特殊的平行四边形专题(题型详细分类).doc

数学堂 只教简单数学
特殊的平行四边形讲义
知识点归纳

矩形
菱形
正方形
性
质
边
对边平行且相等
对边平行，四边相等
对边平行，四边相等
角
四个角都是直角
对角相等
四个角都是直角
对角线
互相平分且相等
互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角
互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角
判定
·有三个角是直角;
·是平行四边形且有一个角是直角;
·是平行四边形且两条对角线相等.
·四边相等的四边形；
·是平行四边形且有一组邻边相等；
·是平行四边形且两条对角线互相垂直。
·是矩形，且有一组邻边相等；
·是菱形，且有一个角是直角。
对称性
既是轴对称图形，又是中心对称图形

矩形，菱形和正方形之间的联系如下表所示：

2014届四边形卖萌大赛最佳表演奖：等腰梯形

四边形分类专题汇总
专题一：特殊四边形的判定
【知识点】
1.平行四边形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）__________ （4）______________
（5）______________
2.矩形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
3.菱形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
4.正方形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
5.等腰梯形的判定方法：
（1）______________ （2）______________ （3）______________
【练一练】
一．选择题
1．能够判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（ ）．
A．AB∥CD，AD=BC B．∠A=∠B，∠C=∠D
C．AB=CD，AD=BC D．AB=AD，CB=CD
2．具备下列条件的四边形中，不能确定是平行四边形的为（ ）．
A．相邻的角互补 B．两组对角分别相等
C．一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线交点是两对角线中点
3.下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )
A.一组对边平行，另一组对边相等 B.一组对边平行，一组对角相等
C.一组对边平行，一组邻角互补 D.一组对边相等，一组邻角相等
4．如下左图所示，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，下列判断正确的是（ ）．
A．若AO=OC，则ABCD是平行四边形;
B．若AC=BD，则ABCD是平行四边形;
C．若AO=BO，CO=DO，则ABCD是平行四边形;
D．若AO=OC，BO=OD，则ABCD是平行四边形
5．不能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A．AB=CD，AD=BC B．AB∥CD，AB=CD
C．AB=CD，AD∥BC D．AB∥CD，AD∥BC
6.四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，能判断它为矩形的题设是（ ）
A．AO=CO，BO=DO B．AO=BO=CO=DO
C．AB=BC，AO=CO D．AO=CO，BO=DO，AC⊥BD
7.四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（ ）
A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD
8.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A、AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD　 B、AD∥BC，∠A＝∠C　
C、AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD　 D、AC＝CO，BO＝DO，AB＝BC
9.在下列命题中，真命题是（　 　）
Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形 Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
Ｃ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
Ｄ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
10.在下列命题中，正确的是（ ）
A一组对边平行的四边形是平行四边形 B有一个角是直角的四边形是矩形
C有一组邻边相等的平行四边形是菱形 D对角线互相垂直平分的四边形是正方形
11.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
Ａ
Ｆ
Ｃ
Ｄ
Ｂ
Ｅ

A．当AB=BC时，它是菱形 B．当AC⊥BD时，它是菱形

D
C
B
A
C．当∠ABC=900时，它是矩形 D．当AC=BD时，它是正方形

12.如图，在中，点分别在边，，上，且，．下列四个判断中，不正确的是（　　）
A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形
C．如果平分，那么四边形是菱形
D．如果且，那么四边形是菱形
13.下列条件中不能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A、对角线互相垂直且相等的四边形 B、一条对角线平分一组对角的矩形
C、对角线相等的棱形 D、对角线互相垂直的矩形
14.下列命题中，假命题是（ ）。
A、四个内角都相等的四边形是矩形 B、四条边都相等的平行四边形是正方形
C、既是菱形又是矩形的四边形是正方形 D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形
15.在四边形中，是对角线的交点，能判定四边形是正方形的条件是（ ）。
A、， B、，
C、， D、，，
16.下列命题正确的是（ ）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形 B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D．对角线相等的四边形是等腰梯形
17.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）
A、当AB=BC时，它是菱形 B、当AC⊥BD时，它是菱形
C、当∠ABC=90°时，它是矩形 D、当AC=BD是，它是正方形
18.顺次连接菱形各边中点所得的四边形一定是 （ ）
A.等腰梯形 B.正方形 C.平行四边形 D.矩形

一．矩形
例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为
例2：菱形具有而矩形不具有的性质是 （ ）A． 对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等；D.邻角互补
例3： 已知：如图， □ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，H，求证：四边形EFGH是矩形．

二．菱形
例1已知：如图ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F．求证：四边形AFCE是菱形．

例2、已知如图，菱形ABCD中，E是BC上一点，AE 、BD交于M，若AB=AE,∠EAD=2∠BAE。求证：AM=BE。

例3（中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°,=4,O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．

求线段的长．

例4、如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥AB交BA的延长线于E，DF⊥BC，交BC的延长线于F。请你猜想DE与DF的大小有什么关系？并证明你的猜想

例5、如图，菱形ABCD的边长为2，BD=2，E、F分别是边AD，CD上的两个动点，且满足AE+CF=2.
（1）求证：△BDE≌△BCF；
（2）判断△BEF的形状，并说明理由；
（3）设△BEF的面积为S，求S的取值范围.

三．正方形
例1、（2011海南）如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.A
B
C
P
D

E

（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；
（2）设AP=x, △PBE的面积为y.
① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

专题二：矩形的有关线段计算
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC题2
B F C
A H D
E G
，BD交于点O，已知，AB=2.5，则AC的长为 。

2. 如图，将矩形纸ABCD的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形EFGH，若EH＝3厘米，EF＝4厘米，则边AD的长是___________厘米.
3. 如图，矩形中，过对角线交点作交于则的长是（ ）
A．1.6 B．2.5 C．3 D．3.4
4. 如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（ ）
A′
G
D
B
C
A
A．1 B． C． D．2

5. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC的长为（ ）．
A、 B、2 C、3 D、
6. 黄冈)如图矩形纸片ABCD，AB＝5cm，BC＝10cm，CD上有一点E，ED＝2cm，AD上有一点P，PD＝3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是_________cm.
A
B
C
F
E
′
题11
（）
D
7. 把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB = 3 cm，BC = 5 cm，则重叠部分△DEF的面积是 cm2．

A
B
B1
C
D
E

8. 如图(十二)，长方形ABCD中，E为中点，作的角平分线交于F点。若＝6，＝16，则的长度为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
9. 如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C重合，则折痕EF的长为_____cm.
10. 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝CE．若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点B1重合，则AC＝ cm．
专题三：菱形的有关线段计算
1. 已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）
A．12cm2 B． 24cm2 C． 48cm2 D． 96cm2
2. .若一个菱形的边长为2，则这个菱形两条对角线的平方和为（ ）
A 16 B 8 C 4 D 1
3. 如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE＝4cA
D
C
E
B

m，则点P到BC的距离是_________cm.

4. 菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为（ ）
A． B． C． D．
5. 已知菱形的面积是，对角线cm，则菱形的边长是__________cm；
6. 菱形中，垂直平分，垂足为，．那么，菱形的面积是 ，对角线的长是 ．
7. 已知菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD=120°，AC=4，则该菱形的面积是（　　）
A、16 B、16 C、8 D、8

8. 如图为菱形ABCD与△ABE的重迭情形，其中D在BE上．若AB=17，BD=16，AE=25，则DE的长度为何（　　）
A、8 B、9 C、11 D、12
9. 如图所示，将两张等宽的长方形纸条交叉叠放，重叠部分是一个四边形ABCD，若AD=6cm，∠ABC=60°，则四边形ABCD的面积等于　 cm2．

专题四：正方形的有关线段计算
1. 如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点，则A′N= ;
2. 如图，正方形ABCD的边长为1cm，E、F分别是BC、CD的中点，连接BF、DE，则图中阴影部分的面积是
cm2．B

C
E
A
D
F

3. 如图，将边长为8㎝的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是（ ）
A．3cN
M
F
E
D
C
B
A
题3
m B．4cm C．5cm D．6cm

4. 如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4. （1）证明：△ABE≌△DAF；（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

5. 如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的处，点对应点为，且，则的长是B
A．　　　Ｂ．　　　Ｃ．　　　Ｄ．

专题五：有关特殊四边形的角度计算
1. 如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP = BC，则∠ACP度数是 ．
2. 如图，，矩形D
A
B
C
m
l

65°

的顶点在直线上，则D
C
B
A
E
P

度．A
D
E
P
C
B
F

B
C
D
A
P

3. 如图，在菱形ABCD中，，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则________度．
4. 如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（ ）
A．35° B．45° C．50° D．55°
5. 如图19，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在点C′处，折痕为EF，若∠ABE＝20°，那么∠EFC′的度数为 度．

6. 如图，已知矩形纸片，点是的中点，点是上的一点，，现沿直线将纸片折叠，使点落在约片上的点处，连接，则与相等的角的个数为（ ）
A.4 B. 3 C.2 D.1

四边形动点专题：
专题一：证明与计算
与中点相关的证明，或构造平行四边形将条件集中，或构造出中位线等等。
1.如图l，在四边形A8CD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE(不需证明)．
(温馨提示：在图1中，连结BD，取BD的中点H，连结HE、HF，根据三角形中位线定理，可证得HE=HF，从而∠HFE=∠HEF，再利用平行线的性质，可证得∠BME=∠CNE．)
问题一：如图2，在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF，分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论．
问题二：如图3，在△ABC中，AC>AB，D点在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，与BA的延长线交于点G，  若∠EFC=600，连结GD，判断△AGD的形状并证明．A
C
B
D
F
E
N
M
O
E
B
C
D
H
A
F
N
M
1
2
图1
图2
图3
A
B
C
D
F
G
E

2.在图1至图3中，点B是线段AC的中点，点D是线段CE的中点．四边形BCGF和CDHN都是正方形．AE的中点是M．
（1）如图1，点E在AC的延长线上，点N与点G重合时，点M与点C重合，
求证：FM = MH，FM⊥MH；
（2）将图1中的CE绕点C顺时针旋转一个锐角，得到图2，求证：△FMH是等腰直角三角形；
（3）将图2中的CE缩短到图14-3的情况，△FMH还是等腰直角三角形吗？
A
H
C
D
E
图3
B
F
G
M
N
G
图2
A
H
C
D
E
B
F
N
M
图1
A
H
C(M)
D
E
B
F
G(N)

3.已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）求证：EG=CG；
（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
F
B
A
D
C
E
G
图①
F
B
A
D
C
E
G

图②
D
F
B
A
C
E
图③
（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？

4.已知：在Rt△ABC中，AB=BC，在Rt△ADE中，AD=DE，连结EC，取EC的中点M，连结DM和BM．
（1）若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图①，探索BM、DM的关系并给予证明；
图①

图②

（2）如果将图①中的△ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图②，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明．