所以甲停留期间乙行了，所以 A、B 两点的距离为 (米)．
【答案】米

【例 27】 如图3，甲、乙二人分别在A、B两地同时相向而行，于E处相遇后，甲继续向B地行走，乙则休息了14分钟，再继续向A地行走。甲和乙到达B和A后立即折返，仍在E处相遇，已知甲分钟行走60米，乙每分钟行走80米，则A和B两地相（　）米。

图3
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【关键词】华杯赛，决赛
【解析】 1680米
【答案】米

【例 28】 甲、乙两车分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A地还有 10 千米．那么 A、B 两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 两车相遇时甲走了全程的，乙走了全程的，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为 ，所以甲到达 B 地时，乙又走了，距离 A地，所以 A、 B 两地的距离为 (千米)．
【答案】 千米

【例 29】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。
【答案】10 点

【例 30】 从甲地到乙地，需先走一段下坡路，再走一段平路，最后再走一段上坡路。其中下坡路与上坡路的距离相等。陈明开车从甲地到乙地共用了 3 小时，其中第一小时比第二小时多走 15 千米，第二小时比第三小时多走 25 千米。如果汽车走上坡路比走平路每小时慢 30 千米走下坡路比走平路每小时快 15 千米。那么甲乙两地相距多少千米？
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】5星 【题型】解答
【解析】 ⑴由于3个小时中每个小时各走的什么路不明确，所以需要先予以确定．
从甲地到乙地共用3小时，如果最后一小时先走了一段平路再走上坡路，也就是说走上坡路的路程不需要1小时，那么由于下坡路与上坡路距离相等，而下坡速度更快，所以下坡更用不了1小时，这说明第一小时既走完了下坡路，又走了一段平路，而第二小时则是全在走平路．这样的话，由于下坡速度大于平路速度，所以第一小时走的路程小于以下坡的速度走1小时的路程，而这个路程恰好比以平路的速度走1小时的路程(即第二小时走的路程)多走15千米，所以这样的话第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，不合题意，所以假设不成立，即第三小时全部在走上坡路．
如果第一小时全部在走下坡路，那么第二小时走了一段下坡路后又走了一段平路，这样第二小时走的路程将大于以平路的速度走1小时的路程，而第一小时走的路程比第二小时走的路程多走的少于15千米，也不合题意，所以假设也不成立，故第一小时已走完下坡路，还走了一段平路．
所以整个行程为：第一小时已走完下坡路，还走了一段平路；第二小时走完平路，还走了一段上坡路；第三小时全部在走上坡路．
⑵由于第二小时比第三小时多走25千米，而走平路比走上坡路的速度快每小时30千米．所以第二小时内用在走平路上的时间为小时，其余的小时在走上坡路；
因为第一小时比第二小时多走了15千米，而小时的下坡路比上坡路要多走千米，那么第一小时余下的下坡路所用的时间为小时，所以在第一小时中，有小时是在下坡路上走的，剩余的小时是在平路上走的．
因此，陈明走下坡路用了小时，走平路用了小时，走上坡路用了小时．
⑶因为下坡路与上坡路的距离相等，所以上坡路与下坡路的速度比是．那么下坡路的速度为千米/时，平路的速度是每小时千米，上坡路的速度是每小时千米．
那么甲、乙两地相距(千米)．
【答案】千米

【例 31】 甲、乙两班学生到离校24千米的飞机场参观，但只有一辆汽车，一次只能乘坐一个班的学生．为了尽快到达飞机场，两个班商定，由甲班先坐车，乙班先步行，同时出发，甲班学生在途中某地下车后步行去飞机场，汽车则从某地立即返回接在途中步行的乙班学生．如果甲、乙两班学生步行速度相同，汽车速度是他们步行速度的7倍，那么汽车应在距飞机场多少千米处返回接乙班学生，才能使两班同时到达飞机场?
【考点】行程问题之比例解行程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 设学生步行时速度为“1”，那么汽车的速度为“7”，有如下示意图．
我们让甲班先乘车，那么当乙班步行至距学校l处，甲班已乘车至距学校7l处．此时甲班下车步行，汽车往回行驶接乙班，汽车、乙班将相遇．

汽车、乙班的距离为7l-l=6l，两者的速度和为7+1=8，所需时间为6l÷8=0.75l，这段时间乙班学生又步行0.75l的路程，所以乙班学生共步行l+0.75l=1.75l后乘车而行．
应要求甲、乙班同时出发、同时到达，且甲、乙两班步行的速度相等，所以甲班也应在步行1.75l路程后达到飞机场，有甲班经过的全程为7l+1.75l=8.75 l，应为全程．
所以有7l=24÷8.75×7=19.2千米，即在距学校19.2千米的地方甲班学生下车步行，此地距飞机场24-19.2=4.8千米．