第16讲多边形与平行四边形.doc

第16讲　多边形与平行四边形
考试目标锁定
考纲要求
备考指津
1.了解多边形的有关概念，并能解决简单的多边形问题．
2.掌握多边形的内角和定理，并会进行有关的计算与证明．
3.掌握平行四边形的概念及有关性质和判定，并能进行计算和证明．
4.了解镶嵌的概念，会判断几种正多边形能否进行镶嵌.
　　中考命题多以选择题、填空题的形式出现，主要考查多边形的边角关系、多边形内角和、平面镶嵌及平行四边形的定义、性质和判定．另外，平行四边形常和三角形、圆、函数结合起来命题，考查学生的综合运用能力．
基础自主导学

考点一　多边形的有关概念及性质
1．多边形的概念
定义：在平面内，由一些不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
正多边形：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．
2．性质：n边形的内角和为(n－2)·180°，外角和为360°.
考点二　平面图形的密铺(镶嵌)
1．密铺的定义：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的密铺，又称作平面图形的镶嵌．
2．平面图形的密铺：正三角形、正方形、正六边形都可以单独使用密铺平面，部分正多边形的组合也可以密铺．
考点三　平行四边形的定义和性质
1．定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．
2．性质：
(1)平行四边形的对边相等且平行．
(2)平行四边形的对角相等．
(3)平行四边形的对角线互相平分．
(4)平行四边形是中心对称图形．
考点四　平行四边形的判定
1．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
3．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
4．对角线相互平分的四边形是平行四边形．
5．两组对角分别相等的四边形是平行四边形．

1．若一个正多边形的一个内角是120°，则这个正多边形的边数是(　　)．
A．9 B．8 C．6 D．4
2．一批相同的正六边形地砖铺满地面的图案中，每个顶点处的正六边形的个数为(　　)．
A．2个 B．3个 C．4个 D．6个
3．如图，在ABCD中，已知AD＝5 cm，AB＝3 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于(　　)．

A．1 cm B．2 cm C．3 cm D．4 cm
4．如图所示，ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．

求证：(1)△AFD≌△CEB；
(2)四边形AECF是平行四边形．
规律-方法探索
一、多边形的内角和
【例1】 某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是(　　)．
A．5 B．6 C．7 D．8
解析：多边形的外角和是360°，不随边数的改变而改变．设这个多边形的边数是x，由题意，得(x－2)·180°＝3×360°，解得x＝8.
答案：D

要记住多边形的内角和公式，当已知边数时，可求内角和；当已知内角和时，可求边数．特别地，正多边形的每个外角等于.
二、平面的密铺
【例2】 梅园中学实验室在装修过程中，准备用边长相等的正方形和正三角形两种地砖镶嵌地面，在每个顶点的周围正方形、正三角形地砖的块数可以分别是(　　)．
A．2,2 B．2,3 C．1,2 D．2,1
解析：平面镶嵌时同一顶点处各角的和为360°，正方形内角90°，等边三角形内角60°，则2×90°＋3×60°＝360°.
答案：B

对于给定的某种正多边形能否密铺，关键在于分析能用于完整铺平地面的正多边形的内角特点，当围绕一点拼在一起时，几个多边形的内角加在一起是否恰好组成一个周角．
三、平行四边形的性质
【例3】 如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD＝32°，分别以BC，CD为边向外作△BCE和△DCF，使BE＝BC，DF＝DC，∠EBC＝∠CDF，延长AB交边EC于点H，点H在E，C两点之间，连接AE，AF.

(1)求证：△ABE≌△FDA；
(2)当AE⊥AF时，求∠EBH的度数．
(1)证明：在平行四边形ABCD中，AB＝DC．
又∵DF＝DC，∴AB＝DF.同理EB＝AD．
在平行四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC，
又∵∠EBC＝∠CDF，∴∠ABE＝∠ADF.
∴△ABE≌△FDA．
(2)解：∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB＝∠DAF.
∵∠EBH＝∠AEB＋∠EAB，
∴∠EBH＝∠DAF＋∠EAB＝90°－32°＝58°.
∴∠EBH＝58°.

1．利用平行四边形的性质可证明线段或角相等，或求角的度数．
2．利用平行四边形的性质常把平行四边形问题转化为三角形问题，通过证明三角形全等而解决．
如图，在ABCD中，点E，F是对角线AC上两点，且AE=CF.

求证：∠EBF=∠FDE.
四、平行四边形的判定
【例4】 如图，在ABCD中，∠DAB＝60°，点E，F分别在CD，AB的延长线上，且AE＝AD，CF＝CB．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；
(2)若去掉已知条件的“∠DAB＝60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB＝60°.
∴∠ADE＝∠CBF＝60°.
∵AE＝AD，CF＝CB，∴△AED，△CFB是正三角形．
在ABCD中，AD＝BC，∴ED＝BF.
∴ED＋DC＝BF＋AB，即EC＝AF.
又∵DC∥AB，即EC∥AF，
∴四边形AFCE是平行四边形．
(2)上述结论还成立．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC∥AB，∠DCB＝∠DAB，AD＝BC，DC綊AB．
∴∠ADE＝∠CBF.
∵AE＝AD，CF＝CB，
∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF.
∴∠AED＝∠CFB．
又∵AD＝BC，∴△ADE≌△CBF.∴ED＝FB．
∵DC＝AB，∴ED＋DC＝FB＋AB，即EC＝FA．
∴EC綊AF.∴四边形EAFC是平行四边形．

平行四边形的判定方法：
(1)如果已知一组边平行，常考虑证另一组边平行或者证这组边相等；
(2)如果已知一组边相等，常考虑证另一组边相等或者证这组边平行；
3)如果已知条件与对角线有关，常考虑证对角线互相平分．
知能优化训练

1．(2012江苏无锡)若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数为(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
2．(2011安徽)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是(　　)．

A．7 B．9 C．10 D．11
3．(2012四川南充)如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若四边形ABCD的面积是24 cm2，则AC长是_______cm.

4．(2012贵州铜仁)一个多边形每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是__________．
5．(2012广东湛江)如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别在AD，BC边上，且AE＝CF.

求证：(1)△ABE≌△CDF；
(2)四边形BFDE是平行四边形．

1．如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝70°，则∠AED的度数是(　　)．

∴△ABE≌△CDF(SAS)．
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC且AD∥BC.
∵AE＝CF，∴DE＝BF.
又DE∥BF，∴四边形BFDE是平行四边形．
模拟预测
1．D　2.C　3.C　4.A
5．160 cm2　
6.2　7.24　
8.4＋2
9．证明：∵∠ACB＝90°，AE＝BE，∴CE＝AE＝BE.
∵ED⊥BC，∴∠BED＝∠CED.
∵AF＝CE，∴AF＝AE.∴∠F＝∠FEA.
∵∠FEA＝∠BED，∴∠F＝∠CED.
∴CE∥FA.∴四边形ACEF是平行四边形．