第13讲三角形与全等三角形.doc

第13讲　三角形与全等三角形
考试目标锁定
考纲要求
备考指津
1.了解三角形和全等三角形有关的概念，掌握三角形的三边关系．
2.理解三角形内角和定理及推论．
3.理解三角形的角平分线、中线、高的概念及画法和性质．
4.掌握三角形全等的性质与判定，熟练掌握三角形全等的证明.
　　中考中多以填空题、选择题的形式考查三角形的边角关系，通过解答题来考查全等三角形的性质及判定．全等三角形在中考中常与平行四边形、二次函数、圆等知识相结合，考查学生综合运用知识的能力．
基础自主导学
考点一　三角形的概念及性质
1．概念：(1)由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．(2)三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．
2．性质：(1)三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．(2)三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边．
考点二　三角形中的重要线段
1．三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．
2．三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．
3．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点．
4．三角形的中位线：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于它的一半．
考点三　全等三角形的性质与判定
1．概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
2．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．
3．判定：(1)有三边对应相等的两个三角形全等，简记为(SSS)；(2)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为(SAS)；(3)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等简记为(ASA)；(4)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为(AAS)；(5)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为(HL)．
考点四　定义、命题、定理、公理
1．定义：对一个概念的特征、性质的描述叫做这个概念的定义．
2．命题：判断一件事情的语句．
(1)命题由题设和结论两部分组成．命题通常写成“如果…那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论．
(2)命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题．
(3)互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题．每一个命题都有逆命题．
3．定理：经过证明的真命题叫做定理．因为定理的逆命题不一定都是真命题．所以不是所有的定理都有逆定理．
4．公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理．
考点五　证明
1．证明：从一个命题的条件出发，根据定义、公理及定理，经过逻辑推理，得出它的结论成立，从而判断该命题为真，这个过程叫做证明．
2．证明的一般步骤：(1)审题，找出命题的题设和结论；(2)由题意画出图形，具有一般性；(3)用数学语言写出已知、求证；(4)分析证明的思路；(5)写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密．
3．反证法：先假设命题中结论的反面成立，推出与已知条件或是定义、定理等相矛盾，从而结论的反面不可能成立，借此证明原命题结论是成立的．这种证明的方法叫做反证法．

1．若一个三角形三个内角度数的比为2∶3∶4，那么这个三角形是(　　)．
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
2．在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，若BC＝5，则DE的长是(　　)．
A．2.5 　B．5 C．10 D．15
3．如图所示，AB＝AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是(　　)．

A．∠B＝∠C B．AD＝AE C．∠ADC＝∠AEB D．DC＝BE
4．下面的命题中，真命题的是(　　)．
A．有一条斜边对应相等的两个直角三角形全等
B．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等
C．有一条边对应相等的两个等腰三角形全等
D．有一条高对应相等的两个等边三角形全等
5．如图，在△ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE.请你添加一个条件，使△BDE≌△CDF(不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明．

(1)你添加的条件是：______；
(2)证明：

规律-方法探索
一、三角形的边角关系
【例1】 若三角形三边长分别为3,4，x－1，则x的取值范围是(　　)．
A．0＜x＜8 B．2＜x＜8 C．0＜x＜6 D．2＜x＜6
解析：已知三角形两边a，b的长，确定第三边c的取值范围，c应满足|a－b|＜c＜a＋b；要判断三条线段能否组成三角形，只要检验较短的两条线段之和是否大于第三条线段即可．根据三角形的三边关系定理，得1＜x－1＜7，
∴2＜x＜8.
答案：B

三角形边的关系的应用：(1)判定三条线段是否构成三角形；(2)已知两边的长，确定第三边的取值范围；(3)可证明线段之间的不等关系．
二、全等三角形的性质与判定
【例2】 如图，C是线段AB的中点，CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，CD＝CE.

(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠D＝50°，求∠B的度数．
分析：本题综合考查三角形的全等及性质，利用“SAS”判定△ACD≌△BCE后，再利用性质可得到∠E＝50°，从而求出∠B．
解：(1)证明：∵C是线段AB的中点，
∴AC＝BC．
∵CD平分∠ACE，CE平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.
又∵CD＝CE，∴△ACD≌△BCE(SAS)．
(2)∵∠1＝∠2，∠2＝∠3，∴∠1＝∠2＝∠3.
∴∠3＝60°.
由△ACD≌△BCE，得∠D＝∠E.
∵∠D＝50°，∴∠E＝50°.
则∠B＝180°－∠E－∠3＝180°－50°－60°＝70°.

1．判定两个三角形全等时，常用下面的思路：有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等；有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等．
2．全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边、对应角、对应中线、对应高、对应角平分线、周长、面积等之间的等量关系．
如图所示，∠BAC＝∠ABD，AC＝BD，点O是AD，BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．

三、真假命题的判断
【例3】 下列命题，正确的是(　　)．
A．如果|a|＝|b|，那么a＝b
B．等腰梯形的对角线互相垂直
C．顺次连接四边形各边中点所得到的四边形是平行四边形
D．相等的圆周角所对的弧相等
解析：A项不正确，例如：|－2|＝|2|，但－2≠2；B项不正确，等腰梯形的对角线可能垂直，但并不是所有的等腰梯形对角线都垂直；C项正确，可以根据三角形中位线定理和平行四边形的判定得到；D项错误，相等的圆周角所对的弧相等，必须是在同圆或等圆中．
答案：C

对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题．
四、证明的方法
【例4】 如图，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.

求证：(1)△BFC≌△DFC；

(2)AD＝DE.
证明：(1)∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝∠DCF.
在△BFC和△DFC中
∴△BFC≌△DFC．
(2)如图，连接BD．

∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF.∴∠FBD=∠FDB．
∵DF∥AB，∴∠ABD=∠FDB．
∴∠ABD=∠FBD．
∵AD∥BC，∴∠BDA=∠DBC．
∵BC=DC，∴∠DBC=∠BDC．∴∠BDA=∠BDC．
又BD是公共边，∴△BAD≌△BED．∴AD=DE.

1．证明问题时，首先要理清证明的思路，做到证明过程的每一步都有理有据，推理严密．要证明线段、角相等时，证全等是常用的方法．
2．证明的基本方法：(1)综合法，从已知条件入手，探索解题途径的方法；
(2)分析法，从结论出发，用倒推来寻求证题思路的方法；
(3)两头“凑”的方法，综合应用以上两种方法找证明思路的方法．

知能优化训练

1．(2012浙江台州)如图，点D，E，F分别为△ABC三边的中点，若△DEF的周长为10，则△ABC的周长为(　　)．

A．5 B．10 C．20 D．40
2．(2011内蒙古呼和浩特)下列判断正确的有(　　)．
①顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形的各边中点一定构成正方形
②中心投影的投影线彼此平行
③在周长为定值p的扇形中，当半径为时扇形的面积最大
④相等的角是对顶角的逆命题是真命题
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．(2011安徽芜湖)如图，已知△ABC中，∠ABC＝45°，F是高AD和BE的交点，CD＝4，则线段DF的长度为(　　)．

6．(2011山东德州)如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O.

(1)求证AD＝AE；
(2)连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系并说明理由．

1．如图，为估计池塘岸边A，B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA＝15米，OB＝10米，A，B间的距离不可能是(　　)．

5．①②③④
6．解：(1)证明：在△ACD与△ABE中，

∵∠A＝∠A，∠ADC＝∠AEB＝90°，AB＝AC，
∴△ACD≌△ABE.∴AD＝AE.
(2)互相垂直．
在Rt△ADO与Rt△AEO中，
∵OA＝OA，AD＝AE，∴△ADO≌△AEO.
∴∠DAO＝∠EAO，即OA是∠BAC的平分线．
又∵AB＝AC，∴OA⊥BC.
模拟预测
1．D　2.A　3.C　4.B
5．120°　6.110°　7.60°　8.
9．证明：∵FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°.∴∠F＋∠ECF＝90°.
又∵CD⊥AB于点D，∴∠A＋∠ECF＝90°.
∴∠A＝∠F.
在△ABC和△FCE中，
∴△ABC≌△FCE.∴AB＝FC.