角平分线(第一课时)-.doc

课题：角平分线（第一课时）
【北师大版八年级下册 】
陈勇兴
教学内容分析
1. 课标要求
从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。 通过自主探索，合作交流把实际问题抽象为数学问题，并应用该定理来解决生活中的问题，培养学生解决问题的能力的同时体会数学来源于生活又服务与生活。
2. 教材分析
知识层面
本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。探究角平分线的性质与判定，对学生后期的三角形的全等起到很重要的作用，学生可以利用角平分线的性质和判定探索问题中的线段的数量关系与三角形全等的证明，实现承上启下的作用。
能力层面
在探索角平分线的性质定理及其逆定理的推导过程中，让学生通过观察、操作、猜想证明等数学活动，提高综合运用三角形的有关知识解决问题的能力，并初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用；在学习过程中发展几何直觉，培养数学推理能力，并促进语言表达能力。
学情分析：
刚进入八年级的学生观察、操作、猜想能力较强，独立性强，探索求知欲强，精力旺盛，但归纳、运用数学意识的思想比较薄弱，思维的广阔性、敏捷性、灵活性比较欠缺，通过师生互动增强学生对本节课的认识，在学习本节课时一部分学生对角平分线的性质和判定可能混淆老师要加以正确引导.本节课主要通过动手实践，摸索角平分线的性质与判定，再利用三角形全等的证明来求证角平分线的性质与判定，进而了解和掌握角平分线的性质与判定。通过师生互动增强学生对本节课的认识，在学习本节课时一部分学生对角平分线的性质和判定可能混淆,老师要加以正确引导。

教学目标
学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，并构造其命题，进一步讨论三角形三个内角平分线的性质．本节课的教学目标为：
1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理。
2．进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力。
3.经历探索，猜想，证明使学生掌握研究解决问题的方法。
教学难点：正确地表述角平分线性质定理的逆命题及其证明。
教学策略：动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力。

教学过程分析
一、情境引入
小明家居住在某小区一栋居民楼的一楼，刚好位于一条暖气和天然气管道所成角的平分线上的P点，要从P点建两条管道，分别与暖气管道和天然气管道相连。
问题1：怎样修建管道最短？
问题2：新修的两条管道长度有什么关系，画来看一看。
【设计意图】从学生的生活出发，激发学生的学习兴趣，培养学生运用数学知识，解决实际问题的意识，复习了点到直线的距离这一概念，为后续的学习作好知识上的储备。
二、探究新知
活动1：利用折纸的方法探索角平分线上的点的性质。
让学生用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕．
问题1：第一次的折痕和角有什么关系？为什么？
问题2：第二次折叠形成的两条折痕与角的两边有何关系，它们的长度有何关系？
【设计意图】培养学生的动手操作能力和观察能力，为下面进一步揭示角平分线的性质作好铺垫。
活动2：生活问题转化为数学问题,引导从建立抽象的几何模型：
请同学们自己尝试着证明上述结论，然后在全班进行交流。
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．
(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)
【设计意图】
通过预习，让初步了解所学内容，并独立解决力所能及的内容，养成自主学习的良好习惯。并通过推理验证让学生从合情推理中到演绎推理的过程，进一步借助三角形全等格式，发展演绎推理能力。
猜想：角平分是由无数个点组成的，其它点是否也会像点P一样到角两边OA、OB的距离相等呢？
【设计意图】渗透由“特殊”到“一般”的数学思想。
归纳：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB∴PD=PE．
【设计意图】让学生大胆展示自己的理解，学会用数学文字语言和符号语言叙述角平分线判定定理内容，提高学生解决问题的能力和自主学习能力。
分析：这个定理的题设、结论分别是什么？
【设计意图】经历猜想证明→归纳的过程，符合学生的认知规律，尤其是对于结论的验证，从而更利于学生的直观体验上升到理性思维。
活动3：你能写出这个定理的逆命题吗?
引导学生分析结论后完整地叙述出角平分线性质定理的逆命题：
在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上。
【设计意图】前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．通过讨论，加深对旧知识回忆，活跃课堂气氛，训练学生思维能力和语言表达能力。
猜想：它是真命题吗? 你能证明它吗?
探究： 由学生自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅。
P
C
根据命题抽象出图形，并写出已知、求证
已知：如图,PD⊥OA，PE⊥OB，
点D、E为垂足，PD＝PE。
求证：点P在∠AOB的平分线上。

【设计意图】让学生大胆展示自己的理解，学会用数学文字语言和符号语言叙述角平分线判定定理内容，提高学生解决问题的能力和自主学习能力,让学生在几何思维的证明中加深对角平分线性质定理的逆定理的掌握
思考：没有加“在角的内部”时，是真命题吗？
举出反例：角两边距离相等的点，但是这个点不在这个角的平分线上。

【设计意图】调动学生的主动参与意识，锻炼学生表达能力，也让学生感受数学语言的严谨性。
归纳：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．
（∵PD⊥OA，PE⊥OB，且PD＝PE．∴点P在∠AOB的平分线上．
【设计意图】通过引导学生自主归纳，让学生大胆展示自己的理解，学会用数学文字语言和符号语言叙述角平分线判定定理内容，提高学生解决问题的能力和自主学习能力。
三、成效评价
1、判断正误，并说明理由：
（1）如图1，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF。
（2）如图2，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF。
（3）如图3，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离边为3cm。
A
O
B
P
E
F
图2
图3
A
O
B
P
E
A
O
B
P
E
F
图1

【设计意图】从三个简单的判断题入手，让学生通过辨析来理解和巩固角平分线的性质定理．让学生进一步清楚角平分线性质定理的两个关键：两垂直，一平分。
2、判断正误，并说明理由：
1、如图1，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线   (   )
2、如图2，若QM =3,QN=3，则OQ 平分∠AOB  (   )
3、如图3,若QM⊥OQ于Q，QN⊥OQ于Q,QM=6,QN=6，则OQ平分∠AOB  (    )

【设计意图】从三个简单的判断题入手，让学生进一步清楚角平分线判定定理的两个关键：两垂直，一相等。

四、归纳小结

【设计意图】通过表格的完成，让学生进一步的知道角平分线的性质和判定的区别和联系。

五、课后反馈
1. 如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F。
求证：EB=FC．
变题1：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F 在AC上，且BD=DF，求证：CF=EB。
变题2：如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，BC=8，BD=5，求DE。
A
F
C
D
B
E
A
F
C
D
B
E

【设计意图】巩固角的平分线的性质的应用,让学生运用性质解决数学问题，通过利用多媒体对一些边进行变色，提醒学生直接运用定理，不要仍旧去找全等三角形．同时通过信息技术方便进行一题多解及一题多变研究，更好的拓展学生解题思路及形成知识运用能力．两道变题同时展示，符合高效课堂要求。
2.如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD. 求证：D在∠BAC的平分线上.

【设计意图】巩固角的平分线的判定的应用，培养学生分析问题、解决问题的能力。巩固本节所学。通过学生的主动参与，培养学生学习一种数学化的能力。
六．作业：优化设计
6