数列与不等式知识点及练习(唐).doc

数列与不等式
一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：
①②2()③(为常数).
二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：
①②(，)
(2) 在等差数列｛｝中,有关Sn 的最值问题：(1)当>0,d<0时，满足的项数m使得取最大值. （2）当<0,d>0时,满足的项数m使得取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
四.数列通项的常用方法：
（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①；②等差、等比数列公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①；②（4）造等差、等比数列求通项：；②；③；④.第一节通项公式常用方法题型1 利用公式法求通项
例1：1.已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。
2.已知为数列的前项和，求下列数列的通项公式： ⑴ ； ⑵.总结:任何一个数列，它的前项和与通项都存在关系：若适合，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.
题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项
例2：⑴已知数列中，，求数列的通项公式；
⑵已知为数列的前项和，，，求数列的通项公式.
总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“”； 迭乘法适用于求递推关系形如““；⑵迭加法、迭乘法公式：①
② .
题型3 构造等比数列求通项
例3已知数列中，，求数列的通项公式.
总结：递推关系形如“” 适用于待定系数法或特征根法：
①令；② 在中令，；③由得，.
例4已知数列中，，求数列的通项公式.
总结：递推关系形如“”通过适当变形可转化为：“”或“求解.
数列求和的常用方法
一 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：
2、 等比数列求和公式： 3. 4、 5.
二.裂项相消法:适用于其中{ }是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。 例2 求数列的前n项和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：
（1）（2）
（3）

三.错位相减法:可以求形如 的数列的和，其中 为等差数列， 为等比数列.
例1：求和： . 例2:数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．
小结：错位相减法类型题均为：连续相加。四.常用结论
1）1+2+3+...+n = 2） 1+3+5+...+(2n-1) = 3） 4） 5）
重要不等式
1、和积不等式：(当且仅当时取到“)．
【变形】：①（当a = b时，）
【注意】： ，
2、均值不等式：两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均”

*.若，则 (当且仅当时取“=”）;
若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
*.若，则 (当且仅当时取“=”）
若，则 (当且仅当时取“=”）
3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
（，）；

*不等式的变形在证明过程中或求最值时，有广泛应用，如：当时，同时除以ab得或。
*均为正数，
八种变式： ① ； ②； ③
④；⑤若b>0,则；⑥a>0,b>0,则；⑦若a>0,b>0,则； ⑧ 若，则。
上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。
放缩不等式：
①，则.
【说明】：（，糖水的浓度问题）.
【拓展】：.
②，，则；
③，；
④，.
⑤,
函数图象及性质
(1)函数图象如图：
(2)函数性质：
①值域：；
②单调递增区间：，；单调递减区间：，
最值定理
（积定和最小）
①，若积，则当时和有最小值；
（和定积最大）
②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：已知，则有.
（1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小.
（2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大.
③已知，若，则有则的最小值为：
④已知，若则和的最小值为：
② .
②
应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值.
⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值.
⑶调整分子：例3.求函数的值域；
⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视；
例4.求函数的最大值；
⑸连用公式：例5.已知，求的最小值；
⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值；
⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值；
⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知且，求的最小值
1、数列的一个通项公式是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知等比数列的公比为正数，且，则（ ）
A、 B、2 C、 D、
3、已知等差数列前项和为且已知则（ ）
A、17 B、18 C、19 D、20
4、已知，记，则M与N的大小关系（ ）
A、MN C、M=N D、不确定
5、若，则下列不等式：中正确的是（ ）
A、（1）（2） B、（2）（3） C、（1）（3） D、（3）（4）
6、不等式的解集是 （ ）
A、 B、 C、 D、
7、设是等差数列的前n项和，若（ ）
A、 B、 C、 D、
8、在三个结论：①，②
③其中正确的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
9、目标函数，变量满足，则有　　（ ）
A、 B、无最小值
C、无最大值 D、既无最大值，也无最小值
10、在R上定义运算若不等式对任意实数成立，则（ ）
A、 B、 C、 D、
二、填空题：（每小题5分，共25分）
11、等比数列公比已知,则的前4项和___________
12、 等比数列的前n项和，又，则公比___________
13、若,且，则的最大值为___________
14、实数x、y满足不等式组，则W=的取值范围是_____________　
15、关于的不等式的解集为
三、解答题：
16、 （本小题满分12分）等比数列中，已知，
（1）求数列的通项公式;（2）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前n项和.
17、 （本小题满分12分）已知数列的前项和
(1) 求数列的通项公式 ； (2) 求的最大或最小值.
18、 （本小题满分12分）已知向量，若·，
（1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和.
19、 （本小题满分12分）在数列中，
（1）设，证明：数列是等差数列;（2）求数列的前项和
20、 （本小题满分13分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．
（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？
（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以 46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？
21、 （本小题满分14分）已知数列满足：，，
(1) 求证：数列为等差数列； (2) 求数列的通项公式；
（3）令，求证：

B A B B C BADCC
二、填空题：（每小题5分，共25分）
11、 12、 13、 14、　[－1,1) 15、
三、解答题：
16、解：（1）设公比为，则-----------------------6分
（2）由（1）得则
-----------------------（12分）
17、解：（1）当n=1时，
当n³2时， 故
（2）由 ， 于是有最小值是-576，此时；无最大值。------------12分
18、(1) · ------------6分
(2) ------------12分
19、解：（1）由得
是等差数列-
-----------------------8分
（1）-（2） =
----------------------12分
20、解：（1）设第n年获取利润为y万元
n年共收入租金30n万元，付出装修费构成一个以1为首项，2为公差的等差数列，
共因此利润，令
解得： 所以从第4年开始获取纯利润．--------------------------------------6分
（2）方案一：年平均利润
（当且仅当，即n=9时取等号）
所以9年后共获利润：12=154（万元）
方案二：利润
所以15年后共获利润：144+ 10=154 （万元）
两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①．-------------------------13分
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