全等三角形的相关模型总结汇总.doc

全等的相关模型总结
一、 角平分线模型应用
1. 角平分性质模型：
辅助线：过点G作射线

（1） .例题应用：
①如图1，在，那么点D到直线的距离是 .
②如图2，已知，，..

图1 图2

①2 （提示：作交于点E）
②，，，，.
(2) .模型巩固：
练习一：如图3，在四边形中，>，，平分.
.求证：

图3

练习二：已知如图4，四边形中，

图4
练习三：如图5，交于点E，交于点F.
(1) 求证：.
(2) 将图5中的△沿向右平移到的位置，使点落在边上，其他条件不变，如图6所示，是猜想：于又怎样的数量关系？请证明你的结论.

图5 图6

练习四：如图7，，P是的中点，平分∠．
求证：平分∠．
A
D
E
C
B
P
2
1
4
3

图7
练习五：如图8，＞，∠A的平分线与的垂直平分线相交于D，自D作⊥，⊥，垂足分别为E，F．求证：．

图8
练习六：如图9所示，在△中，边的垂直平分线交△的外角平分线于点D，F为垂足，⊥于E，并且>。求证：－。
图9

练习七： 如图10，D、E、F分别是△的三边上的点，，且△的面积与△的面积相等，求证：平分∠。

2.角平分线+垂线，等腰三角形比呈现

辅助线：延长交射线于F 辅助线：过点E作∥射线
（1） .例题应用：
①．如图1所示，在△中，∠3∠C，是∠的平分线，⊥于F。
求证：
证明：延长交于点F。

②．已知：如图2，在，

分析：此题很多同学可能想到延长线段，但很快发现与要证明的结论毫无关系。而此题突破口就在于，由此我们可以猜想过C点作平行线来构造等腰三角形.
证明：过点C作∥交的延长线于点E.
例题变形:如图，，，
求证：① ②

(3) .模型巩固：
练习一、 如图3，Δ是等腰直角三角形，∠90°，平分∠交于点D，垂直于，交的延长线于点E。求证：2。

图3
练习一变形：如图4，在△中，，
过点E作

图4
练习二、如图5，已知△中，平分∠，且⊥，∠＋∠＝180度，求证：∥
A
C
D
E
B

图5

练习三、如图6，⊥，⊥，E是上一点，平分∠，平分∠，求证：点E是中点。
A
B
C
D
E

图6

练习四、①、如图7（a），
∥.

图7（a） 图7（b） 图7（c）

②、如图7（b），
③、如图7（c），其他条件不变. 则在图7（b）、图6（c）两种情况下，与还平行吗？它与三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并证明你的结论.(提示：利用三角形中位线的知识证明线平行)

练习五、如图8，在直角三角形中，，的平分线交于．自作交于，交于．自作于，求证：．

图8

练习六、如图9所示，在中，，为的中点，是的平分线，若且交的延长线于，求证．

图9

练习六变形一：如图10所示，是中的外角平分线，于，是的中点，求证 且．

图10

练习六变形二：如图11所示，在中，平分，，于，求证．

图11

练习七、如图12，在中，，的平分线交与．则有．那么如图13，已知在中，，，．求证：．

图12 图13
练习八、在中，，的平分线交于，过作，为垂足，求证：．

练习九、是的角平分线，交的延长线于，交于．
求证：．

3. 角分线，分两边，对称全等要记全

两个图形的辅助线都是在射线上取点B，使，从而使≌△.
（1）.例题应用：
①、在△中，∠60°，∠40°，平分∠交于P，平分∠交于Q，求证：。

思路分析：
1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线。
2）解题思路：本题要证明的是。形势较为复杂，我们可以通过转化的思想把左式和右式分别转化为几条相等线段的和即可得证。可过O作的平行线。得△≌△。得到，，只要再证出就可以了。
解答过程：

证明：如图（1），过O作∥交于D，
∴∠∠180°－60°－40°=80°，
又∵∠∠∠80°，
    ∴∠∠，
    又∵∠∠，，
    ∴△≌△，
    ∴，，
    又∵∥，
    ∴∠∠，
    又∵∠∠，
    ∴∠∠，
∴，
又∵∠∠∠70°，
    ∠∠∠70°，
∴∠∠，
∴，
    ∴。                     
解题后的思考：
（1）本题也可以在上截取，连，构造全等三角形，即“截长法”。
（2）本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下：
①如图（2），过O作∥交于D，则△≌△从而得以解决。

④如图（5），过P作∥交于D，则△≌△从而得以解决。

小结：通过一题的多种辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。

②、如图所示，在中，是的外角平分线，是上异于点的任意一点，试比较与的大小，并说明理由．

【解析】 ，理由如下．
如图所示，在的延长线上截取，连接．
因为是的外角平分线，
故．
在和中，，，公用，
因此，
从而．
在中，，
而，
故．
变形：在中，，是的平分线．是上任意一点．
求证：．

【解析】 在上截取，连结，根据证得≌，∴，
又中，，，∴
（2）、模型巩固：
练习一、.如图，在△中，⊥于D，＝＋，∠B的平分线交于点E，求证：点E恰好在的垂直平分线上。

E
A
D
B
C

练习二、如图，已知△中，＝，∠A＝100°，∠B的平分线交于D，
A
C
B
D
求证：＋＝

练习三、如图，已知△中，＝，∠C＝90°，∠A的平分线交于D，
A
C
B
D
求证：＋＝

练习四、已知：在△中，的平分线和外角的平分线相交于交于求证：

练习五、在△中，平分，是中点，连结，求证：

变式：已知：在△中，平分，
求证：

练习六、 已知：如图，在四边形中，∥平分∠∥的延长线交于点E.
求证：（1） ； (2) .

A
B
C
D
F
E

练习七、已知如图，在四边形中，，∠的外角平分线与∠的外角平分线交于点P.求证：∠∠

练习八、如图，在平行四边形（两组对边分别平行的四边形）中，E，F分别是，边上的点，且、交于G点，，求证：是∠的平分线。

练习九、如图，在△中，∠为直角，⊥于M，平分∠交于D，交于T，过D作∥交于E，求证：.

练习十、如图所示，已知中，平分，、分别在、上．，． 求证∥

【补充】如图，在中，交于点，点是中点，交的延长线于点，交 于点，若，求证：为的角平分线．

4.中考巡礼：
（1）.如图1，是∠的平分线，请你利用图形画一对以为所在直线为对称轴的全等三角形，请你参考这个全等三角形的方法，解答下列问题。
①、如图2，在△中，∠是直角，∠60，、是∠、∠的角平分线， 相交于点F，请你判断并写出与之间的数量的关系。
②、如图3，在△中，∠不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问，（1）中的结论是否任然成立?若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
A
B
C
D
E
F
图2
A
B
C
D
E
F
图3
A
O
M
N
E
F
图1

（2）.如图，在平面直角坐标系中，B（-1，0），C（1，0）D为y轴上的一点，点A为第二象限内一动点，且∠2∠，过点D作⊥于M，
①、求证：∠∠；
②、若点E在的延长线上，求证：平分∠；
③、当点A运动时，（）的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由。

二、 等腰直角三角形模型
1. 在斜边上任取一点的旋转全等：

操作过程：
（1） .将△逆时针旋转，使△≌△，从而推出△为等腰直角三角
形.（但是写辅助线时不能这样写）
（2） .过点C作，连导出上述结论.
2.定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等：

操作过程：连.
（1）. 使（），导出△≌△.
（2）.使∠∠，导出△≌△.

（1）、例题应用：
①
解析：方法一：过点C作， 方法二：

②.

证明：方法一：连接，证明△≌△.特别注意证明∠∠.

方法二：过点M作⊥交于点N，得出为直角梯形的中位线，从而导
出△为等腰直角三角形.

（2） 、练习巩固：
① 已知：如图所示，△ 中，，，O为中点，若M、N分别
在线段、上移动且在移动中保持.
①、 是判断△的形状，并证明你的结论.
②、 当M、N分别在线段、上移动时，四边形的面积如何变化？

思路：两种方法：

② 在正方形中，3 ，5 ，4 ，求∠∠为多少度.
提示如右图：
3. 构造等腰直角三角形
（1） 、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略）；
（2） 、利用平移、对称和弦图也可以构造等腰直角三角.
如下图：

图3-1 图3-2
操作过程：在图3-2中，先将△以所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿
水平方向向右平移一个正方形边长的长度单位，使A与M，D与E重合.
例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点，，求∠∠的
度数.

4. 将等腰直角三角形补全为正方形，如下图：

图4-1 图4-2

例题应用：

思路：构造正方形，可以构造出等边△，从而造出，又根据，可得，再由于，故而得到从而得 证.例题拓展：若△不是等腰直角三角形，即，而是，
其他条件不变，求证：∠2=2∠1.

练习巩固：在平面直角坐标系中，A（0 , 3），点B的纵坐标为2，点C的纵坐标为0，当A、B、C
三点围成等腰直角三角形时，求点BC的坐标.
（1）、当点B为直角顶点：

图1 图2

（2） 、当点A为直角顶点：

图3 图4
（3） 、当点C为直角顶点：

图5 图6

三、 三垂直模型（弦图模型）
①. ②. ③.

由△≌△导出 由△≌△导 由△≌△导出
出
1. 例题应用：
例1.已知：如图所示，在△中，，，D为中点，⊥于E，交
于F，连接.
求证：∠∠.

思路：
方法一: 过点C作⊥交的延长线于点M.先证△≌△，
再证 △ ≌△即可.

方法二：过点A作⊥分别交、于H、M.先证△≌△， 再证
△ ≌△即可.

方法三：过点A作⊥分别交、于H、M.先证△ ≌△，得出
∥. 由M、D分别为线段、的中点，可得为△的中位线
从而推出∥，又由于，故而⊥，⊥，所以为
线段的中垂线. 所以∠1=∠2.再由∠∠1=∠∠2 ，则
∠∠ .

例1拓展（1）：已知：如图所示，在△中，，，⊥于E，交
于F，连接.
求证：①∠∠. ②

思路：同上题的方法一和方法二一样.
拓展（2）：其他条件不变，只是将和分别延长交于点P，求证：①,
② ＝.

思路：同上题的方法一和方法二一样.
例2.如图2-1，已知∥，△和△ 是等腰直角三角形，∠∠，
2，5，求四边形的面积.

图2-1
解析：如图2-2，过点E、B分别作⊥，⊥交延长线于点N、M.
过点F、C分别作 ⊥，⊥交及延长线于点
P、Q.

∵△和△ 是等腰直角三角形，∴∠∠，， .
∵⊥，⊥，⊥，⊥ ，∴∠∠∠∠.
∴∠∠ ，∠∠. ∴△≌△，△≌△.
∴， . ∴ .
∵∥，∥，∠， ∴四边形是矩形. ∴
∵2，5 ∴5-2=3 ∴

图2-2
2.练习巩固：
1）、如图（1）-1，直角梯形中，∥，∠，是的垂直平分线，
交于点M，以腰为边做正方形，⊥于点P.
求证：22.

（1）-1 （1）-2

（2）、如图，在直角梯形中，∠，∥，，E是的中点，
⊥.
①求证： ；
②求证：是线段的垂直平分线；
③△是等腰三角形吗？请说明理由.

四、 手拉手模型
1.△和△均为等边三角形

结论：（1）. △≌△
（2）.∠（“八字模型证明”）
（3）平分∠
拓展：
条件：△和△均为等边三角形
结论：（1）、 （2）、∠∠ （3）、△为等边三角形
（4）、∥ （5）、 （6）、平分∠ （7）、
（8）、 （（7），（8）需构造等边三角形证明）

2.△和△均为等腰直角三角形

结论：（1）、 （2）⊥
3和均为正方形

结论：（1）、⊥ （2）、
变形一：和均为正方形，⊥交于T，
求证：①M为的中点. ②

方法一： 方法二： 方法三：

变形二：和均为正方形，T为的中点，
求证：⊥

4．当以、为边构造正多边形时，总有：∠1=∠2=.

五、 双垂直+角平分线模型

结论：
拓展：若平分∠，其他条件不变，求证：⊥

六、 半角模型
条件：
思路：（1）、延长其中一个补角的线段
（延长到E，使 ，连或延长到F，使 ，连 ）

结论：① ② ③、分别平分∠和∠
（2） 、对称（翻折）

思路:分别将△和△以和 为对称轴翻折，但一定要证明
M、P、N三点共线.（∠∠且）

例题应用：例1、在正方形中，若M、N分别在边、上移动，且满
足 ，求证：①.∠
②.
③、分别平分∠和∠.

思路同上略.
例1拓展：在正方形中，已知∠，若M、N分别在边、
的延长线上移动，
①.试探究线段、 、之间的数量关系.
②.求证：.
提示如图：
例2.在四边形中，∠∠，，若E、F分别在边、 且
上，满足 .求证：

提示：
练习巩固：如图，在四边形中，∠∠，，若E、F分别
在边、 上的点，且. 求证： .
提示：