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含有定积分的不等式的几种典型证法
徐娟娟
（天水师范学院数学系 甘肃 天水 741000）
摘要:本文阐述并总结了定积分不等式的几种证明方法.
关键词:定积分;拉格朗日公式;莱布尼茨公式;泰勒公式.
0引言
高等数学中定积分不等式的证明,难度比较大,涉及的知识面广,技巧性比较强,但又十分的重要.因而它是学习高等数学的重点和难点.本文结合例题总结了定积分不等式证明的几种方法,加深对定积分不等式证明的理解.
1利用定积分的性质及其换元法
例题1.1 设函数 在区间 上连续且单调递减,证明：当 时, .
证明 当 或 时,不等式显然成立.
令 , , 则 .
又因为 ,
当 时, ,由题设可知 ,根据定积分性质可得
,
即 .原题得证.
利用定积分的定义,把 代换成 ,再取极限.已知被积函数仅具有连续的条件.
例题2 已知 在 上连续,对任意的 都有 .证明: .
证明 因为 所以

2 构造辅助函数法
当已知被积函数连续,并未告知可导时,此法比较简单.
证明思路: 1）将积分上限（或下限）换成 ,式中相应字母亦换成 , 移项使一端为 ,
另一端作为辅助函数 .
2）由 单调性得证.
例题 设函数 在区间 上连续且单调递减,证明:当 时, .
证明: 构造辅助函数

则有 .
因为 ,所以 ,又 单调递减,所以 .于是 .即 单调递增,故 ,即 .原题得证.
例题 设 在 上连续且严格增,证明 .
因为

又 在 连续,故 在 上严格递减,而 ,故 即( ) .
3 拉格朗日公式法
该方法一般适用于被积函数 一阶可导且 或 的情形.
思路1）用 ;
2）用定积分的性质对不等式适当放缩.
例题 设 在 上有一阶连续导数,且 ,证明