全等三角形知识点总结及对应练习题.doc

全等三角形专题讲解
（一）知识储备
1、全等三角形的概念：
（1）能够重合的两个图形叫做全等形。
（2）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。两个全等三角形，经过运动后一定重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
（3）全等三角形的表示：
如图，△ABC和△DEF是全等三角形，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”表示全等，读作“全等于”。

注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。
2、全等三角形的性质:
全等三角形的对应边相等，对应角相等。【例1】

如图，△ABC≌△DEF，则有：AB=DE，AC=DF，BC=EF；∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
3、全等三角形的判定定理：
S.A.S “边角边”公理：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。【例2】
AS.A “角边角”公理：
两角和它们的所夹边对应相等的两个三角形全等。【例3】
A.A.S “角角边”公理：
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。【例4】
S.S.S “边边边”公理：
三边对应相等的两个三角形全等。【例5】
H.L “斜边直角边“公理
斜边和一条直角对应相等的两个直角三角形全等。【例6】
（二）双基回眸
1、下列说法中，正确的个数是 （ ）
①全等三角形的周长相等 ②全等三角形的对应角相等
③全等三角形的面积相等 ④面积相等的两个三角形全等
A．4 B．3 C．2 D．1
2、如果ΔABC≌ΔDEF，则AB的对应边是_____，AC的对应边是_____，∠C的对应角是_____，
∠DEF的对应角是_____．
3、 如图，△ABC≌△BAD，A和B、C和D是对应顶点，如果AB＝5，BD＝6，AD＝4，
那么BC等于 （ ）
A．6 B．5 C．4 D．无法确定
4、 如图，△ABC≌ΔADE，若∠B＝80°，∠C＝30°，∠DAC＝35°，则∠EAC的度数
为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
5、能确定△ABC≌△DEF的条件是 （ ）
A．AB＝DE，BC＝EF，∠A＝∠E
B．AB＝DE，BC＝EF，∠C＝∠E
C．∠A＝∠E，AB＝EF，∠B＝∠D
D．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E
6、如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和△ABC全等的图形是 （ ）

A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙

（三）例题经典
例1：如图，ΔABC≌ΔDCB．
（1）若∠D＝74°∠DBC＝38°，则∠A＝_____，∠ABC＝_____；
（2）对应边AC＝ ，AB= ；
（3）如果ΔAOB≌ΔDOC，则AO= _，BO= _，∠A=_ ，∠ABC= ．
例2：如图，AB、CD相交于O点，AO＝CO，OD＝OB．
求证：∠D＝∠B．

例3：如图，PM＝PN，∠M＝∠N．求证：AM＝BN．

例4：如图，ACBD．求证：OA＝OB，OC＝OD．

例5：如图，△RPQ中，RP＝RQ，M为PQ的中点．
求证：RM平分∠PRQ．

例6：如图，AB⊥BD，CD⊥BD，AD＝BC．
求证：（1）AB＝DC：
（2）AD∥BC．
例6图

例7：阅读下题及一位同学的解答过程，回答问题：
如图，AB和CD相交于点O，且OA＝OB，∠A＝∠C。那么△AOD与△COB全等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等，请说明理由。
答：△AOD≌△COB．
证明：在△AOD和△COB中，
例7图

∴ △AOD≌△COB （ASA）
问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？

例8：如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ．求证：HN＝PM.

例9：如图，AD=AE，∠1=∠2，点D、E在BC上，BD=CE。
求证：△ABD≌△ACE．

例9图

例10：如图，已知AD∥CB，AD=CB，AE=BF，
求证：（1）△AFD≌△BEC． （2）DF∥CE.

拓展变式
例1： 如图, ∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线，为什么?

例2：要测量河两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，使A、C、E在一条直线上，这时测得的DE的长就是AB的长。写出已知和求证，并且进行证明。

实战演练
一、填空题
1、如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB，AC翻折180°形成的若∠1∶∠2∶∠3＝28∶5∶3，则∠α的度数为______．
第1题

第3题
第2题

2、已知：如图，AB＝AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E.欲证明BD＝CE，需证明Δ_____≌△______，理由为______．
3、已知：如图，AE＝DF，∠A＝∠D，欲证ΔACE≌ΔDBF，需要添加条件______,证明全等的理由是______；或添加条件______，证明全等的理由是______；也可以添加条件______，证明全等的理由是______．
4、如图，根据SAS，如果AB＝AC， ＝ ，即可判定ΔABD≌ΔACE.
5、如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于P点，PE＝3cm，则P点到直线AB的距离是___________.
第6题
E
D
C
B
A
第5题
E
C
D
P
A
B
6、如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于D，若AB＝10，则△BDE的周长等于＿＿＿＿.
第4题
E
D
C
B
A

7、如图，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C的对应角为 ，BD的对应边为 .　　
8、如图，AD＝AE，∠1＝∠2，BD＝CE，则有△ABD≌ ，理由是 .
9、如图，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，D、E、F是垂足，BD＝CD，那么图中的全等三角形有_______对.
第9题
B
A
E
D
C
第7题图
E
D
A
B
C
1
2
第8题

二、选择题
1、AD是△ABC的角平分线，作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，下列结论错误的是（ ）
DE＝DF B．AE＝AF C．BD＝CD D．∠ADE＝∠ADF
2、下列语句中，正确的有（ ）
（1）一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等
（2）有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
（3）有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、下列说法中，正确的是（ ）
A.相等的角是直角　 B.不相交的两条线段平行　
C.两直线平行，同位角互补　 D.经过两点有且只有一条直线
4、如图，若△ABE≌△ACF，且AB＝5，AE＝2，则EC的长为（ ）
A.2 　　　　　 B.3 　　　　 C.5 　　　　 D.2.5
第5题
第4题
F
E
C
B
A

5、如图，∠1＝∠2，BC＝EF，欲证△ABC≌△DEF，则还须补充的一个条件是（ ）
A.AB＝DE B.∠ACE＝∠DFB C.BF＝EC D.∠ABC＝∠DEF
6、如图，△ABC是不等边三角形，DE＝BC，以D、E为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与△ABC全等，这样的三角形最多可画出（ 　　）
第6题
A.2个 　　 B.4个 　　 C.6个 　　 D.8个
第7题

7、如图，△ABC中，AD⊥BC，D为BC中点，则以下结论不正确的是（ ）
A.△ABD≌△ACD 　　　　　B.∠B＝∠C
C.AD是BAC的平分线 　　　D.△ABC是等边三角形
8、如图，∠1＝∠2，∠C＝∠D，AC、BD交于E点，下列结论中正确的有（ ）
①∠DAE＝∠CBE ②CE＝DE ③△DEA≌△CBE ④△EAB是等腰三角形
A.1个　 B.2个　 C.3个 D.4个
B
第8题
A

9、如图，在△ABC中，AB＞AC，AC的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，AB＝10，△BCD的周长为18，则BC的长为（ ）
A.8 　　 B.6 　　 C.4 　　 D.2
三、解答题
1、如图，已知线段a、b，求作：Rt△ABC，使∠ACB＝90º，BC＝a，AC＝b（不写作法，保留作图痕迹）.

b
a

A
P
B
C
2、如图，BP、CP是△ABC的外角平分线，则点P必在∠BAC的平分线上，你能说出其中的道理吗？

3、如图，已知∠1＝∠2，∠3＝∠4，EC＝AD，求证：AB＝BE.

4、如图，工人师傅制作了一个正方形窗架，把窗架立在墙上之前，在上面钉了两块等长的木条GF与GE，E、F分别是AD、BC的中点.
（1）G点一定是AB的中点吗？说明理由；
（2）钉这两块木条的作用是什么？

5、如图，已知点A、E、F、D在同一条直线上，AE＝DF，BF⊥AD，CE⊥AD，垂足分别为F、E，BF＝CE，试说明AB与CD的位置关系.

6、阅读下题及其证明过程：
已知：如图，D是△ABC中BC边上一点，EB＝EC，∠ABE＝∠ACE，试说明∠BAE与∠CAE相等的理由.

理由：在△AEB和△AEC中，

所以△AEB≌△AEC(第一步)
所以∠BAE＝∠CAE(第二步)
问：上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据；若不正确，请指出错在哪一步？并写出你认为正确的推理过程.

7、如图（1），在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠DCB，AB＝DC，AE＝DF.
（1）试说明BF＝CE的理由.
（2）当E、F相向运动，形成如图（2）时，BF和CE还相等吗？请说明你的结论和理由.
图（2）
图（1）

8、已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，
（1）若E、F、G、H分别是各边的中点，求证：EH＝FG.
（2）若连结AD、BC交于点P，问AD、BC有何关系？证明你的结论.

A
B
C
D
E
F
9、如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一条直线上，有下面四个论断：（A）AD＝CB，（B）AE＝CF，（C）∠B＝∠D，（D）AD∥BC.请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，遍一道数学题，并写出解答过程.
10