二次函数与平行四边形的存在性问题.docx

专题：二次函数与几何图形的存在性问题
（二次函数与特殊四边形教学设计）
普定县第二中学 曹萍
中考目标：
1.灵活运用二次函数、特殊的四边形相关性质、判定、定理，确定二次函数，判定线与线关系、特殊四边形的存在性问题；
2.能够通过数形结合，进行建构模型，联想、猜测，运用分类、转化、从特殊到一般归纳等数学思想解决问题；
3.运用“动中求静”，找到、运用不变的数、不变的量、不变的关系，建立函数关系及综合应用代数、几何知识解决问题，动点问题的求解方法解题策略的归纳提升；
4.在自主解题、讲习和师生探究的学习过程中体会数形结合、分类讨论、方程思想等主要数学思想方法在解题中的应用，体会探索数学的乐趣。
重点：经历应用四边形的性质和判定定理解决二次函数与特殊四边形存在问题
难点：运用图形的性质和判定寻找运动中的特殊性，利用方程思想解决问题
过程：
一、 教师导学：
教师将例题常见考点带着学生梳理，提炼解题策略。
本节课目标导学：点动、线动、的问题称为动态题
（一）常见考点:
（1）确定二次函数解析式
（2）与动点有关的存在性问题（特殊四边形）
（3）运动问题中特殊位置的数量和位置关系（大胆猜想）
本节课主要解决与动点有关的存在性问题的研究方法和策略
（二）解题策略：
动点（线）→画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→由点坐标表示线段长→建立模型（方程）→解方程求解符合条件的点坐标→验证符合题意
二、讲习问题
背景问题：
例 　如图，抛物线经过A(－5，0)、B(－1，0)、C(0，5)
点，顶点为M，连接AC，抛物线的对称轴为l，l与x轴的
交点为D，与AC的交点为E.

(1)求抛物线的解析式，顶点坐标以及对称轴l

说明：（1） 学生基本能解决，教师针对学生问题进行归纳提升，分类问题，分类的标准，动中取静。

(2)设点P是直线l上一点，且PM＝CO，求点P的坐标；

提示工具：平面内任意两点P（a，b），M（c，d）的距离公式

说明：学生讲习，体会解题策略，个别学生梳理，讲解分析，教师归纳动点问题的研究策略：关键点坐标——线段长——构建方程——解方程——验证 （学生完成板书）
解答略
三、小题大做，提升能力
提升1：问：在例题的背景下，设点G是抛物线上一点，过点G作GH⊥l于点H，是否存在点G，使得以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由；
分析:只需找到平行四边形的条件下，若要以点A、B、G、H构成的四边形为平行四边形，由图可得点G只能位于x轴以上部分的抛物线上，在对称轴两侧，会存在两点(对称)，然后根据对
边相等求解．
策略：画出符合题意的图形→设出关键点坐标→表示线段长→建立方程解决问
解：存在．如解图②，∵点G在抛物线上，
则设点G的坐标为(g，g2＋6g＋5)，
∵GH∥x轴，点H在l：x＝－3上，
∴点H(－3，g2＋6g＋5)，
∵GH∥AB，要得到平行四边形，
则必须使GH＝AB＝4，
即|g＋3|＝4，解得g＝1或g＝－7，
当g＝1时，g2＋6g＋5＝12，
此时点G的坐标为(1，12)；
当g＝－7时，g2＋6g＋5＝12，此时点G的坐标为(－7，12)．
综上，这样的点G有两个，坐标分别为(1，12)、(－7，12)，
提升2：在例题的背景下，设K是抛物线上一点，过点K作KJ∥y轴，交直线AC于点J，是否存在点K使得以点M、E、K、J为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点K的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维教练】

学生自主完成,感受线动→点动的转化。
设出关键点坐标，表示线段长，建立方程解决问题。
在学生充分的自主分析基础上，让同学自己书写，教师点拨、提升。
解：略
策略：画出符合题意的图形→设出关键点坐标→表示线段长→建立方程解决问

提升3：在例题的背景下，设点N是抛物线上一点，过点N作NS∥AC，交x轴于点S，是否存在点N，使得以A、E、N、S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由；
【思维教练】

学生自主完成,感受线动→点动的转化。
设出关键点坐标，表示线段长，建立方程解决问题。
在学生充分的自主分析基础上，让同学自己书写，教师点拨、提升。
解：略
策略：画出符合题意的图形→设出关键点坐标→表示线段长→建立方程解决问

课堂小结:代题综合题关键是要敢于动手画出符合条件的静态图形→设出关键点坐标→表示线段长→建立方程求解→验证点坐标
在抛物线动点问题中，涉及到探究平行四边形的存在性问题时，一般应从以下方面思考：
1．确定已知线段是平行四边形的边还是对角线；
2．若已知线段是平行四边形的边，常应用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个定理，表示出与已知线段平行的线段的长，然后令两条线段长相等，列方程求解，若方程有根，则平行四边形存在，若方程无根，则平行四边形不存在；
3．若已知线段是平行四边形的对角线，常取已知线段的中点，用中点坐标公式表示出另外两点的坐标，然后代入抛物线解析式求解．
探究正方形的存在性时，常常需要从正方形的特点入手，一般应考虑正方形“对角线相等、垂直且互相平分”，从而先确定对角线互相平分，再确定对角线互相垂直，然后利用相等列方程求解．
检测：
1. 如图，在平面直角坐标系中，A(－1，0)、B(0，2)且Rt△AOB≌Rt△CDA，抛物线y＝ax2＋ax－2经过点C.
(1)求抛物线的表达式；
(2)若点P在x轴上，且PC⊥PB，求P点的坐标；
(3)在抛物线上是否存在两点E、F，使四边形ABEF是正方形？若存在，求点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

课后阅读延伸：在例题中，设点Q是抛物线上一点，点R是任意一点，是否存在四边形AQCR是菱形，若存在，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

作业：
1. 如图，已知直线y＝－x＋8与x轴交于点A，与y轴交于点B，C是线段AB的中点，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a>0)过O、A两点，且其顶点的纵坐标为－.
(1)分别写出A、B、C三点的坐标；
(2)求抛物线的解析式；
(3)在抛物线上是否存在点P，使得以O、P、B、C为顶点的四边形是菱形？若存在，求所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第1题图

2. (2016安顺14分)如图，抛物线经过A(－1，0)，B(5，0)，C(0，－)三点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PA＋PC的值最小，求点P的坐标；
(3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A、C、M、N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第2题图

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