各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例.doc

目 录

摘要 1
关键词 1
Abstract 1
Key words 1
前言 1
1. 预备知识 1
2. Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广 2
2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式 2
2.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广 4
2.3 Holder积分不等式 5
2.4 Minkowski积分不等式 9
3. 实例应用 10
3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例 10
3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用 12
3.3 Holder积分不等式的应用 12
3.4 运用Minkowski积分不得不等式证明范数 13
4. 结束语 13
参考文献 14

各种Schwarz积分不等式的归纳及其应用举例
学生姓名：林燕妮 学号：
20065030242
数学与信息科学学院 数学与应用数学
指导老师：蔡礼明 职称：副教授
摘 要：本文归纳和总结给出不同形式的Schwarz积分不等式，然后对其进行证明删除
，并举例说明它在一些实际问题中的应用.
关键词：Cauchy-Schwarz积分不等式；行列式；Holder积分不等式；Minkowski积分不等式

The examples of application and induction on some forms of Schwarz integration inequalities
Abstract：This paper will enumerate and then prove some forms of Schwarz integration inequality, thereby illustrate its implementation in practical problems.
Key words：Cauchy-Schwarz integral inequality; Determinant; Holder integral inequality; Minkowski integral inequality
前言
本文主要从三个方面归纳和总结了Schwarz积分不等式，首先我们给出了Schwarz积分不等式的一般形式、Schwarz积分不等式的形式推广和Schwarz积分不等式最出名的推广就是Holder积分不等式以及Minkowski积分不等式；其次运用理论来证明它的合理性；最后通过一些实例说明它在数学中，生活中的实际应用.
1. 预备知识
定理1.1 (Cauchy不等式) 已知为实数，则
. (1)
等式成立当且仅当,.
这是最常见的Cauchy不等式，其实当n=3可追朔至法国数学家J.L.Lagrange. Cauc- hy不等式可以推广至复数. 如何推广呢? 不等式只在实数时才有意义，对于复数自然的选择其长度. 对任意复数，其长度，因此对于(1)而言我们只须将平方的意义，更改为复数的模数的平方即可.
定理1.2 (Cauchy不等式) 已知为复数, 则
(2)
等式成立当且仅当,，为复数.
定理1.3 (Cauchy不等式) 已知,C,则
(3)
等式成立当且仅当,，C.如果、，则.
从Cauchy不等式的角度而言，无穷数列的平方和收敛，，是很自然而然出现的空间，在实变函数论或泛函分析中我们称之为空间. 这是维实数空间最自然的推广，它是一个Hilbert空间，最重要的应用就是量子力学.
在数学中尤其是分析学的思考过程通常是
有限和无穷级数积分 (4)
因此想当然Cauchy不等式是可以推广至积分.
2. Cauchy-Schwarz积分不等式及其推广
2.1 Cauchy-Schwarz积分不等式
定理2.1.1 (Cauchy-Schwarz积分不等式) 已知,均在上连续，则
. (5)
证明 （法一:定义法）在积分学中，积分几乎都是从无穷级数推得的，下面我们也从级数开始，设上有个点，依次为
，
它们把分成个小区间，=1,2,…,n. ，记. 这些分点构成对的一个分割.在每个小区间上任取一点，作以为高，为底的小矩形.
因为,均在上连续，则,均在上可积，有
，
两边求极限，，
，
则
.
(法二:判别式）开始这个不等式最常见的证明方法就是利用判别式.
因为
，
可视为的二次方程式，由于，而且,所以上式表示的是开口向上而且在轴上方的抛物线，由于和轴不相交，所以没有实数，因此判别式小于或等于0.
判别式，
整理得
.
(法三:半正定)注意到关于，的二次型

为非负二次型，从而系数行列式 =-，
即
，
从而定理2.2.1得证.
从实变函数论的角度而言，我们仅需要求、是平方可积分函数()则Cauchy-Schwarz积分不等式仍然成立. 其空间关系可对照前一式(4):
. (6)
22 Cauchy-Schwarz积分不等式形式上的推广
根据上面的Cauchy-Schwarz积分不等式
的证明方法三中我们可以看出这个不等式可以改写为以下行列式形式:
.
以这种形式给出的好处在于形式便于推广.
定理2.2.1 (Schwarz积分不等式形式推广) 设，，均在上可积，则有
. (7)
证明 注意到关于，，的二次型

为非负二次型，从而其系数行列式
，
从而定理2.2.1得证.
2.3 Holder积分不等式
定理2.3.1 (Holder不等式) 已知为任意复数，且，，，则
. (8)
证明 令
， ，
利用几何平均不等式①，得到
，
或
，
取有限和，得
，
因此可得
.
注 ①几何平均不等式 .
当时就是Cauchy-Schwarz不等式.Holder不等式对也成立.另外最著名的就是积分不等式.
定理2.3.2 (上的Holder积分不等式) 已知，，，且，则
. (9)
或更一般的形式
定理2.3.3 (上的Holder积分不等式) 已知，，…，，且…+=1， 则 . (10)
证明 (定理2.3.2) 设，，则当或时，上式(10)显然成立.令
， ()
则由Holder不等式(9)可知
，
上式两边同时乘以，有
，
上式右端==
=，
于是可转化为 ，
而，故，将代入，
得 ，
即
，
对上式两端取极限，当时，，得
，
化简上式，即得
，
又由 ，
故
，
从而定理2.3.2得证.
定理2.3.4 (上的Holder积分不等式) 设，,，，那么在上可积，并且成立
. (11)
证明 首先证明当，时，对任何正数及，有.(12)
事实上，作辅助函数 ，，则 ，所以在上，在上，因而是函数在上的最大值，即 ，.
由此可得，.
令 ，代入上面不等式，那么 .
两边乘以，得到 .
令，则 ，于是上式成为 .
如果或，则于 或 于，这时不等式(11)自然成立，所以不妨设，.
作函数 ， .
令 ， ，代入不等式(12)，得到
. (13)
由(13)立即可知在上可积，由此可知也可积，对(13)的两边积分，得到 .
因此，
证毕.
2.4 Minkowski积分不等式
定理2.4.1 (上的Minkowski积分不等式) 设，, ，那么，并且成立不等式
. (14)
证明 当时，因，由积分性质可知不等式(14)自然成立.如果，因为，所以，
由Holder积分不等式，有
，
类似对也有
，
因而

(15)
若，则，(14)式显然成立，
若，则在(15)式两边除以，

得到 .
由，得到
，
证毕.
无论是Holder积分不等式，还是Minkowski积分不等式，当时，就是Cauc- hy- Schwarz积分不等式.上面我们从空间和空间上说明Holder积分不等式和Min- kowski积分不等式，对于空间也有类似的Holder积分不等式和Minkowski积分不等式，
， (Holder积分不等式)
其中，，，.
， (Minkowski积分不等式)
其中，，，，.由此可知按范数成赋范线性空间.
3. 实例应用改为 举例

3.1 Cauchy-Schwarz积分不等式的实例
例1. 设在上连续，且，. 证明:，有
.
证明 因为在上连续，则在上可积，有
，
，
因为Cauchy-Schwarz积分不等式，有
，
从而
，
同理 ，
.
例2. 设在上连续可导，,证明: .
等号成立(为常数).
证明 设，，，
因为
，
，
当时，左边=，右边=，
则左边=右边.
由Schwarz积分不等式，，
或，.
3.2 Cauchy-Schwarz积分不等式形式推广的运用
例3. 设，均在上可积且满足:
1) ，
2) ，
则有:
.
证明 利用(7)，取，并注意到，则
，
由此得到:
，
注意到定理中的条件1): ,于是
，
从而
.
3.3 Holder积分不等式的应用
例4. 设，为区间上的可积函数，，则:
.
证明 把区间分成等分，每个小区间长为，在每个小区间上取一点，则有

因为，可积
所以上式两端取极限，由极限保号性和黎曼积分定义有

结论得证.
3.4 运用Minkowski积分不等式证明范数
例5.当时，证明按定义中的范数成为赋范线性空间.
证明 由 ，且等价于，

，其中为任意实(复)数.
又由 Minkowski积分不等式，当时，对任何，有

，
所以按成为赋范线性空间.
4. 结束语
本文主要给出了归纳和总结了
各种类型的Schwarz积分不等式，首先我们给出了的最基本Schwarz积分不等式的最基本，也就是最常见的Schwarz积分不等式；其次将Schwarz积分不等式进行一般形式推广；然后给出Schwarz积分不等式最出名的推广Holder积分不等式；最后给出Minkowski积分不等式.每一种Schwarz积分不等式都给出了证明并加于一些实例说明积分不等式都给出了相应的新的证明方法并给出一些实例加以说明.
参考文献:
【1】 华东师范大学数学系编，数学分析 上册(第三版)[M].高等教育出版社，2001.6.
【2】 匡继昌，常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989.
【3】 林琦焜，Cauchy-Schwarz不等式之本质和意义[J].数学传播，1995，24(1)，：p26-42.，1995.
【4】 张小平, 解析不等式[M].北京:科学出版社，1987.
【5】 程其襄 魏国强等编，实变函数与泛函分析基础(第二版)[M].高等教育出版社，2003.7.
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