人教版八年级上册三角形与全等三角形专题探究(无答案).doc

人教版八年级上册 三角形与全等三角形专题探究（无答案）
专题(一)　三角形高线与角平分线的夹角探究

方法点津 ·
根据三角形的内角和定理及外角性质，还有角平分线、高的性质，可以发现从三角形的一个顶点出发的高与角平分线的夹角与另两个内角之间有一个不变的数量关系，呈现如下：

图1－S－1

典题精练 ·
1．如图1－S－2，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AE平分∠BAC，∠B＝70°，∠C＝30°.
(1)求∠BAE的度数．
(2)求∠DAE的度数．
(3)探究：小明认为若将条件“∠B＝70°，∠C＝30°”改成“∠B－∠C＝40°”，也能得出∠DAE的度数，小明的想法正确吗？若正确，请你写出求解过程；若不正确，请说明理由．

图1－S－2
2．如图1－S－3①，在△ABC中，CD，CE分别是△ABC的高和角平分线，∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)．
(1)若∠BAC＝70°，∠B＝40°，求∠DCE的度数；
(2)已知∠BAC＝α，∠B＝β(α＞β)，则∠DCE＝________(用含α，β的式子表示)；
(3)若将△ABC换成钝角三角形，如图1－S－3②，其他条件不变，试用含α，β的式子表示∠DCE的度数，并说明理由；

图1－S－3
(4)如图1－S－3③，若CE是△ABC外角∠ACF的平分线，交BA延长线于点E，且α－β＝30°，则∠DCE＝________°(直接写出结果)．

3．如图1－S－4，在△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC.已知∠B＝65°，∠DAE＝20°，则∠C＝________°.

图1－S－4
4.如图1－S－5，在△ABC中，∠A＝38°，∠B＝70°，CD⊥AB于点D，CE平分∠ACB，DP⊥CE于点P，则∠CDP的度数为________．

图1－S－5
5．(1)感知：如图1－S－6①，在△ABC中，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝40°，∠C＝70°，求∠DAE的度数；
(2)探究：如图1－S－6②，在△ABC中，若把(1)中的“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，其他条件不变，求∠DFE的度数；
(3)拓展：如图1－S－6③，若把(1)中的△ABC变成四边形ABEC，把“AE⊥BC”变成EA平分∠BEC，其他条件不变，猜测∠DAE的度数是否变化，请证明你的结论．

图1－S－6

专题(二)　三角形内、外角的平分线的夹角探究

类型一　三角形两内角的平分线的夹角
根据三角形内角和定理与角平分线的性质，可以发现三角形两内角的平分线相交所得到的钝角与第三个角有一个不变的等量关系：

图2－S－1
1．如图2－S－2所示，∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上移动，△AOB的角平分线AC与BD相交于点P，随着点A，B的位置的变化，∠APB的大小是否变化？若保持不变，请说明理由；若发生变化，请求出变化的范围．

图2－S－2

2．已知在△ABC中，∠A＝50°.
(1)如图2－S－3①，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC＝________°；
(2)如图2－S－3②，∠ABC，∠ACB的三等分线分别对应交于点O1，O2，则∠BO2C＝________°；
(3)如图2－S－3③，∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，On－1(内部有(n－1)个点)，求∠BOn－1C的度数(用含n的式子表示)；

(4)如图2－S－3③，已知∠ABC，∠ACB的n等分线分别对应交于点O1，O2，…，On－1，若∠BOn－1C＝60°，求n的值．

图2－S－3

类型二　三角形一内角的平分线与一外角的平分线的夹角
由三角形外角性质与角平分线的性质，可以发现三角形一内角的平分线与一外角的平分线相交所得到的锐角与第三个角有一个不变的等量关系：

图2－S－4
3．如图2－S－5，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F.
(1)若∠OCD＝50°(如图①)，试求∠F的度数．
(2)当点C，D分别在射线OA，OB上任意移动时(不与点O重合)(如图②)，∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出∠F的度数．

图2－S－5

4．如图2－S－6，在△ABC中，∠A＝96°，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1，∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，∠A4BC与∠A4CD的平分线相交于点A5，则∠A5的度数为(　　)

图2－S－6
A．19.2° B．8° C．6° D．3°
5．如图2－S－7，在△ABC中，∠A＝36°，∠ABC＝40°，BE平分∠ABC，∠E＝18°，试说明CE平分∠ACD.

图2－S－7

类型三　三角形两外角的平分线的夹角
由三角形内角和定理及外角的性质，可得三角形两外角的平分线相交所得到的锐角与第三个内角有一个不变的数量关系：

图2－S－8
6．如图2－S－9，在△ABC中，∠A＝100°，若BM，CM均是△ABC的外角的平分线，则∠M＝________°.

图2－S－9
7．如图2－S－10，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC.
(1)如果∠B＋∠C＝120°，那么∠AED的度数为________(直接写出计算结果，不必写出推理过程)；
(2)根据(1)的结论，猜想∠B＋∠C与∠AED之间的关系，并说明理由．

图2－S－10

专题(三)　三角形高线的夹角探究

方法点津 ·
利用直角三角形两锐角互余及同角的余角相等，可得到三角形两条高线的夹角与第三个角有一个不变的数量关系：

图3－S－1
典题精练 ·
1．阅读材料，回答下列问题：
已知：如图3－S－2①，在锐角三角形ABC中，AB，AC边上的高CE，BD相交于点O.若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
解：∵CE，BD是△ABC的高，
∴∠BEO＝90°，∠BDA＝90°.
在△ABD中，∵∠BDA＝90°，∠A＝n°，∴∠ABD＝90°－n°，∴∠BOC＝∠BEO＋∠ABD＝90°＋90°－n°＝180°－n°，
即∠BOC的度数为(180－n)°.
(1)若将材料中已知条件“在锐角三角形ABC中，AB，AC边上的高CE，BD相交于点O”改为“在钝角三角形ABC中，∠BAC为钝角，AB，AC边上的高CE，BD所在的直线相交于点O”，其他条件不变(如图②)，请你求出∠BOC的度数；
(2)若将材料中已知条件“在锐角三角形ABC中，AB，AC边上的高CE，BD相交于点O”改为“在钝角三角形ABC中，∠ABC为钝角，AB，AC边上的高CE，BD所在的直线相交于点O”，其他条件不变(如图③)，请你求出∠BOC的度数．

图3－S－2

2．如图3－S－3，在△ABC中，∠BAC＝60°，BD，CE分别是边AC，AB上的高，BD，CE相交于点O，则∠BOC的度数是________．
图3－S－3
3．如图3－S－4，已知△ABC的两条高BD与CE相交于点O，且∠BOC＝125°，则∠A＝________°.

图3－S－4
4．如图3－S－5，在锐角三角形ABC中，BD和CE分别是AC和AB边上的高．若BD和CE所夹的锐角为61°，则∠ABC＋∠ACB＝________°.

图3－S－5
5．如图3－S－6，在△ABC中，∠A∶∠ABC∶∠ACB＝3∶4∶5，BD，CE分别是AC，AB边上的高，BD，CE相交于点H，求∠BHC的度数．

图3－S－6
6．如图3－S－7，在锐角三角形ABC中，BD和CE是两条高，且相交于点M，BF和CG是两条角平分线，且相交于点N，已知∠BMC＝100°，求∠BNC的度数．

图3－S－7

专题(四)　三角形中的基本图形归纳

方法点津 ·
基本图形1：叠合三角形，又称“A”字形．
如图4－S－1所示，由三角形内角和定理可得图中存在一个不变的数量关系．

图4－S－1
基本图形2：对顶三角形，又称“8”字形．如图4－S－2所示，由三角形内角和定理可得图形中存在一个不变的数量关系．

图4－S－2
基本图形3：共边三角形，又称“燕尾”形．如图4－S－3所示，由三角形的外角定理可得图形中存在一个不变的数量关系．

图4－S－3
(推理过程：如图4－S－4所示，延长AD到点E，∵∠BDE＝∠B＋∠BAD，∠CDE＝∠C＋CAD，∴∠BDC＝∠BDE＋∠CDE＝∠B＋∠BAD＋∠CAD＋∠C＝∠B＋∠BAC＋∠C)

图4－S－4
典题精练 ·
1．如图4－S－5，在△ABC中，∠A＝∠ABC，直线EF分别交△ABC的边AB，AC和CB的延长线于点D，E，F.
求证：∠F＋∠FEC＝2∠A.

图4－S－5

2．如图4－S－6，已知AD是△ABC的角平分线，过点B作BF⊥AD，交AD的延长线于点E，交AC的延长线于点F.
求证：∠α＋∠β＝2∠F.

图4－S－6

3．如图4－S－7①，在同一平面内，四条线段AB，BC，CD，DA首尾顺次相接，AD，BC相交于点O，AM，CN分别是∠BAD和∠BCD的平分线．
(1)如图②，AM，CN相交于点P.
①当∠B＝∠D时，判断∠APC与∠D的大小关系，并说明理由；
②当∠B＞∠D时，请直接写出∠APC与∠B，∠D的数量关系．
(2)是否存在AM∥CN的情况？若存在，请说明∠B，∠D之间的数量关系；若不存在，请说明理由．

图4－S－7

4．如图4－S－8①，线段AB，CD相交于点O，连接AD，CB，我们把形如图4－S－8①的图形称为“8”字形．如图4－S－8②，在图①的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且AP交CD于点M，CP交AB于点N.试解答下列问题：

图4－S－8
(1)在图①中，请直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系：________________；
(2)仔细观察，在图②中，“8”字形有________个；
(3)在图②中，若∠D＝40°，∠B＝36°，试求∠P的度数；
(4)若图②中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，∠P与∠D，∠B之间存在着怎样的数量关系(直接写出结论即可)?

5．如图4－S－9，∠ABD，∠ACD的平分线交于点P.若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为(　　)
A．15° B．20° C．25° D．30°

图4－S－9
6．如图4－S－10，BE平分∠ABD，CF平分∠ACD，BE，CF交于点G.若∠BDC＝150°，∠BGC＝120°，则∠A＝________°.

图4－S－10
7．(1)如图4－S－11①，有一块三角尺XYZ放置在△ABC上，恰好三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ分别经过点B，C，在△ABC中，∠A＝40°，则∠ABC＋∠ACB＝________°，∠XBC＋∠XCB＝________°.
(2)如图4－S－11②，改变(1)中三角尺XYZ的位置，使三角尺XYZ的两条直角边XY，XZ仍然分别经过点B，C，则∠ABX＋∠ACX的大小是否发生变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX＋∠ACX的度数．
(3)若(1)中的其他条件不变，把“∠A＝40°”改成“∠A＝n°”，请直接写出∠ABX＋∠ACX的度数(用含n的式子表示)．

图4－S－11

专题（五）　全等基本图形之燕子图

方法点津 ·

图5－S－1
燕子图，直观呈现的条件：对顶角相等．
说明1：只要给出对顶角的两边对应相等，利用SAS，可得三角形全等；
说明2：只要给出一组边相等，一组角(对顶角除外)相等，利用ASA或AAS可得三角形全等．
典题精练 ·
1．某产品的商标如图5－S－2所示，O是线段AC，DB的交点，且AC＝BD，AB＝DC，小华认为图中的两个三角形全等，她的思考过程如下：
∵AC＝DB，∠AOB＝∠DOC，AB＝DC，
∴△ABO≌△DCO.
你认为小华的思考过程正确吗？如果正确，指出她用的是哪个三角形全等的判定定理；如果不正确，写出你的思考过程．

图5－S－2

2．如图5－S－3，已知AB＝DC，∠A＝∠D.求证：△ABC≌△DCB.

图5－S－3

3．如图5－S－4，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，OB＝OC，∠B＝∠C.求证：△ABE≌△ACD.

图5－S－4

4．如图5－S－5，AB＝AC，点D，E分别在线段AB，AC上，连接BE，CD交于点O，∠B＝∠C.求证：OB＝OC.

图5－S－5

5．如图5－S－6，AC，BD相交于点O，∠DBA＝∠CAB，∠1＝∠2.求证：∠CDA＝∠DCB.

图5－S－6

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