全等三角形中与中点有关的辅助线.doc

关于中点辅助线的做法：①倍长中线；②三线合一；③中位线；④斜边中线
1. 已知在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE⊥AB于E，F为AD中点，
试探究∠EFD于∠AEF之间的数量关系并证明你的结论。

2. 已知，在△ABC中，∠B=2∠C，M是BC中点，
AD⊥BC于D，求证：

解法（一）：类倍长中线法：如图1，延长EF交CD延长线于点M，连接CF（斜边中线）
解法（二）：直角梯形中位线，如图2，取EC中点M，连接FM，FC，易证FM⊥EC，又∵M是EC中点，∴FM平分∠EFC（三线合一）

解法（一）：斜边中线：如图1，取AB中点E，连接ED，EM，由已知，∠EDB=∠B=2α，∵EM为△ABC的中位线，∴EM∥AC，∠EMD=∠C=α，
解法（二）：如图2，中位线，斜边中线：取AC中点E，连接EM，ED。

3. 如图，在五边形ABCDE中，∠ABC=∠AED=90°，
∠BAC=∠EAD，F是CD中点，求证BF=EF.

4. 如图，在△ABC内取一点P，使∠PBA=∠PCA，
做PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，求证DE的垂直平分线必经过BC的中点M.

解法（一）：中位线+斜边中线构造全等：如图1，分别取AC、AD中点M、N，连接FM、FN、BM、EN，则由已知可证明△FMB≌△ENF（SAS）
解法（二）：中位线：如图2，延长CB到P，使PB=BC，延长DE到Q使QE=ED，连接PD、CQ、AP、AQ。则BF、EF分别为△PCD、△QCD的中位线，BF=PD，EF=CQ，只需证明PD=CQ，由已知可证△PAD≌△CAQ（SAS）

解法：中位线+斜边中线造全等：分别取BP、CP中点F、G，连接MF、MG、DF、EG、DM、EM，由已知可证
△DFM≌△MGE（SAS）（其中∠1=∠2由平行四边形对角相等得到）

5. 向△ABC外构造等边三角形ABD和ACE，P是AD的中点，N是CE的中点，BM=3MC，求证：PN=2MN.

6. 如图，BD=DC=DA，∠C=2∠B，
求证：∠A=120°-∠B.

解法：中位线+三线合一造全等：分别取BC、AC的中点Q、R连接QR、QE、RE、AN，易证：MN=QE，问题转化为证明PN=QE，由已知可证明△PAN≌△QRE（SAS）

解法（一）：三线合一：如图1，连接AD，做∠C的平分线交AD于M，过点D做DN⊥AB于N，有由已知可得△BDN≌△CDM（AAS），又∵DM=AD（三线合一）又∵DN=AD，∴∠DAN=30°，∠A=∠DAN+∠DAC=30°+90°-α=120°-α
解法（二）：如图2，做∠C的平分线交AB于M，连接DM，BC，由已知可证△BDM≌△CDM（SSS），△CDM≌△CAM（SAS），则∠BMD=∠CMD=∠CMA=60°，
∠A=180°=60°-α=120°-α

解法（三）：如图3，二倍角模型（关键词：翻折，等边三角形）：将△ABD沿AB翻折至ABD’，连接D’D交AB于点M，易证△D’BD≌△ACD（SAS），DD’=AD，又∵AD=AD’，∴△ADD’是等边三角形，∠MAD=30°，
∴∠MAC=30°+=120°-α
·二倍角模型典型题
（2010·北京）25．问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA．探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明．
（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图；
观察图形，AB与AC的数量关系为 ；当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ；可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为__________ ；
（2） 当∠BAC＜90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

解：（1）①当∠BAC=90°时，∵∠BAC=2∠ACB，∴∠ACB=45°，
在△ABC中，∠ABC=180°-∠ACB-∠BAC=45°，∴∠ACB=∠ABC，
∴AB=AC（等角对等边）；
②当∠DAC=15°时，∠DAB=90°-15°=75°，
∵BD=BA，∴∠BAD=∠BDA=75°，∴∠DBA=180°-75°-75°=30°，
∴∠DBC=45°-30°=15°，即∠DBC=15°，∴∠DBC的度数为15°；
③∵∠DBC=15°，∠ABC=45°，∴∠DBC=15°，∠ABC=45°，
∴∠DBC：∠ABC=1：3，∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

（2）猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中结论相同．

将△ABD沿AC的中垂线l翻折，得到△CKD，此时∠KCA=∠BAC=2∠BCA，达到了将∠BCA翻折的效果，连接KB，则l是KB的中垂线，又∵l是AC的中垂线，∴BK∥AC，由已知可得△KDB是等边三角形，∠1=60°-∠6，∠2=120°-∠BAC=120°-2∠5=120°-2∠6=2∠1
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC交CK于点K，连接DK．
∴四边形ABKC是等腰梯形，∴CK=AB，∵DC=DA，∴∠DCA=∠DAC，
∵∠KCA=∠BAC，∴∠KCD=∠3，∴△KCD≌△BAD，∴∠2=∠4，KD=BD，∴KD=BD=BA=KC．
∵BK∥AC，∴∠ACB=∠6，
∵∠BAC=2∠ACB，且∠KCA=∠BAC，∴∠KCB=∠ACB，∴∠5=∠ACB，∴∠5=∠6，
∴KC=KB，∴KD=BD=KB，∴∠KBD=60°，
∵∠ACB=∠6=60°-∠1，∴∠BAC=2∠ACB=120°-2∠1，
∵∠1+（60°-∠1）+（120°-2∠1）+∠2=180°，∴∠2=2∠1，
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3．

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