不等式、不等式组及其应用.doc

学科教师辅导讲义
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课 题
不等式、不等式组及其应用
授课日期及时段
2015年月日 授课时间 ：
教学目标
1、会解不等式及不等式组，用数轴确定解集
2、会解不等式组应用题
重点、难点
不等式组应用题
教 学 内 容
一、 疑难讲解

二、 知识点梳理
1、知识脉络
实际问题
不等
式
一元一次不等式
一元一次不等式组
不等式的性质
不等式（组）的应用

2、基础知识
考点1：不等式的有关概念
(1)用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.
(2)使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.
(3)不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.
(4)求不等式的解集的过程,叫做解不等式.
考点2：不等式的基本性质
(1)不等式的性质1
不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.
如果>,那么+>+,->-.
(2)不等式的性质2
不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.
如果>,并且>0,那么>.
(3)不等式的性质3
不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
如果>,并且<0,那么<.
考点3：一元一次不等式
(1)只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的最高次数是1,像这样的不等式叫做一元一次不等式.
(2)解一元一次不等式及解一元一次方程相类似,基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.特别要注意当系数化为1时,不等式两边同乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向必须改变.
(3)一元一次不等式的解集在数轴上直观表示如下图:

<
≥
>
≤

考点4：一元一次不等式组
(1)几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组.
(2)解一元一次不等式组一般先求出不等式组中各个不等式的解集,再利用数轴求出它们的公共部分.
(3)由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下:
若,则
①的解集是，如下图： ②的解集是，如下图：

③的解集是，如下图： ④无解，如下图：

不等式组：求解集口诀：同大取大，同小取小，交叉中间，分开两边

考点5：不等式(组)的应用
解不等式的应用问题关键是建立不等式模型会根据题中的不等量关系建立不等式(组),解决实际应用问题.具体可以参见“三、方程(组)及其应用”中列方程(组)解应用题的一般步骤.
考点6：掌握表示不等关系的记号

掌握有关概念的含义，并能翻译成式子．
(1)和、差、积、商、幂、倍、分等运算．
(2)“至少”、“最多”、“不超过”、“不少于”等词语．
三、典型例题
例1.解下列不等式(组),并把解集在数轴上表示出来.
(1) ≥
(2) ≤①
②
答案：
解：(1) 去分母,得 ≥
整理,得 ≥
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
∴≤
解集在数轴上表示为:

(2) 由①得 ≤
整理得 ≤
∴≤
由②得
整理得
∴
4
3
-4
-3
-2
-1
0
1
2
解集在数轴上表示为:

∴ 不等式组的解集为≤

例2.已知关于、的方程组的解是负数,求的取值范围.
【分析】先由方程组求出方程组的解(用含的代数式表示),再由方程组的解为负数列出不等式组,求的取值范围.
【解】解方程组 得
∵方程组的解是负数，
∴ 即
∴
∴
【说明】本题主要考查学生解方程组和分步解决问题的能力.当方程或不等式中含有字母时，一般是先将字母看作已知数进行计算.

例3.现计划把甲种货物1240t和乙种货物880t用一列货车运往基地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节，使用A型车厢每节费用为6000元，使用B型车厢每节费用为8000元.
(1)设运送这批货物的总费用为万元,这列货车挂A型车厢节,试写出及之间的函数关系式.
(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35t和乙种货物15t,每节B型车厢最多可装甲种货物25t和乙种货物35t,装货时按此要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有几种方案?
(3)在(2)的方案中,哪种方案费用最省?并求出最省费用.
【分析】题(1)中总费用应该是A型车厢的费用和B型车厢的费用的总和.
题(2)的要求是A型车厢的甲种货物最大装载量及B型车厢的甲种货物最大装载量的和不少于1240吨；A型车厢的乙种货物最大装载量及B型车厢的乙种货物最大装载量的和不少于880吨.
【解】 (1) ∵ 用A型车厢节,则B型车厢为(40-)节,得

(2) 依题意,得 ≥
≥
解之,得 ≤≤
∵取整数， ∴或或.
∴ 共有三种方案:
① 24节A型车厢和16节B型车厢;
② 25节A型车厢和15节B型车厢
③ 26节A型车厢和14节B型车厢.
(3) 当时,万元;
当时,万元;
当时,万元;
故安排方案③,即A型车厢26节,B型车厢14节最省,最省费用为26.8万元.

例4. 某市大蒜在国内、国际市场享有盛誉.某运输公司计划用10辆汽车将甲、乙、丙三种规格大蒜共100t运输到外地.按规定每辆车只能装同一种大蒜,且必须满载,每种大蒜不少于一车.
(1)设用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜,根据下表提供的信息,求及之间的函数关系式,并求自变量的取值范围.
(2)设此次运输公司的利润为M(单位:百元),求M及的函数关系式及最大运输利润,并安排此时相应的车辆分配方案.
大蒜规格
甲
乙
丙
每辆汽车的满载量/t
8
10
11
运输每吨大蒜获利/百元
2.2
2.1
2
【解】(1)∵用辆车装运甲种大蒜,用辆车装运乙种大蒜，
∴装运丙种大蒜的车辆为(10――)辆.
根据题意，得 ――＝100，
化简，得 ＝－＋10.
∵每种大蒜不少于一车，
∴≥1，
≥1. 解之得 ≤≤.
(2) 根据题意，得 M＝＋＋――
＝＋－－－
＝－
∵－
∴M随的增大而减小.
又∵≤≤
∴当＝时M有最大值.
∴M最大＝－＝（百元）
车辆分配方案为：用1辆车装运甲种大蒜, 用7辆车装运乙种大蒜, 用2辆车装运丙种大蒜.
四、课堂练习
1、用不等式表示：

(2)8及y的2倍的和是正数；

(3)x及5的和不小于0；

(5)x的4倍大于x的3倍及7的差；

（7）a为非负数，a为正数，a不是正数

2、不等式组的解集应为（　　　）
　　A、　　B、　　　C、　D、或≥1
答案：C

3、求不等式组2≤3x－7<8的整数解。
答案：3≤x＜5
3、4

4、下面方程或不等式的解法对不对？
由－x＝5，得x＝－5；（ ）
由－x>5，得x>－5；（ ）

由2x>4，得x<－2；（ ）
由－≤3，得x≥－6。（ ）

5、判断下列不等式的变形是否正确：
由ay，且m0，得－<；（ ）
由x>y，得xz2> yz2；（ ）
由xz2> yz2，得x>y；（ ）

6、把一堆苹果分给几个孩子，如果每人分3个，那么多8个；如果前面每人分5个，那么最后一人得到的苹果不足3个，问有几个孩子？有多少个苹果？
答案：
解：设有x个孩，依题意：3x+8 - 5（x-1）＜3 解得5＜x≤6.5
X=6 26个苹果

五、课后作业
1、下列各数中，为不等式组的解的是(　　)
A．－1 B．0 C．2 D．4

2、若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图6－1所示，则下列不等式成立的是(　　)

图6－1
A．ac＞bc B．ab＞cb
C．a＋c＞b＋c D．a＋b＞c＋b

3．[2013·淮安] 解不等式：x＋1≥＋2，并把解集在数轴上表示出来．
答案：
解：x＋1≥＋2，
2(x＋1)≥x＋4，
2x＋2≥x＋4，
x≥2.
解集在数轴上表示如图所示．

4、 不等式2x＞－6的解集在数轴上表示正确的是(　　)

5、[2014·滨州] 若a，b都是实数，且a＜b，则下列不等式的变形正确的是(　　)
A．a＋x＞b＋x
B．－a＋1＜－b＋1
C．3a＜3b
D. >

6、求不等式≤＋1的非负整数解．
答案：
解：≤＋1，
5(2x＋1)≤3(3x－2)＋15，
10x＋5≤9x－6＋15，
x≤4.
所以不等式的非负整数解为0，1，2，3，4.

7、 [2014·丽水] 解一元一次不等式组并将解集在数轴上表示出来．
答案：
解：
由3x＋2>x，得x>－1.
由x≤2，得x≤4.
在数轴上表示如下．

所以原不等式组的解集是－1＜x≤4

8、学校举行奥数选拔赛，出线分数是66分．试卷上共有20道题，做对一题得5分，做错一题倒扣2分，不做得0分．王明有4道题未做，问王明至少要答对多少道题才有出线资格？
答案：
解：设王明做对了x道题，
则做错了20－4－x＝(16－x)道题，
由题意，得5x－2×(16－x)≥66，
解得x≥14.
答：王明至少要答对14道题才有出线资格．

9、 [2014·菏泽] 解不等式组并判断x＝是否为该不等式组的解．
答案：
解：
由x＋3>0，得x>－3.
由2(x－1)＋3≥3x，得x≤1.
∴原不等式组的解集是－3＜x≤1.
∵＞1，
∴x＝不是该不等式组的解．

10、 [2013·天津] 甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费．设小红在同一商场累计购物x元，其中x＞100.
(1)根据题意，填写下表(单位：元)：
累计购物实际花费
130
290
…
x
在甲商场
127

…

在乙商场
126

…

(2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？

(3)当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？
解：(1)在甲商场：
100＋(290－100)×0.9＝271，
100＋(x－100)×0.9＝0.9x＋10；
在乙商场：
50＋(290－50)×0.95＝278，
50＋(x－50)×0.95＝0.95x＋2.5.
(2)根据题意，得
0．9x＋10＝0.95x＋2.5，
解得x＝150，
∴当x＝150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同．
(3)由0.9x＋10＜0.95x＋2.5，
解得x＞150；
由0.9x＋10＝0.95x＋2.5，
解得x＝150；
由0.9x＋10＞0.95x＋2.5，
解得x＜150.
∴当小红累计购物超过150元时，在甲商场的实际花费少；当小红累计购物等于150元时，在甲、乙两商场的实际花费一样；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场的实际花费少．

11、我国东南沿海某地的风力资源丰富,一年内日平均风速不小于3m/s的时间共约160天,其中日平均风速不小于6m/s的时间约占60天.为了充分利用风能这种“绿色能源”,该地拟建一个小型风力发电场,决定选用A、B两种型号的风力发电机.根据产品说明,这两种风力发电机在各种风速下的日发电量(即一天的发电量)如下表:
日平均风速

日发电量
A型发电机
0
≥36
≥150
B型发电机
0
≥24
≥90
根据上面的数据回答：
(1)若这个发电场购台A型风力发电机，则预计这些A型风力发电机一年的发电总量至少为；
(2)已知A型风力发电机每台0.3万元,B型风力发电机每台0.2万元.该发电场拟购置风力发电机共10台,希望购置的费用不超过2.6万元,而建成的风力发电场每年的发电总量不少于102000,请你提供符合条件的购机方案.
【分析】 审题的关键在于将文字及表格中的符号对应起来,如一台A型发电机一年有60d的日发电量≥150,有100d的日发电量≥36,则可求出一台A型发电机的年发电量(最小值).
【解】(1)12600
(2)设购A型发电机台，则购B型发电机－台.
根据题意，得
≤
≥
解之得：≤≤
∴可购A型发电机5台，则购B型发电机5台；或购A型发电机6台，则购B型发电机4台.

六、 课后评语：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况：
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教师签字：___________
3、 家长对学科老师的意见和建议：
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家长签字：___________

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