专题三十三·平行四边形.doc

一、选择题
1．(2010江苏苏州)如图，在平行四边形ABCD中，E是AD边上的中点．若∠ABE=∠EBC，AB=2， 则平行四边形ABCD的周长是 ．

2． （2010台湾）图(十)为一个平行四边形ABCD，其中H、G两点分别在、上，^，^，且、、将ÐBAD分成 Ð1、Ð2、Ð3、Ð4四个角。若=5，=6，则下列关系何者 正确( )
(A) Ð1=Ð2 (B) Ð3=Ð4 (C) = (D) = 。

A
B
C
D
G
H
1
2
3
4

3．（2010重庆綦江县）如图，在中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下四个结论一定正确的是（ ）
①△CDF≌△EBC ②∠CDF＝∠EAF ③△ECF是等边三角形 ④CG⊥AE

A．只有①② B．只有①②③ C．只有③④ D．①②③④
4．（2010山东临沂）如图，在中，与相交于点，点是边的中点，，则的长是

（第7题图）

（A） （B） （C） （D）
5．（2010湖南衡阳）如图，在□ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=，则ΔCEF的周长为（ ）
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5

6．（2010 河北）如图2，在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB = 3，
则□ABCD的周长为
A
B
C
D
图2

A．6 B．9 C．12 D．15
7．（2010浙江湖州）如图在ABCD中，AD＝3cm，AB＝2cm，则ABCD的周长等于（ ）
A．10cm B．6cm C．5cm D．4cm
A
D
C
B

8．（2010 四川成都）已知四边形，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形成为平行四边形的选法种数共有（ ）
（A）6种 （B）5种 （C）4种 （D）3种
9．（2010山东泰安）如图，E是□ABCD的边AD的中点，CE与BA的延长线交于点F，若∠FCD=∠D，则下列结论不成立的是（ ）
A、AD=CF B、BF=CF C、AF=CD D、DE=EF

10．（2010 内蒙古包头）已知下列命题：
①若，则；
②若，则；
③角的平分线上的点到角的两边的距离相等
④平行四边形的对角线互相平分．
其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2010 重庆江津）如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，
那么需要添加的条件是（ ）
A． B．
C． D．

12．（2010宁夏回族自治区）点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点，点D是平面内任意一点，若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点D有 （ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2010鄂尔多斯）如图，在□ABCD中，E是BC的中点，且∠AEC=∠DCE，则下列结论不正确的是( )
A.S△ADF=2S△EBF B.BF=DF C.四边形AECD是等腰梯形 D. ∠AEC=∠ADC

14．（2010广东清远）如图2，在ABCD中，已知∠ODA＝90°，AC＝10cm，BD＝6cm，则AD的长为( )
A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm

二、填空题
1．（2010福建福州）如图，在ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC＝14，BD＝8，AB＝10，则△OAB的周长为．

2．（2010福建宁德）如图，在□ABCD中，AE＝EB，AF＝2，则FC等于_____．

F
A E B
C
D

3．（2010 山东滨州）如图,平行四边形ABCD中, ∠ABC=60°,E、F分别在CD、BC的延长线上,AE∥BD,EF⊥BC,DF=2,则EF的长为 .

4．（2010山东潍坊）如图，在△ABC中，AB＝BC，AB＝12cm，F是AB边上的一点，过点F作FE∥BC交CA于点E，过点E作ED∥AB交于BC于点D，则四边形BDEF的周长是 ．

5．（2010湖南常德）如图2，四边形ABCD中，AB//CD，要使四边形ABCD为平行四边形，则可添加的条件为 .（填一个即可）.
D
B
C
A
图2

6．（2010湖南郴州）如图，已知平行四边形，是延长线上一点，连结交于点，在不添加任何辅助线的情况下，请补充一个条件，使，这个条件是 ．（只要填一个）
A
B
E
F
D
C
第13题

（2010湖北荆州）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=130°，在AD上取DE=DC，
则∠ECB的度数是 .

8．（2010湖北恩施自治州）如图，在ABCD中，已知AB=9㎝，AD=6㎝，BE平分∠ABC交DC边于点E，则DE等
于 ㎝.

9．（2010云南红河哈尼族彝族自治州） 如图4，在图（1）中，A1、B1、C1分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，在图（2）中，A2、B2、C2分别是△A1B1C1的边B1C1、C1 A1、 A1B1的中点，…，按此规律，则第n个图形中平行四边形的个数共有 个.
…
图4

10．（2010 江苏镇江）如图，在平行四边形ABCD中，CD=10，F是AB边上一点，DF交AC于点E，且= ，BF= .

11．（2010 广西钦州市）如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，
若AD＝4cm，则OE的长为 cm．
第5题

12．（2010青海西宁）如图1，在□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，如果AC=14，BD=8，AB= ，那么的取值范围是 .

图1
13．（2010广西梧州）如图2，在□ABCD中，E是对角线BD上的点，且EF∥AB，DE：EB=2：3，EF=4，则CD=的长为________

图2
A
B
C
D
F
E

14．（2010广东深圳）如图3，在□ABCD中，AB=5，AD=8，DE平分∠ADC，则BE=

15．（2010辽宁本溪）过□ABCD对角线交点O作直线m，分别交直线AB于点E，交直线CD于点F，若AB=4，AE=6，则DF的长是 .
16．（2010广西河池）如图1，在□ABCD中，∠A＝120°，则∠D＝ °．
图1

三、解答题
1． （2010浙江嘉兴）如图，在□ABCD中，已知点E在AB上，点F在CD上，且．
（1）求证：；
（2）连结BD，并写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）

2．（2010 嵊州市）（10分）已知：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BAC＝∠D，点E、F分别在BC、CD上，且∠AEF＝∠ACD，试探究AE与EF之间的数量关系。
（1）如图1，若AB＝BC＝AC，则AE与EF之间的数量关系是什么；
（2）如图2，若AB＝BC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想，并加以证明；
（3）如图3，若AB＝kBC，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出猜想不用证明。
3．（2010 福建晋江）（8分）如图，请在下列四个关系中，选出两个恰当的关系作为条件，推出四边形是平行四边形，并予以证明．（写出一种即可）
关系：①∥，②，③，④．
已知：在四边形中，　　　　　，　　　　　；
求证：四边形是平行四边形．
A
B
C
D

4．（2010江苏宿迁）（本题满分8分）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．求证：∠EBF=∠FDE．
C
A

B

D
E
F
O

5．（2010 浙江衢州）(本题6分)
已知：如图，E，F分别是ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．

A
D
E
F
B
C

6．（2010年贵州毕节）如图，已知：平行四边形 ABCD中，的平分线交边于，的平分线 交于，交于．求证：．
A
B
C
D
E
F
G

7．（2010 湖南株洲）（本题满分6分）如图，已知平行四边形，是的角平分线，交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．

8．（2010广东中山）如图，分别以RtΔABC的直角边AC及斜边AB向外作等边ΔACD、等边ΔABE．已知∠BAC=，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）试说明AC=EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

9．（2010湖南郴州）已知：如图，把绕边BC的中点O旋转得到.
求证：四边形ABDC是平行四边形.
第23题

10．(2010湖南怀化） 如图7，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，直线EF经过点O,分别与AB,CD的延长线交于点E,F.
求证：四边形AECF是平行四边形.

图7

11．（2010湖北省咸宁）问题背景
B
C
D
F
E
图1
A

3
6
2

（1） 如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EF∥AB
交BC于点F．请按图示数据填空：四边形DBFE的面积 ，△EFC的面积 ，△ADE的面积 ．
探究发现
（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求△ABC的面积．
B
C
D
G
F
E
图2
A

12．（2010湖北恩施自治州）如图，已知，在ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点.求证：四边形MFNE是平行四边形 .

13．（2010河南）如图，四边形ABCD是平行四边形，△AB’C和△ABC关于AC所在的直线对称AD和B’C相交于点O．连结BB’.

（1） 请直接写出图中所有的等腰三角形（不添加字母）；
（2） 求证：△A B’O≌△CDO.

14．（2010四川乐山）如图（7），在平行四边形ABCD的对角线上AC 上取两点E和F，若AE=CF.
求证：∠AFD=∠CEB.

15．（2010广东东莞）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30°，EF⊥AB，垂足为F，边结DF．
⑴试说明AC＝EF；
⑵求证：四边形ADFE是平行四边形．
A
B
C
D
E
F

16．（2010 山东东营） 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别是AD，BC的中点.
求证：（1）△ABE≌△CDF；
　　 （2）四边形BFDE是平行四边形.
A
E
D
C
F
B
（第19题图）

17．（2010 广东汕头）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE．已知∠BAC＝30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF．
（1）试说明AC＝EF；
（2）求证：四边形ADFE是平行四边形．

18．（2010 山东淄博）将一副三角尺如图拼接：含30°角的三角尺（△ABC）的长直角边与含45°角的三角尺（△ACD）的斜边恰好重合．已知AB＝2，P是AC上的一个动点．
（1）当点P运动到∠ABC的平分线上时，连接DP，求DP的长；
（2）当点P在运动过程中出现PD＝BC时，求此时∠PDA的度数；
（3）当点P运动到什么位置时，以D，P，B，Q为顶点的平行四边形的顶点Q恰好在边BC上？求出此时□DPBQ的面积．

D
A
C
B
(第23题)
…………9分20．（2010 贵州贵阳）已知，如图9，E、F是四边形ABCD的对角线AC上
的两点，AF=CE，DF=BE，DF∥BE．
（1）求证：△AFD≌△CEB（5分）
（2）四边形ABCD是平行四边形吗？请说明理由．（5分）
（图9）

【答案】（1）∵DF∥BE
∴∠DFA＝∠BEC………………………………………………………………………………1分
在△AFD和△CEB中
∵DF＝BE ∠DFA＝∠BEC AF＝CE……………………………………………………4分
△AFD≌△CEB（SAS）……………………………………………………………………5分
（2）是平行四边形。………………………………………………………………………6分
∵△AFD≌△CEB
∴AD＝CB ∠DAF＝∠BCE…………………………………………………………8分
∴AD∥CB………………………………………………………………………………9分
∴四边形ABCD是平行四边形………………………………………………………10分
21．（2010 湖北咸宁）问题背景
（1）如图1，△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点，
过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积 ，
△EFC的面积 ，
△ADE的面积 ．
B
C
D
F
E
图1
A

3
6
2

探究发现
（2）在（1）中，若，，DE与BC间的距离为．请证明．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若
△ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）
中的结论求△ABC的面积．
B
C
D
G
F
E
图2
A

【答案】（1），，．……3分
（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，，．
∴△ADE∽△EFC．……4分
∴．
∵， ∴．……5分
∴．
而， ∴……6分
3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形．
B
C
D
G
F
E
图2
A
H
∴，，．
∵四边形DEFG为平行四边形，
∴． ∴．
∴． ∴△DBE≌△GHF．
∴△GHC的面积为．……8分
由（2）得，□DBHG的面积为．……9分
∴△ABC的面积为．……10分
22．（2010吉林长春）如图，△ABC中，AB=AC,延长BC至D,使CD=BC,点E在边AC上，以CE、CD为邻边作□CDFE，过点C作CG∥AB交EF与点G。连接BG、DE。
（1）∠ACB与∠GCD有怎样的数量关系？请说明理由。（3分）
（2求证：△BCG≌△DCE. (4分)

【答案】

23．（2010云南昭通）如图6□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O．
（1）图中有哪些三角形是全等的？
（2）选出其中的一对全等三角形进行证明．

【答案】解：（1）△AOB≌△COD
△AOD≌△COB
△ABD≌△CDB
△ADC≌△CBA ………………………………4分
（2）以△AOB≌△COD为例证明，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
在△AOB和△COD中

∴△AOB≌△COD．　　　　　　 ……………………………8分
24．（2010广东佛山）已知：如图，在平行四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点，且AE=CG，BF=DH。
求证：△AEH≌△CGF。

【答案】证明：如图，在□ABCD中，BC=DA，∠A=∠C，……2分
∵BF=DH，所以FC=HA, …………………………………4分
又∵AE=CG，∴△AEH≌△CGF。………………………6分
25．（2010云南曲靖）如图，E、F是 ABCD对角线AC上的两点，且BE//DF.
求证：（1）△ABE≌△CDF；
2）∠1=∠2

【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD
∴∠BAE=∠DCF.
∵BE//DF，
∴∠BEF=∠DFE.
∴∠AEB=∠CFD.
∴△ABE≌△CDF（AAS）.
（2）由△ABE≌△CDF得
BE=DF.
∵BE//DF.
∴四边形BEDF是平行四边形.
∴∠1=∠2.
26．（2010广东湛江）如图，在中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE=DF
求证：（1）
（2）

【答案】
证明：(1) 四边形ABCD是平行四边形，
,………………2分
……………...……3分
在和中

……………….……6分
(2)
…………….……...8分

……………………….……10分A
E
D
C
F
B
（第19题图）
证明:（1）在平行四边形ABCD中，AB=CD，AD=CB.
又点E，F分别是AD，BC的中点. ………1分
AE=CF, …………………………3分
,…………………4分
△ABE≌△DCF (边，角，边) ……5分
（2）在平行四边形BFDE中，
∵△ABE≌△DCF ,
BE=DF. ……………………………………………………………6分
又点E，F分别是AD，BC的中点.
DE=BF, ………………………………………………………………8分
四边形BFDE是平行四边形. ……………………………………9分

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