第八章--不等式--学案.doc

华东师大版七年级下期“五环四互”教学模式数学学案
学校____________ 班级 姓名 小组评价 教师评价__________

第8章一元一次不等式
8.1.1认识不等式
【学习目标】
1、知道什么叫做不等式，并会举例。
2、理解不等式的解的意义，能列举和验证不等式的解。
3、能根据题意列出不等式。
【学习重难点】
重点：让学生理解不等式和不等式的解的意义，能正确列出不等式；
难点：准确应用不等号，正确理解不等式的解；
【自学互助】
1、新知自学：（请同学们阅读课本50-52页，独立完成后互相对正。）[来源:学§科§网①不等式的定义：用 表示 关系的式子,叫做不等式.
②不等式的解：能使不等式成立的 的值,叫做不等式的解.
1、 在数-3，-2，-1.2，-1，0，1，1.3，2，3，7，22中，
是方程2x-1=3的解； 是不等式2x-1＜3的解，
【合作探究】：
创设情境：课本50页
探究一：王小华和李敏两人的建议，到底谁的比较合算呢？为什么? 探索过程如下:
王小华：买27张票，付款： ; 李敏：买30张票，付款：
显然 <
探究二: 我们只用120元就买了30张票，买30张票，我们不仅省钱，而且多买了票， 买30张票比买27张票付的款还要少，这是不是说任何情况下都是多买票反而花钱少？

探究三：至少要有多少人去参观，多买票反而合算呢？能否用数学知识来解决？
假设有x人要去公园游园.
（1）如果x≥30，则按实际人数买票，每张票只付4元，需花 元。
（2）如果x＜30，那么：按实际人数买票x张要付款 元；
买30张票,要付款4×30＝120(元).如果买30张票合算，则120＜5x.
探究四:如果买30张票合算，x取哪些数值时,120＜5x成立？（填课本P51图表）
概括：1、像120＜135、x＜30、120＜5x，这些 叫做不等式。
2、常用的不等号有： 注：“>”、“<”不仅表示左右两边不等关系，还明确表示左右两边的大小；“≤”、“≥”也表示不等，前者表示“不大于”(小于或等于)，后者表示“不小于”(大于或等于)，“≠”表示左右两边不相等
3、不等式120<5x中含有未知数x， 叫做不等式的解.
我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】
【检测互评】
1、用不等号表示不等关系的式子，叫做 ，能使不等式成立的 的值，叫做不等式的解。
2、用“＜”或“＞”号填空：
　(1) －7____－5； (2) 6×(－3)____4×(－3) (3) (－4)2____(－3)2；
3、在数-3，-2，-1.2，-1，0，1，1.3，2，3，7，22中， 是方程2x-1=3的解；
是不等式2x-1＜3的解， 不是它的解。
4、不等式x≥-2的负整数解是 。
5、x的值不小于3，用不等式表示为（ ）
A B C D
6、在值-4，-2.5，-1，0，3，5，10，50中，能使不等式成立的值有（ ）个
A 8 B 7 C 6 D 5
7、下列按条件列出的不等式中，正确的是（ ）
A a不是负数，则a>0 B a 是不大于0的数，则a<0
C a是不小于-1的数，则a>-1 D a+b是负数，则a+b<0
8、用不等式表示下列关系，并分别写出两个满足各不等式的数：
⑴ x与1的和是正数； ⑵ y的 2倍与1的和大于3；

⑶x的与x的2倍的和是非正数； ⑷a与b的和的平方不大于3；

（5） x除以2的商加上2，至多为5； （6）b不是正数.

9、正整数解是（ ）
A0，1，2，3 B 1，2，3，4 C 0，1，2，3，4 D1，2，3，4，5
10、m为有理数，下列结论正确的是（ ）
A B ，则 C ，则 D ，则
【总结提升】
本节我的收获________________________________________________________________

8.2.1不等式的解集
【学习目标】
1．能区别不等式的解、解集的意义，会表示不等式的解集。
2．通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
【学习重点】不等式的解集的表示。
【学习难点】不等式的解与不等式的解集的区别与联系
【学法指导】
1.课前充分预习教材，用红笔标记重点、难点与疑点。
2.用20分钟独立完成导学案“自主学习”与“合作探究”，提前进行讨论研究，准备好课堂交流。
【自学互助】
1、当的值分别取-1、0、2、3、3.5、5时，不等式-3＞0和-4＜0能分别成立吗？
解：当取 时不等式-3＞0成立；
当取 时不等式-4＜0成立
2、（1）=5,6,8能使不等式+2＞5成立吗？
（2）你还能找出一些使不等式x+2＞5成立的x的值吗？
例如 等。
由此看来，6，7，8，9，10…都能使不等式成立，不等式x+2＞5的解有多少?
3． 与方程类似，我们把使不等式成立的 的值叫做不等式的解。
如x=3.5、5都是不等式x-3＞0的解.
x=-1、0、、2、3、3.5都是不等式x-4＜0的解;
由此可知不等式的解不唯一，有无数个解.使不等式成立的 叫做不等式的解的集合，简称解集。现阶段，不等式的解集的表示方法有两种：一是用式子形式（如＞2）；另一种是用数轴来表示。一般地，一个含有未知数的不等式的 ，组成这个不等式的解集。
4.求不等式的解集的过程叫做 。
5.“”表示 或者 ，“”表示 或者
6. 不等式的解集在数轴上可直观地表示出来，但应注意不等号的类型，小于向 画，大于向 画。当不等号为“>”或“<”时用 圆圈，当不等号为“”或“”时用 圆圈
我的疑问：
【展示互导】
温馨提示：大胆地展示自己和伙伴们的想法，再听听别的同学不同的看法，取长补短
【质疑互究】
【检测互评】
1.下列各数中是不等式的解的是( )
A. B.7 C.-2 D.-7
2.下列说法正确的是( )
A.5是不等式的解 B.是的解集
C.是的解集 D.是的解集
3在数轴上(如图)表示不等式的解集正确的是( )

4．用不等式表示图中的解集，其中正确的是 （ ）

A x≥-3 B x>-3 C x<-3 D x≤-3
5、将下列不等式的解集在数轴上表示出来
（1）x﹤2 （2）x≥-2 （3）-1﹤x﹤3

6 ⑴x≥-4的负整数解是 ⑵x<4的非负整数解是

⑶x<4的正整数解是 ⑷x≤4的非负整数解是
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？ ；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做 ；
8.2.2不等式的简单变形（1）
【学习目标】
1．探索并掌握不等式的基本性质。
2．理解不等式与等式性质的联系与区别。
【学习重点】
不等式的性质及其应用.
【学习难点】
不等式的基本性质3的理解和应用.
【自学互助】
1、我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？
等式的基本性质一：
等式两边都　　　或（　　　　　　）同一个 　　　　　 ，所得结果仍是等式。
可用符号表示为： 若，则
等式的基本性质二：
等式两边都　　　或（　　　　）同一个　 （ 　 ），所得结果仍是等式。
可用符号表示为： 若，则 ， （）
2、用“＞”，“＜”或“＝”填空：
（1）7____5 （2）7+3____5+3 （3）7+（-3）____5+（-3） （4）7-8____5-8 （5）7+a____5+a (6) 7-b____5-b
由上可发现：不等式的基本性质1：
不等式的两边都　　　或（　　　　　）同一个数或同一个整式，不等号的方向______.
用式子表示为:如果 a>b, 那么 a+c b+c 或 a-c b-c
3、 将不等式7＞5两边都乘以同一个数，用“＞”，“＜”或“＝”填空：
（1）7×3 ______5×3， 2）7×4 ______5×4， （3）7×6______ 5×6
由上可发现：不等式的基本性质2：
不等式两边都乘以（或除以）同一个 数，不等号的方向 。
用式子表示为:如果a>b，并且c 0，那么ac bc 或 .
4、 将不等式7＞5两边都乘以同一个数，用“＞”，“＜”或“＝”填空：
（1).7×（－1）______5×（－1）， (2).7×（－2）____ 5×（－2），
(3).7×（－3）______5×（－3）， (4).7×（－10）____5×（－10），
﹡﹡﹡﹡﹡由上可发现：不等式的基本性质3
不等式两边都乘以（或除以）同一个 数，不等号的方向 。
用式子表示为:如果a>b，并且c 0，那么ac bc 或 .
【展示互导】
温馨提示：大胆地展示自己和伙伴们的想法，再听听别的同学不同的看法，取长补短
【质疑互究】1、不等式的基本性质和等式的基本性质有什么区别和联系？
2、不等式的基本性质的后面部分能否说成：结果仍是不等式？为什么？
3、不等式的基本性质3的理解和探讨
【检测互评】
1．设＞.用“＜”或“＞”号填空.
（1）.－3 －3; （2）. ;
（3－4 －4b; （4）.-5+7 -5b+7;
2．若,则下列式子中一定成立的不等式为( )

3．下列变形中不正确的是（ ）
A．由 ，得 B.由，得
C．由，得 D.由，得
4．(拓展提高）已知关于 x 的不等式 (1 - a) x > 2 的解集为x < ，则a 的取值范围是___________
变式训练：若不等式(2k + 1) x < 2k + 1的解集是x < 1 ，则k 的取值范围是_______
5．(拓展提高）下列各式分别在什么条件下成立。
（ ） （ ）
（ ） （ ）
（ ） （ ）
【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？ ；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做 ；

8.2.2不等式的简单变形（1）
【学习目标】
1．进一步熟练掌握不等式的基本性质。
2．能运用不等式的基本性质解不等式，并能在数轴上表示解集。
【学习重点】不等式的性质及其应用.
【学习难点】根据不等式的性质对不等式进行变形
【自学互助】
1．利用不等式性质解下列不等式：
（1）、X-7<8 (2)、
思路导航：解未知数为的不等式，就是要使不等式逐步化为的形式。
第（1）小题为了使不等式中不等号的一边变为，根据 ，不等式两边都加上 ，不等号的方向 ，得，
第（2）小题为了使不等式中不等号的一边变为，根据 ，不等式两边都减去 ，不等号的方向 ，得，
解：（1） （2）

思考：这两小题的中不等式的变形与解方程过程中的什么变形类似？
这种变形需要注意 。
2.利用不等式性质解下列不等式：
（1） 、x>－3； （2）、－2x<6.
解：（1） （2）

思考：这两小题中不等式的变形与方程的什么变形类似？
不等式和方程的这种变形有什么不同？
不等式的这种变形要特别注意
我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】
【检测互评】
1.用“﹥”或“﹤”填空:
(1).若则 ; (2)若,当时,C 0;
(3).若,则 ; (4)若,则
(5).若则 0; (6)若则 0;
2．不等式的解集是（ ）

3．说出下列不等式的变形是根据不等式的哪一条性质：
⑴由>﹣3,根据不等式的 ，得
⑵由3+x<5,根据不等式的 ，得
⑶由﹣2x<6根据不等式的 ，得
4．根据不等式的性质,把下列不等式化为或的形式(其中为常数).并把解集在数轴上表示出来.
(1)、 （2）、

(3) 、; (4)、

【总结提升】

8.2.3解一元一次不等式
【学习目标】
（1)、会识别一元一次不等式；
(2)、类比解一元一次方程的步骤来探索解一元一次不等式的一般步骤；
【学习重点】解一元一次不等式：
【学习难点】1、解教复杂的一元一次不等式，如含有去分母、
2、去括号等步骤较多的一元一次不等式。
【自学互助】
１、 含有 ，且未知数的次数都是 的整式方程叫一元一次方程。
２、 含有 ，且含未知数的式子都是 ，未知数的次数都是 的不等式叫一元一次不等式。
3、下列不等式哪些是一元一次不等式？（是的打“√”，错的打“错”）
(1) 3x+2>x–1 （ ） (2) 5x+3<0 （ ）
(3)+3<5x–1 （ ） (4) x(x–1)<2x（ ）
4 。阅读教材58页例3的解法：请在组内交流
解不等式的步骤有哪些？
哪些步骤与解方程相同？
不同的地方是什么？
在解不等式时要注意什么？
你会解不等式了吗？试试看看，并把解集在数轴上表示出来。
（1）、2（5x＋3）≤x－3（1－2x） （2）、3（x＋2）≥4（x－1）＋7

我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】
1.解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来。
（1）、 （2）、≥

2，当x取何值时，代数式的值的差大于1？

【检测互评】
1. 不等式3x＋1＜15－7x的解集是__________。
2. 当x_时，代数式3x－7大于0； 当x_______时，代数式5x＋6的值不小于1。
3.不等式去分母正确的结果是（ ）
A、2x＜6－x－1 B、4x＜3－x＋1 C、4x＜6－x＋1 D、4x＜6－（x＋1）
4.解不等式10－4(x－3)≤2(x－1)时，开始出现错误的一步是（ ）
A、10－4x＋12≤2x－2 B、－4x－2x≤－2－10－12
C、－6x≤－24 D、x≤4
5.解不等式
6、当取何值时,代数式5x＋3的值
①大于的值; ②不大于的值; ③是非负数 ④不小于3

【总结提升】
1.你达成本堂课预定的学习目标吗？ ；
2.通过本堂课的学习，养成了哪些良好的学习习惯；在哪些学习环节中未按老师的要求去做 ；
3.学案上所呈现的学习方法是否掌握 。
8.2.3一元一次不等式与一元一次方程和二元一次方程组
【学习目标】1.会求一元一次不等式的特殊解
2. 体会一元一次不等式和一元一次程和二元一次方程组的联系；能运用相关知识解决字母系数问题。
【学习重点】不等式、方程的综合应用
【学习难点】根据方程或方程组的解立出不等式解决问题。
【自学互助】
1、解二元一次方程组有哪些方法？ 、
2、解不等式的步骤大致为：去分母、 、移项合并、 .
3、解下列不等式：
（1）2x＋2≤3x＋3 （2）

我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】
1、求不等式 的负整数解。

小组交流总结：求不等式的“正整数解”,“负整数解”“非负整数解”“非正整数解”，
“整数解”等叫做不等式的“特殊解”。首先应求出不等式的 ，
然后在解集里找出符合题意的“特殊解”。
2、已知关于的方程=的解是负数，求字母的取值范围.
分析：（1）“关于x的方程”是什么意思？
（2）能否求出方程的解x（（字母a当作常数进行运算）
（3）方程的解是负数用不等式怎么表示？
解：

归纳：一元一次方程和不等式的综合，一般先求出方程的解（是含字母的代数式），
再根据题中解的条件限制列出不等式，求出字母的范围。
3、已知关于x,y的方程组，当为何值时，？
解：

【检测互评】
1、的正整数解为 ；
2、不等式的非负整数解为 .
3、若关于x的方程的解是正数，求k的取值范围。
4、在关于x,y的方程组中，若满足x+y＞0，求m的取值范围．

【总结提升】
方程、方程组和不等式，它们都是我们解决实际问题时常用的数学模型，它们既是独立的，又是有联系的。

8.2.3 一元一次不等式的应用（1）
【学习目标】 1、类比列方程解应用题，运用一元一次不等式解决实际问题；
2、体会探索问题的过程，建立数学模型，感知数学的应用价值；
【学习重点】 运用一元一次不等式解决实际问题；
【学习难点】 正确找出题意中的不等关系。
【自学互助】
1、在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题， 答对得10分，答错或不答扣5分，某同学得分80分者，他答对了几道题？
思考：找出题中的相等关系
解：设答对了x道题，依据题意列方程，得，
解之得：x=
经检验， 。
答： 。
解方程的步骤可归纳为：
（ ）——（ ）——（ ）——（ ）——（ )——( )
2、 问题1：在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者通过预选赛. 要通过预选赛，至少应答对几道题？
分析：（1）准备用什么知识来解决这个问题？
（2）仔细审题，你能找出题中的“不等关系”吗？
（3）该怎样设未知数？
（4）不等关系中的量该怎样用含有未知数的代数式表示？
解：设 ，根据题意可得不等式：

解这个不等式，得：
答：
将上题中在“总得分不少于80分者通过预选赛”改为“总得分高于80分者通过预选赛”，其他条件不变，至少答对几道题，才能通过预选赛？小组交流解决。
解：设 ，根据题意可得不等式：

解这个不等式，得：
因为
答：
小组交流。归纳小结

我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】用一元一次方程和一元一次不等式解决实际问题有何异同？
列一元一次不等式解决实际问题的一般步骤是：
（1）弄清题意，关键是找出不等关系；（弄清题意时注意关键词“恰好”，“不少于”，“不多于”，“不超过”等对不等式的提示作用。）
（2）设适当的未知数，表示出相关数量的式子
（3）列不等式
（4）解不等式并检验是否符合题意（一般是不等式的整数解）
（5）根据实际情况写出答案。
问题2 、现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排甲，乙两种车10辆，甲种运输车至少应安排多少辆？

【检测互评】
1．当 时，的值不小于的值。
2.亮亮准备用自己节省的零花钱买一台英语复读机，他现在已存有45元，计划从现在起以后每个月节省30元，直到他至少有300元．设x个月后他至少有300元，则可以用于计算所需要的月数x的不等式是（　　）
A、30x－45≥300 B、30x＋45≥300 C、30x－45≤300 D、30x＋45≤300
3. 已知一个两位数，个位数字为，十位数字比个位数字大3，并且这个两位数不小于74，则应满足的不等式是 。
4 某高速公路工地需要实施爆破，操作人员点燃导火线后，要在炸药爆炸前跑到400米以外的安全区域。已知导火线的燃烧速度是1.2厘米/秒，人跑步的速度是5米/秒。问导火线必须超过多少米，才能保证操作人员的安全？

【总结提升】

8.2.3 一元一次不等式的应用（2）

【学习目标】 1.能够根据具体问题中的数量关系，列一元一次不等式组解决实际问题。
2.能解决实际问题中的“选择性”和“方案”问题
3.通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
【学习重点】运用一元一次不等式解决实际问题；
【学习难点】正确找出题意中的不等关系。
【自学互助】
1、旺旺准备用21元购买火腿肠和方便面。已知火腿肠每根2元，每桶方便面3元，她买了火腿肠和方便面共10样，请你帮她算一算，她最多能买几桶方便面？
分析:(1).据题意恰当地设置未知数：设 __________________________
(2).用代数式表示各过程量:
每根火腿肠_________元，买火腿肠花去______ 元. ,买方便面花去了_____ 元,
钱用在了买_________和_________上. 其数学表达式 _________ . 。
(3).找不等关系，据题意她买火腿肠和方便面的总价要求不超过 __ 元。
(4).列出不等式:_____________________.
我们需要具体结果,就要解这个等式.怎样解?对照解一元一次方程,得解一元一次不等式的步骤:去分母; ;　　 ,合并同类项,系数化为1.但要注意在不等式两边都乘以（或除以）同一个负数时，不等号方向必须　　　.
列一元一次不等式解应用题的步骤可概括为：
①审题；② ；③ ；④ ；⑤验证；⑥作答.
2、 问题1：某校餐厅计划购买12张餐桌和一批餐椅，从甲、乙两商场了解到同一餐桌每张均为200元，餐椅报价每把均为50元。甲商场称：每购买一张餐桌赠餐椅；乙商场称：所有的餐桌、餐椅均按报价的八五折销售。
（1）设购买的餐椅数量为x把，到甲，乙两商场购买所需的费用分别y甲，y乙，用含有x的代数式表示y甲，和y乙，
（2）如果购买的餐椅数量是20把，应该到哪家商场更优惠？
如果购买的餐椅数量是40把，应该到哪家商场更优惠？
（3） 当购买的餐椅数量满足什么条件时，到甲商场更优惠？
当购买的餐椅数量满足什么条件时，到乙商场更优惠？

我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】问题2
某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞，现有甲、乙两种机器供选择，甲种机器每台7万元，乙种机器每台5万元。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过34万元。按该公司要求，可以有几种购买方案？

【检测互评】
1、有3人携带会议材料乘坐电梯，这3人的体重共210kg，每捆材料重20kg，电梯最大负荷为1050kg,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载多少捆材料。

2、某电信公司对电话交费采取两种方式，一种是每月缴纳月租费15元，每通话1分钟收0.20元；另一种是不缴月租费，但每通话1分钟收话费0.30元。请问，用哪种缴费方式比较合适？

【总结提升】

8.3 一元一次不等式组（1）
【学习目标】
1．理解一元一次不等式组及其解集的含义。
2．掌握一元一次不等式组的解法，会利用一元一次不等式解集的数轴表示、求不等式组解集。
3．通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
【学习重点】一元一次不等式组的概念和它的解法。
【学习难点】一元一次不等式组的解集。
【学法指导】
1.课前充分预习教材，用红笔标记重点、难点与疑点。
2.用25分钟独立完成导学案“自学互助”，提前进行讨论研究，准备好课堂交流。
【自学互助】
1．类似于方程组，我们把关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个 。一元一次不等式组中各个不等式解集的 叫做这个不等式组的解集。不等式组的解集可以利用数轴直观表示出来。求不等式组的解集的过程叫做 。
2．利用数轴确定下列不等式组的解集。
的解集为 ； 的解集为 ；
的解集为 ； 的解集为 。
3．解一元一次不等式组的步骤：（1）首先求出每个不等式的解集；（2）利用数轴找出解集；（3）写出不等式组的解集
例：解不等式组

我的疑问：
【展示互导】
【质疑互究】求下面不等式组的整数解

【检测互评】
1．不等式组，的解集 。不等式组，的解集是 。
2．不等式组，的解集是（ ）

3．满足的整数解为 。
4．“不小于4且不大于7”用不等式表示为（ ）

5．解下列不等式组，并把它的解集表示在数轴上。
（1）； （2）；

【总结提升】

8.3 一元一次不等式组（2）
【学习目标】1．进一步掌握一元一次不等式组的解法。
2．能够根据具体问题中的数量关系，列一元一次不等式组解决实际问题。
3．通过学生之间的交流活动，培养主动与他人合作交流的意识。
【学习重点】一元一次不等式组的应用。
【学习难点】审题，从实际问题中如何列出不等式组。
【学法指导】
1.课前充分预习教材，用红笔标记重点、难点与疑点。
2.用25分钟独立完成导学案“自学互助”，提前进行讨论研究，准备好课堂交流。
一、自主学习
对于具有多种不等关系的问题，可通过