2圆周角定理与垂径定理(2014-2015)教师.doc

2015年中考解决方案

圆周角定理与圆内接图形

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圆周角定理

中考说明

内容
基本要求
略高要求
较高要求
旋转
了解图形的旋转，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形
能按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转前、后的图形，指出旋转中心和旋转角
能运用旋转的知识解决简单问题

自检自查必考点

圆心角和圆周角
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为等份，每一份的弧对应的圆心角，我们也称这样的弧为的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．
5. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．
6. 圆的基本性质有：
⑴　直径所对的圆周角是直角．
⑵　同弧所对的圆周角相等．
⑶　经过圆心及一弦中点的直线垂直平分该弦．
7. 不在同一直线上的三个点确定一个圆
8. 圆的内接四边形对角互补，外角等于内对角

中考必做题

模块一 圆周角定理
【例1】 若的一条弧所对的圆周，则这条弧所对的圆心角是（ ）
A． B． Ｃ． Ｄ．以上答案都不对
【答案】Ｃ
【例2】 如图，是圆的弦，圆周角,则的度数是_______

【答案】
【例3】 如图，正方形的外接圆，点在上，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】
【例4】 如图，点在上，将圆心角绕点按逆时针方向旋转到,旋转角为，（）．若,,则_______

【答案】
【例5】 如图，是的直径，是的弦。若,则=_______

【答案】
【例6】 如图，点都在上，且点在弦所对的优弧上，若，
则是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【例7】 如图，的外接圆上，三弧的度数比为．自上取一点,过
分别作直线的并行线，且交于两点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．

【答案】Ｃ
【例8】 如图，中，弦相交于点 若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】Ｃ
【例9】 如图，已知的直径，为上的一点，,则_______

【答案】
【例10】 如图，在以为直径的半圆中，点是它的中点，若,则的面积是（ ）

【答案】
【解析】考查直径所对圆周角为，
,
【例11】 如图所示，为的直径，为弦，且，垂足为．
（1）如果的半径为4， ，求的度数；
（2）若点为的中点，连接．求证：平分；
（3）在（1）的条件下，圆周上到直线距离为3的点有多少个？并说明理由．

【答案】（1）解：∵为的直径，
∴
在中，
∴
∴
（2）证明：∵点是的中点
∴
又∵，
∴
∴
又∵
∴
∴平分
（3）解：圆周上到直线的距离为3的点有2个．
因为圆弧上的点到直线的最大距离为2，
上的点到直线的最大距离为6，，根据圆的轴对称性，到直线距离为3的点有2个．
【例12】 如图，是的外接圆，是的直径，为上一点，，垂足为，连接
（1）求证：平分；
（2）当时，求证：．

【答案】证明：（1）∵为半径，
∴
∴，
∴平分；
（2）∵，
∴，
∴，
又∵于，
∴，
∴，
又∵为的直径，
∴，
在中，
∵
∴．

模块二 三角形外接圆
【例13】 如图，在平面坐标系中，已知一圆弧过小正方形网格的格点,点的坐标是，则该圆弧所在圆的圆心坐标是_______

【答案】
【例14】 如图所示，内接于，若，则的大小是（ ）

A． B． C． D．

【答案】B
【例15】 如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，⊙O的半径为2，则等边三角形ABC的边长为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法．

解：连接，并作于，则，，∴，∴．
【例16】 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4 ，则⊙O的直径等于（ ）

A． B． C． D．７
【答案】C
【解析】此题主要考查等边三角形外接圆半径的求法,利用直径所对的圆周角是90度构造直角三角形是常用的辅助线方法．

解：作直径，连接，∵，∴是，由勾股定理得．
∵∠ACD=∠AEB，（同弧圆周角相等），（半圆上的圆周角是直角）
∴， ，∴，则直径．
【例17】 如图所示，点、、在上，且．若点是上的动点，要使为等腰三角形，则所有符合条件的点有（ ）
A．1 个 B．2 个
C．2 个 D．4个

【答案】D
【解析】,弦不是直径，不是等边三角形．（1）当时，是等腰三角形，这时点是弦的垂直平分线与圆的交点，有两个；（2）当时，这样的点只有一个．（3）当时，这样的点只有一个．综上可得符合条件的点有4个．
【例18】 已知：如图，内接于, 为的直径，, 点是上一个动点，连结, 与相交于点, 过点作于, 与相交于点,连结和.
(1) 求证：;
（2）如图1，若， 求证：；
（3) 如图2，设 , 四边形的面积为,求与之间的关系式.

【答案】(1) 证明: ∵, 为的直径 ∴
∵，∴
∵ ∴是等腰直角三角形 ∴∴
∴是等腰直角三角形∴，∴≌，　∴ ．
(2)证明：∵∴，∴，
∴，∴是的中点，∴，∴是等腰直角三角形
∴，∴，∴
（3）解：
= （）
【例19】 已知，如图，在中，,以为直径的分别交、于点、,连结交于点．
（1）求证：；
（2）若,,求的长．

【答案】（1）联结
∵是的直径，,．
,．
（2）方法一：，.
.在、中，，
设，则有，
解得：，
方法二：． 设，在、　中，．．∵，，
，解得：．
方法三：∵BE⊥AC AD⊥BC, ，
，．．

【例20】 我们将能完全覆盖某平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．例如线段的最小覆盖圆就是以线段为直径的圆．
（1）请分别作出图1中两个三角形的最小覆盖圆；（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）

（2）探究三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论；（不要求证明）
（3）某地有四个村庄（其位置如图2所示），现拟建一个电视信号中转站，为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小（距离越小，所需功率越小），此中转站应建在何处？请说明理由．

【答案】：（1）如图所示：

（2）若三角形为锐角三角形，则其最小覆盖圆为其外接圆；
若三角形为直角或钝角三角形，则其最小覆盖圆是以三角形最长边（直角或钝角所对的边）为直径的圆．
（3）此中转站应建在的外接圆圆心处（线段的垂直平分线与线段的垂直平分线的交点处）．
理由如下：

，
，
∴是锐角三角形，所以其最小覆盖圆为的外接圆，
设此外接圆为，直线EG与交于点，则
．
故点G在内，从而也是四边形的最小覆盖圆．
所以中转站建在的外接圆圆心处，能够符合题中要求．

模块三 圆的内接四边形
【例21】 下列关于圆内接四边形叙述正确的有（　　）个
①圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内对角；
②圆内接四边形对角相等；
③圆内接四边形中不相邻的两个内角互补；
④在圆内部的四边形叫圆内接四边形．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【例22】 如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD=105°，则∠DCE的大小是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴，
而，∴，而，∴∠DCE．
【例23】 已知：四边形是的内接四边形，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．也考查了邻补角的定义以及等角的补角相等．
解：∵四边形是的内接四边形∴∵
∴．
【例24】 四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BCD=110°，则∠BAD为（ ）
A． B． C． D．

【答案】D
【解析】考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补．

课后作业

【题1】 如图，点都在上，的度数等于，是的平分线，则 _______

【答案】
【解析】的度数为，,故,
又,,
．
【题2】 如图，是等边三角形的外接圆，点在劣弧上，,则的度数
为_______

【答案】
【解析】同弧所对圆周角相等．因为是等边三角形，所以,∵,
∴．
【题3】 在数轴上，点所表示的实数为3，点所表示的实数为，的半径为2．下列说法中不正确的是 ）
A．当时，点在内 B．当点在内
C．当时，点在外 D．当时，点在外
【答案】A
【解析】由图可知B．当时点在内；当或1时点在上；当或
点在外

【题4】 如图，,,则的度数是（ ）
A． B．
C． D．

【答案】D
【解析】考查同弧所对圆周角是圆心角的一半．
,．所对圆心角为．所对的圆心角为．
．
【题5】 如图所示，已知是的直径，把为的直角三角板的一条边放在直线上，斜边与交与点，点与点重合．将三角板沿方向平移，使得点与点重合为止．设，则的取值范围是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当点与点重合时，;当点与点重合时，．
故选A
【题6】 如图，是的直径，弦于点,若,，则_______

【答案】
【解析】利用直径所对圆周角是．

连结,,，∴，在中，
。．
【题7】 如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠B=60°，则∠CAO的度数是（ ）

A． B． C． D．
【答案】
【解析】此题综合考查了圆周角定理和三角形的内角和定理

解：连接，由圆周角定理，得，中，，
∴．
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