反比例函数图像的性质.doc

反比例函数的图像和性质（1）
第一部分 教学设计
一、内容和内容解析
本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》中的“数与代数”领域，是在已经学习了平面直角坐标系和一次函数的基础上，进一步研究反比例函数的图象，并通过图象的研究和分析，来确定反比例函数的性质．
反比例函数是最基本的初等函数之一，是学习后续各类函数的基础．反比例函数的核心内容是反比例函数的概念、图象和性质．反比例函数的图象和性质的核心，是图象“特征”、函数“特性”以及它们之间的相互转化关系，这也正是反比例函数的本质属性所在．
反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想．首先，反比例函数图象和性质，本身就是数”与“形”的统一体．通过对图象的研究和分析，可以确定函数本身的性质，体现了数形结合的思想方法．这在学习数轴、平面直角坐标系时，学生已经接触过，结合本课内容，可以进一步加强对数形结合思想方法的理解，发挥从“数”和“形”两个方面共同分析解决问题的优势．其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用．再次，将函数中变量、之间的对应关系，通过图象的形状、变化趋势，借助平面直角坐 标系和点的坐标，直观地予以呈现，这又充分体现了变化与对应的数学思想．
对于反比例函数图象及性质的研究与学习，尽管还处于函数学习的初级阶段，但它所体现的函数学习的一般规律和方法，是继一次函数学习之后的再一次强化．教材中呈现的“函数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的结构，是学习初等函数时不可或缺的．使学生理解这样的“同构现象”，对于明确学习任务，建立完善的认知结构也将是非常有意义的．再有，用描点法画反比例函数的图象时，先由函数解析式考虑自变量的取值范围，分析、的对应变化关系，然后构思函数图象的大致位置、轮廓、趋势，进而列表、描点、连线作出函数图象，反映了作函数图象的一般规律．另外，利用图象“特征”确定函数“特性”，也是初中阶段研究函数性质的常用方法．
此外，反比例函数图象和性质的学习，是继一次函数后，知识与方法上的一次拓展，理解与认识上的一次升华，也是思维上的一次飞跃．图象由由“一条”到“两支”，形态由“直”到“曲”，由“连续”到“间断”，由与坐标轴“相交”到“渐近”，无不折射出对函数概念本质属性认识的进一步深化．
因此，学好本节课内容将为今后的函数学习奠定坚实的基础．
教学重点：反比例函数的图象和性质．
二、目标和目标解析
（一）教学目标
1．会画反比例函数图象，理解反比例函数的图象和性质．
2．感悟“数形结合”、“变化与对应”和“转化”的数学思想，并能应用数形结合和转化思想根据反比例函数的图象探究其性质．
3．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力．
（二）目标解析
1．本节教学内容的脉络是：先使用描点法画出反比例函数的图象，然后依据图象分析、探究、归纳得到函数的性质．因此，准确画出反比例函数的图象，是探究反比例函数性质的前提．此时，虽然学生已经学过用描点法画函数图象，但是由于反比例函数图象的特殊性，会画反比例函数的图象，仍是学习中的目标之一．通过列表、描点、画出反比例函数的图象，进而观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，可以进一步加深对函数三种表示方法（列表法、解析式法和图象法）的理解；
2．数学思想的教学一般要经过渗透孕育期、领悟形成期、应用发展期、巩固深化期四个阶段，而非能复制与灌输．在探究反比例函数性质时，让学生领悟到数形结合思想、转化思想、变化与对应思想的存在，并能运用这些数学思想观察、分析反比例函数的图象，探究、归纳、概括反比例函数的性质．
3．通过对反比例函数性质探究，使学生经历观察、分析、探究、归纳、概括的认知过程，培养学生良好的思维品质，提高学生思维能力．
三、教学问题诊断分析
对于用描点法画函数的图象，学生已经学过，但因当时处于函数学习的初始阶段，重点只是让学生掌握用描点法画函数图象的“三步曲（列表、描点、连线）”，所以，学生对每步要求的理解并不深刻．因此，在画反比例函数图象时，常遇到如下的问题：（1）“列表”时确定自变量的取值缺乏代表性及忽略等现象；（2）“连线”时，由于一次函数图象是一条直线，容易使学生产生知识上的负迁移，把双曲线画成折线；（3）对双曲线与轴、轴“越来越靠近”但不相交的趋势不易理解．教学时，应注意有针对性的引导，注意从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（，,）、“式”（解析式中、的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识．
在学习一次函数的时候，学生已经历过观察、分析图象的特征，抽象、概括函数性质的过程，对研究函数性质所用的探究方法也有一定的了解、因此，通过类比，结合反比例函数的图象探究性质，从使用的方法上不会存在障碍，但由于反比例函数图象比一函数图象的形态丰富，结构复杂，具有自身的特殊性，故对性质的深刻理解和掌握，对性质探究中的数学思想的体会和运用，还存在一定的困难．教学中，应注重强调说明由“数”到“形”、由“形”到“数”的转化关系，以“数”与“形”的转化为途径，展开探究活动．
教学难点：准确画出反比例函数的图象，理解反比例函数的性质，并能灵活应用．
四、教学支持条件分析
根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板软件为平台，绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当自变量变化时，对应的函数值的变化规律，进而探究反比例函数的性质．
五、教学过程设计
（一）创设情境，引入新知
问题1：①请同学们以正比例函数为例，回顾一下我们已经学习过正比例函数的哪些内容？
②我们从哪几个方面研究了正比例函数图象的性质？
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充，并将答案填写在黑板的表格中，强调是从形状、位置、增减性三个方面去研究．

表1
函数
图象形状
图象位置
函数增减性
y=6x

y=-6x

【设计意图】通过复习正比例函数的图象和性质，以及研究函数的一般方法，为学习反比例函数的图象和性质做好铺垫．

教师引语：函数表达式是表示函数的一种重要的方式，但是有些问题中的函数关系很难列子表示，但是可以用图来直观地反映，例如心电图中心脏电流与时间的的关系，温度同时时间的变化关系等。另外，即使对于一些能列式表示的函数关系，如果也能画图表示，则会使函数关系更清晰。那么下面我们就来研究反比例函数的图象。

（二）新课讲解
问题3：你能不能根据反比例函数的表达式来初步判断一下反比例函数的图像可能有哪些特征吗？
【设计意图】“由数到形”，培养学生的思维能力。

问题4：通过反比例函数的表达式我们初步发现了一些反比例函数的特征，下面我们就再通过图像来看看反比例函数的图象有哪些特征？下面我们就来画反比例函数的图象。大家还记得画一次函数图像的一般步骤吗？
列表时注意事项：
①根据前面学习一次函数的经验，列表时应注意什么？“应该注意自变量X的取值范围.”
②是不是把所有x不等于0的点都列出来？“不是”
③那么我们应该如何取值？为了计算和描点，我们通常取X>0和X<0的一些数值。
描点时注意事项：“要用光滑的曲线”。
师生活动：教师引导学生列表、描点、作图；展示学生作品；教师板书示范，并通过课件演示反比例函数图象的生成过程，给出双曲线的名称，并渗透它的形态特征.

通过以上错误，你能总结一下我们在作反比例函数图象时应注意哪些问题。

问题5：你能通过反比例函数的图像总结一下它的性质吗？
师生活动：学生思考、回答，教师总结：看来，仅仅通过表达式或仅仅通过函数的图像很难对一个函数的性质做出全面的认识，需要我们将数与形进行结合，这样有助于我们更全面的把握函数的性质。
【设计意图】使学生从“形”的角度认识反比例函数，体会数形结合思想在研究函数中的重要作用。
 问题7 ：y=1/x，y=2/x，y=1.5/x是不是也具有上述特征呢？（借助几何画板来验证）

问题8：上述结论能推广到一般情形吗？（得到k＞0时的性质。）

【设计意图】由特殊到一般，引导学生总结出k＞0时的性质。

（三）课堂小结：
问题9：刚才我们通过表达式和图象都得到了反比例函数图象的一些性质，你能说一说函数表达式和函数图象在表示函数时各自的优势和不足吗？
教师总结：看来仅仅通过函数表达式或函数图象很难对函数有一个全面的认识与理解。要想获得对函数较为全面的认识，我们要从“数”与“形”两个角度来进行研究，即用“数形结合”的数学思想来研究函数.这是我们研究函数的基本套路，正如著名数学家华罗庚说的那样：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。
【设计意图】使学生体会到“数”与“形”在研究函数时各自的优势与不足，突出“数形结合”的重要性。

（四）课后作业：
请类比今天我们的研究过程，研究一下K<0时反比例函数的图象的性质。

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