含绝对值不等式的解法(含答案).doc

含绝对值的不等式的解法

一、 基本解法与思想
解含绝对值的不等式的基本思想是等价转化，即采用正确的方法去掉绝对值符号转化为不含绝对值的不等式来解，常用的方法有公式法、定义法、平方法。
（一）、公式法：即利用与的解集求解。
主要知识：
1、绝对值的几何意义：是指数轴上点到原点的距离；是指数轴上，两点间的距离.。
2、与型的不等式的解法。
当时，不等式的解集是
不等式的解集是;
当时，不等式的解集是
不等式的解集是;
3．与型的不等式的解法。
把 看作一个整体时，可化为与型的不等式来求解。
当时，不等式的解集是
不等式的解集是;
当时不等式的解集是
不等式的解集是;
例1 解不等式
分析:这类题可直接利用上面的公式求解，这种解法还运用了整体思想，如把“”
看着一个整体。答案为。(解略)
（二）、定义法:即利用去掉绝对值再解。
例2。解不等式。
分析:由绝对值的意义知，a≥0，a≤0。
解:原不等式等价于＜0x(x+2)＜0-2＜x＜0。

（三）、平方法:解型不等式。
例3、解不等式。
解:原不等式
(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0(3x-4)(x-2)<0 。
说明:求解中以平方后移项再用平方差公式分解因式为宜。
二、分类讨论法：即通过合理分类去绝对值后再求解。
例4 解不等式。
分析:由，，得和。和把实数集合分成三个区间，即，，，按这三个区间可去绝对值，故可按这三个区间讨论。
解:当x＜-2时，得， 解得：
当-2≤x≤1时，得， 解得：
当时，得 解得：
综上，原不等式的解集为。
说明:(1)原不等式的解集应为各种情况的并集;
(2)这种解法又叫“零点分区间法”，即通过令每一个绝对值为零求得零点，求解应注意边界值。
三、几何法：即转化为几何知识求解。
例5 对任何实数，若不等式恒成立，则实数k的取值范围为 ( )
(A)k<3 (B)k<-3 (C)k≤3 (D) k≤-3
分析:设，则原式对任意实数x恒成立的充要条件是，于是题转化为求的最小值。

解:、的几何意义分别为数轴上点x到-1和2的距离-的几何意义为数轴上点x到-1与2的距离之差，如图可得其最小值为-3，故选（B）。

四、典型题型
1、解关于的不等式
解：原不等式等价于，
即
∴ 原不等式的解集为
2、解关于的不等式
解：原不等式等价于
3、解关于的不等式
解：原不等式可化为
∴
即
解得：
∴ 原不等式的解集为
4、解关于的不等式
解：⑴ 当时，即，因，故原不等式的解集是空集。
⑵ 当时，即，原不等式等价于
解得：
综上，当时，原不等式解集为空集;当时，不等式解集为

5、解关于的不等式
解：当时，得，无解
当，得，解得：
当时，得，解得：
综上所述，原不等式的解集为，
6、解关于的不等式
（答案：）
解：

五、巩固练习
1、设函数＝ ;若，则的取值范围是 .
2、已知，若关于的方程有实根，则的取值范围
是 ．
3、不等式的实数解为 ．
4、解下列不等式
⑴ ； ⑵ ； ⑶ ； ⑷ ； ⑸ ； ⑹ （）
5、若不等式的解集为，则实数等于 （ ）

6、若，则的解集是（ ）
且 且
7、对任意实数，恒成立，则的取值范围是 ；
对任意实数，恒成立，则的取值范围是 ；
若关于的不等式的解集不是空集，则的取值范围是 ；
8、不等式的解集为（ ）

9、解不等式：
10、方程的解集为 ，不等式的解集是 ；
12、不等式的解集是（ ）

11、不等式的解集是

12、 已知不等式的解集为，求的值
13、解关于的不等式：①解关于的不等式；②
14、不等式的解集为（ ）.

15、 设集合，，则等于 ( )

16、不等式的解集是 ．
17、设全集，解关于的不等式：

（参考答案）

1、 6 ； ； 2、
3、
4、⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸
⑹ 当时，；当时，不等式的解集为
5、C 6、D 7、⑴ ； ⑵ ； ⑶ ；
8、C 9、 10、；
11、D 12、 15
13、① 当时，；当时，；当时，
② 当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
14、D 15、B 16、，
17、当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；
当，即时，不等式的解集为；

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