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反比例函数的图象和性质教案
2018届数学组 郭长荣

教

材

分

析
反比例函数的图象和性质是反比例函数的教学重点，学生需要在理解的基础上熟练运用。本节课是全章的核心，学习的主要内容是画反比例函数的图象，让学生结合实例，通过列表、描点、连线等手段经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，初步认识反比例函数的图象的特征，逐步明确反比例函数的直观形象，为学生探索反比例函数的图象的性质提供思维活动的空间。
反比例函数是初中阶段研究的第二种函数，它的图象与一次函数的图象不同，研究方法更具有一般性和代表性，可为以后二次函数以及其他函数的学习奠定坚实的基础。

教

学

目

标
知识
技能
1、理解并掌握反比例函数的定义，并知道三种表示形式。
2、会用描点法画反比例函数的图象。
2、结合图象分析、并掌握反比例函数的图象的性质。

数学
思考
1、经历画图、观察、猜想、思考、归纳等数学活动，向学生渗透数形结合的思想方法。
2、通过观察反比例函数的图象，分析、探究反比例函数的图象的性质，培养学生的探究、归纳及概括能力。
情感态度
与价值观
1、让学生体会事物是有规律的变化着的观点。
2、由图象的画法和分析，体验数学活动中的探索性和创造性，感受数学美，并通过图象的直观教学激发学生的学习兴趣。
教学重点
1、 掌握反比例函数的定义，并能求参数的值；
2、 正确地进行描点，画出图象，理解并掌握反比例函数的图象和性质。
教学难点
图象的对称性选点，归纳反比例函数的图象的性质。
教学
方法
引导探索法”。由浅到深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索、合作交流。
教学过程说明
问题与情境
师生行为
设计意图
一、创设情境，启发探究
(1)某玩具厂计划生产一种玩具熊猫，已知每只玩具熊猫成本为y，若该厂每月生产x只（x取正整数），这个月的总成本为5000元，y与x之间满足的关系式；
(2)京沪线铁路全程为1463km,乘坐某次列车所用时间t（单位：h）随该列车平均速度v（单位：km/h）的变化而变化；
(3)某住宅小区要种植一个面积为1000㎡的矩形草坪，草坪的长y随宽x的变化而变化；
二、小试牛刀
1、下列哪些式子表示y是x的反比例函数？
（1）y=4x (2)

学生思考后，回答：

此时，我抓住时机提问：
（1）这些函数关系式是正比例函数吗？是一次函数吗？
（2）这些函数解析式有什么共同特征？

先让学生独立思考，然后全班同学齐声回答

通过实际问题，让学生对正比例函数和一次函数的定义进行回顾，引导学生进行猜测，并类比正比例函数的定义方式，引出对反比例函数的定义。，并引出课题——反比例函数的概念、图像和性质。

通过练习让学生巩固反比例函数的定义，并通过（3）（5）（7）（8）归纳出反比例函数的三种形式：，，

2、试确定下列m的值.
(1)若 是反比例函数,则m= ;
(2)若 是关于x的反比例函数, 则m= ;

学生思考后回答
通过对参数的求值，再次巩固反比例函数的定义和其他两种不同形式的掌握
合作探究
师生行为
设计意图
活动1：在不同坐标系中用描点法画出下列两个反比例函数的图象.

1、结合猜测，尝试作图

2、结合所作，辩析图象

由于刚鼓起来的猜测热情，大部分同学会不假思索地动手画起来，我在巡视过程中，不对作图的对错作过多评价，只是鼓励学生动脑、动手，建议合作交流，并及时收集各种错误图象。

我出示有代表性的错误图象，先请作出者表述一下画法，再结合同学们的集体智慧，进行辩驳。
在辨析过程中，既让学生认识到错误，更注重引导学生发现其中的合理成分，我用疏导的方式，将负迁移平稳滑移到合理的做法上来，让出现错误的同学心服口服，彻底澄明。
数学活动必须建立在学生已有的认知发展水平及知识经验基础之上。鼓励学生作图，培养学生的参与意识，并及时了解学生的认知水平，由于正比例函数图象所产生的负迁移及贪图省力的心理驱动，所作图象会出现一些错误，这正为我们的教学提供宝贵的、可利用的资源。

教育心理学认为：概念或法则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息。
学生在探索过程中出现错误是符合学生的认知规律，而充分发挥学生的主体作用，疑惑让学生辨，方法让学生找，在相互辩驳中激化矛盾，形成思维碰撞，在反思，讨论中逐

3、结合辨析，体会作法
思考：
（1）你认为画反比例函数图象应注意哪些问题？

（2）反比例函数图象可与坐标轴相交吗？为什么？

4、结合体会，作出图象

（其中图1取了不同象限的两点，为对称取点提供了思路；图2选了同一象限邻近的两点，这也是探索图象形状所必备的；图3已初具形态，只不过使用了折线；图4的取点已经趋于合理，形态也基本呈现，这是大部分同学最感困惑的地方，他们知道不能经过原点，但两个部分怎样连接起来？这是学生理解的难点所在。）

先让学生冷静思考，组织语言，再相互交流，表述观点。我让更多同学发言，相互补充，让学生认识到画反比例函数图象仍然要按列表、描点、连线的步骤进行，应注意：
1、列表取值时X≠0，因为X=0，函数无意义，因此可以以“0”为中心，对称性取值，即正负数各取一样，且互为相反数，这样便于求y的值。
2、因为图象的样子不太清楚，应该多取一些值、多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确。
3、连线时应接自变量的值从小到大的顺序用平滑的曲线连接，切忌用折线。
4、因为X≠0，K≠0，所以y≠0，从而决定反比例函数图象不可能与坐标轴相交 ，两象限内的部分只能“隔海相望”，形成两个分支。

先由学生自主作图，再提出师生交换角色，让学生指导，我按步骤画出图象。
步取得正确的作图经验，不仅克服了正比例函数图象的负迁移，反而体会到反比例函数图象的大致形象，正如奥姆斯特得所说的“一个数学反例可以解决的问题，给人的刺激就如好的戏剧，让人拍案叫绝”。
对学生的错误进行正面评价，不仅让学生认识到探索中出现错误的原因，更让学生意识到自己的探索是有意义、有价值的，进一步激发了学生的学习热情及探索的勇气。

自主探索，合作交流必须建立在学生的独立探索的基础上，因此先强调学生独立思考、梳理经验与体会，再相互交流，互相补充，进而获得反比例函数图象画法的要领与关键，既培养了学生善于独立思考的好习惯，又培养了学生乐于合作的协作意识。
教师不仅是活动的策划者、引导者，更应是活动的参与者，教师的参与不仅会对规范作图起到示范性、指导性的作用，同时，角色的转换，促进师生关系和谐，进一步激发学生的参与意识。
活动2：小组合作、探究性质
你能类比正比例函数的性质探讨反比例函数的性质吗？
问题1：从以上作图看，你发现反比例函数图象有什么共同点？其形状是什么？
问题2：观察以上四个图象，你能对它们进行分类吗？说说你分类的标准。
问题3：你认为反比例函数中什么元素决定了图象的特征差异？
问题4：你能总结出反比例函数的性质吗？
引导学生回忆作图过程，观察图象，分析、交流，逐步理解并掌握反比例函数图象的性质：
1、反比例函数的图象属于双曲线，随X的增大（或缩小），双曲线不断接近坐标轴。
2、允许学生有不同分类，分类依据只要合理便予以充分肯定。
3、引导学生从具体的图象中发现k值的作用。
4引导学生从图象形状、位置及增减性等方面对图象的性质进行归纳。
布鲁纳说过：“探索是数学的生命线”。数学问题往往蕴含着智力因素，具有一定挑战性，通过巧妙设问，锻炼了学生的思维。“你发现了什么？” “你想到了什么？”“你认为……”等等语句激活了学生愿探其祥的动机，不断地挑战，又不断地得到突破，使学生品尝到探索成功的乐趣。
在分析，探究的过程中，重视学生对图象的观察与思考，向学生渗透数形结合的思想方法。
以练促思，强化新知
小试牛刀
1. 反比例函数 的图象位于
第 象限；在每一象限内y随x的增大而 。
2.在反比例函数 中，在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是 .
3. 点A（2，y1）和点B（3，y2）都在反比例函数 的图象上，y1与y2的大小关系是（ ）
D.不能确定

学生独立思考，然后回答，我再进行讲评。

通过训练使学生加深对反比例函数的性质的理解与记忆，不断地完善新的认知结构。
学以致用
师生行为

1. 反比例函数 的图象大致是（ ）

2.如图，这是下列四个函数中哪一个函数的图象（ ）

3. 已知y与x成反比例，且当x=-2时，y=3，则y与x之 间的函数
关系式是 .

学生独立思考，一起回答

反复巩固，加深理解
课堂小结
师生行为
设计意图
（1）知识归纳
（2）思想方法提炼
鼓励学生从数学知识、数学方法及数学情感等方面交流体会，通过完成对比表，进一步对知识进行梳理。
积极引导学生从探索过程中提炼出解决问题的思想方法。

反思与小结，培养了学生的归纳总结能力，让学生建构新的知识框架，增强学生的认识水平，发展数学能力。
拓展提高
师生行为
设计意图
在函数（a为常数）的图像上有三点（x1,y1），（x2,y2），（x3,y3），且x1态度与精神。
本节课的教学设计力求在每一个环节上都能以学生为主体，以围绕着增加学生学习的兴趣，降低思维难度，减少学生对函数学习的畏惧心理，强化主动的学习动机，为学生自信的心理品质的发展和学习的主动性培养提供良好的心理环境为出发点，让学生自己完成知识的探索，体会他们的探索是有意义、有科学性、有创造性的。本设计有以下几个突出特点：
1、.敢于使用知识的负迁移。在教学中普遍认为，知识的负迁移对学生起到负面的作用，因此，在教学中都想方设法避开这些错误的负面，一旦出现也是围追堵截，消灭在萌芽状态。而实际上，巧妙地利用负面资源，变废为宝，不失良策，甚至能起到事半功倍的效果。
2、提供足够的感性材料，为理性认识蓄足底蕴。
为了更好地发现反比例函数的性质，组织了三次画图活动，在画图、评析、纠正、调整等活动中反复历练了画图的方法，学生有了丰富的感性素材，可谓“厚积薄发”。
3、教师、学生的合理定位。
教师始终把自己放在了策划者、引导者、促进者的位置，注重了学法的指导，“授人以鱼，不如授人以渔”，方法是高于知识的，它能驾驭知识。同时把学生推向前台，使学生以研究者和探索者的身份穿梭于课堂，充分突出了主体的地位，角色的更新提升了学生的参与意识，在成功中获得自信，可谓德智双赢。
板书设计：
反比例函数的图象和性质
1. 定义
2. 三种形式
3.性质：
1、形状
2、位置
3、增减性

多媒体展示

练习