二次函数中的存在性问题(平行四边形).doc

二、已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足）
1.【08湖北十堰】已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与y轴的正半轴交于点C．
⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点B的坐标；
⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式；
⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点的坐标；若不存在,请说明理由．
解：⑴对称轴是直线：，点B的坐标是(3,0)． ……2分
说明：每写对1个给1分，“直线”两字没写不扣分．
⑵如图，连接PC，∵点A、B的坐标分别是A(-1,0)、B (3,0)，
∴AB＝4．∴
在Rt△POC中，∵OP＝PA－OA＝2－1＝1，
∴
∴b＝ ………………………………3分
当时，
∴　 ………………………………4分
∴ ………………5分
⑶存在．……………………………6分
理由：如图，连接AC、BC．设点M的坐标为．
①当以AC或BC为对角线时，点M在x轴上方，此时CM∥AB，且CM＝AB．
由⑵知，AB＝4，∴|x|＝4，．
∴x＝±4．∴点M的坐标为．…9分
说明：少求一个点的坐标扣1分．
②当以AB为对角线时，点M在x轴下方．
过M作MN⊥AB于N，则∠MNB＝∠AOC＝90°．
∵四边形AMBC是平行四边形，∴AC＝MB，且AC∥MB．
∴∠CAO＝∠MBN．∴△AOC≌△BNM．∴BN＝AO＝1，MN＝CO＝．
∵OB＝3，∴0N＝3－1＝2．
∴点M的坐标为． ……………………………12分
说明：求点M的坐标时，用解直角三角形的方法或用先求直线解析式，
然后求交点M的坐标的方法均可，请参照给分．
综上所述，坐标平面内存在点，使得以点A、B、C、M为顶点的四边形是平行四边形．其坐标为．
说明：①综上所述不写不扣分；②如果开头“存在”二字没写，但最后解答全部正确，不扣分。

2.【09浙江湖州】已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
第（2）题
x
y
B
C
O
D
A
M
N
N′
x
y
B
C
O
A
M
N
P1
P2
备用图

（1）.……………4分
（2）由题意得点与点′关于轴对称，，
将′的坐标代入得，
（不合题意，舍去），.……………2分
，点到轴的距离为3.
， ，直线的解析式为，
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.……………2分
（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，
把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去），， .……………2分
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
．
与关于原点对称，，
将点坐标代入抛物线解析式得：，
（不合题意，舍去），，．……………2分
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
二、已知两个定点，再找两个点构成平行四边形
①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接的线段应和已知边平行且相等）
1．【09福建莆田】已知，如图抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点B的坐标为(1，0),OC=30B．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值：
(3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵对称轴………1分
又∵OC=3OB=3，，
∴C（0，－3）………2分
方法一：把B(1,0)、C(0－3)代入得：
解得：
∴…………………4分
方法二：∵B（1，0），∴A(-4，0)
可令 把C(0，-3)代入得：

∴………………4分

（2）方法一：过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N。
∵
＝……………5分
∵A(-4，0)，C(0，-3)
设直线AC的解析式为
代入求得：……………6分
令，
…………7分
当时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值。…………8分
方法二：过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作∥x轴交抛物线于，从图象中可判断当嗲D在下方的抛物线上运动时，四边形ABCD才有最大值。
则
= …………5分
令
则…………7分
当时，四边形ABCD面积有最大值。…………8分
（3）如图所示，讨论：①过点C作∥x轴交抛物线于点，过点作∥AC交x轴于点，此时四边形为平行四边形，…………9分
∵C(0，-3)
令得：
∴。∴
2.【09福建南平】已知抛物线：
（1）求抛物线的顶点坐标.
（2）将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线的解析式.
（3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上有一动点M，在、这两条抛物线上是否存在点N，使O（原点）、P、M、N四点构成以OP为一边的平行四边形，若存在，求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.
【提示：抛物线（≠0）的对称轴是顶点坐标是】
解：（1）依题意　……………1分
∴，　……3分
∴顶点坐标是（2，2）………………………4分
（2）根据题意可知
y2解析式中的二次项系数为…………………5分
且y2的顶点坐标是（4，3）……………………6分
∴y2＝－，即：y2＝……8分
（3）符合条件的N点存在……………………………………9分
如图：若四边形OPMN为符合条件的平行四边形，
则∥，且
∴，
作轴于点A，轴于点B
∴，
则有（AAS）　　∴
∵点P的坐标为（4,3）∴……10分
∵点N在抛物线、上，且P点为
、的最高点　　∴符合条件的N点只能在轴下方
①点N在抛物线上，则有：
解得：或…………………………………………………11分
②点N在抛物线上，则有：
解得：或…………………13分
∴符合条件的N点有四个：
……………………………………………14分
②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时，则这条线段可能为平行四边形得边或对角线
1．【07浙江义乌】如图，抛物线与x轴交A、B两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2．
（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；
（2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的平行线交抛物线于E点，
求线段PE长度的最大值；
（3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样
的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F
点坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）令y=0，解得或（1分）
∴A（-1，0）B（3，0）；（1分）
将C点的横坐标x=2代入得y=-3，∴C（2，-3）（1分）
∴直线AC的函数解析式是y=-x-1
（2）设P点的横坐标为x（-1≤x≤2）（注：x的范围不写不扣分）
则P、E的坐标分别为：P（x，-x-1），（1分）
E（（1分）
∵P点在E点的上方，PE=（2分）
∴当时，PE的最大值=（1分）
（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时：
当AF为平行四边形的对角线时：
2．【09辽宁抚顺】已知：如图所示，关于的抛物线与轴交于点、点，与轴交于点．
（1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；
（2）在抛物线上有一点，使四边形为等腰梯形，写出点的坐标，并求出直线的解析式；
B
A
O
C
y
x

（3）在（2）中的直线交抛物线的对称轴于点，抛物线上有一动点，轴上有一动点．是否存在以为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）根据题意，得
1分
解得 3分
抛物线的解析式为 4分
顶点坐标是（2，4） 5分
（2）……………………………………6分
B
A
O
C
y
x

Q4
Q3
Q1
Q2
P3
P1
P2
D
C
P4
设直线的解析式为
直线经过点点
……………………………………7分
……………………………………8分
9分
（3）存在． 10分
11分
12分
13分
14分