1、基本不等式
1．函数y＝x＋(x＞0)的值域为( )．
A．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B．(0，＋∞)
C．[2，＋∞) D．(2，＋∞)
2．下列不等式：①a2＋1＞2a；②≤2；③x2＋≥1，其中正确的个数是
( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若a＞0，b＞0，且a＋2b－2＝0，则ab的最大值为( )．
A. B．1 C．2 D．4
4．(2011·重庆)若函数f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a处取最小值，则a＝( )．
A．1＋ B．1＋ C．3
2、 D．4
5．已知t＞0，则函数y＝的最小值为________．
利用基本不等式求最值
【例1】►(1)已知x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，则＋的最小值为________；
(2)当x＞0时，则f(x)＝的最大值为________．
【训练1】 (1)已知x＞1，则f(x)＝x＋的最小值为________．
(2)已知0＜x＜，则y＝2x－5x2的最大值为________．
(3)若x，y∈(0，＋∞)且2x＋8y－xy＝0，则x＋y的最小值为________．
利用基本不等式证明不等式
【例2】►已知a＞0，b＞0，c＞0，求证：＋＋≥a＋b＋c.
【训
3、练2】 已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.
求证：＋＋≥9.
利用基本不等式解决恒成立问题
【例3】►(2010·山东)若对任意x＞0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．
【训练3】 (2011·宿州模拟)已知x＞0，y＞0，xy＝x＋2y，若xy≥m－2恒成立，则实数m的最大值是________．
考向三 利用基本不等式解实际问题
【例3】►某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m．房屋正面的造价为400元/m2，房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合
4、计为5 800元，如果墙高为3 m，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？
(2010·四川)设a＞b＞0，则a2＋＋的最小值是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
双基自测
1.答案 C
2．解析 ①②不正确，③正确，x2＋＝(x2＋1)＋－1≥2－1＝1.答案 B
3．解析 ∵a＞0，b＞0，a＋2b＝2，∴a＋2b＝2≥2，即ab≤.答案 A
4．解析 当x＞2时，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2 ＋2＝4，当且仅当x－2＝(x＞2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得
5、最小值时，x＝3，即a＝3.答案 C
5．解析 ∵t＞0，∴y＝＝t＋－4≥2－4＝－2，当且仅当t＝1时取等号．答案 －2
【例1】解析 (1)∵x＞0，y＞0，且2x＋y＝1，
∴＋＝＋＝3＋＋≥3＋2.当且仅当＝时，取等号．
(2)∵x＞0，∴f(x)＝＝≤＝1，当且仅当x＝，即x＝1时取等号．答案 (1)3＋2 (2)1
【训练1】．解析 (1)∵x＞1，∴f(x)＝(x－1)＋＋1≥2＋1＝3 当且仅当x＝2时取等号．(2)y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，∵0＜x＜，∴5x＜2,2－5x＞0，∴5x(2－5x)≤2＝1，∴y≤，当且仅当5x＝2－
6、5x，
即x＝时，ymax＝.(3)由2x＋8y－xy＝0，得2x＋8y＝xy，∴＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝10＋＋＝10＋2≥10＋2×2× ＝18，
当且仅当＝，即x＝2y时取等号，又2x＋8y－xy＝0，∴x＝12，y＝6，
∴当x＝12，y＝6时，x＋y取最小值18.答案 (1)3 (2) (3)18
【例2】证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，∴＋≥2 ＝2c；＋≥2 ＝2b；＋≥2 ＝2a.以上三式相加得：2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
【训练2】 证明 ∵a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2
7、＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．
解析 若对任意x＞0，≤a恒成立，只需求得y＝的最大值即可，因为x＞0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时取等号，所以a的取值范围是答案
【训练3】解析 由x＞0，y＞0，xy＝x＋2y≥2 ，得xy≥8，于是由m－2≤xy恒成立，得m－2≤8，m≤10，故m的最大值为10.答案 10
【例3．解 由题意可得，造价y＝3(2x×150＋×400)＋5 800＝900＋5 800(0＜x≤5)，则y＝900＋5 800≥900×2＋5 800＝13 000(元)，
当且仅当x＝，即x＝4时取等号．故当侧面的长度为4米时，总造价最低．
【示例】．正解 ∵a＞0，b＞0，且a＋b＝1，
∴＋＝(a＋b)＝1＋2＋＋≥3＋2 ＝3＋2.
当且仅当即时，＋的最小值为3＋2.
【试一试】尝试解答] a2＋＋＝a2－ab＋ab＋＋＝a(a－b)＋＋ab＋≥2 ＋2 ＝2＋2＝4.当且仅当a(a－b)＝且ab＝，即a＝2b时，等号成立．答案 D
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