谓词逻辑.pptx

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 谓词逻辑Predicate Logic,前言,苏格拉底三段论(Socrates syllogism)：,全部人都是要死的。,苏格拉底是人。,因此苏格拉底是要死的。,（Socrates,古希腊哲学家,公元前470前399）,(孔子,中国伟大哲学家,公元前551前479),前言,在命题逻辑中，如果,设：P：凡人都是要死的；,Q：苏格拉底是人；,R：苏格拉底是要死的。,前提：P,Q，结论：R。,则(PQ)R表达上述推理，,这个命题公式不是重言式。,前言,在谓词逻辑中，如果,设：H(x)：x是人。,M(x)x是要死的。,a：苏格拉底。,前提：(,x)(H(x)M(x)，H(a),结论：M(a),(,x)(H(x)M(x)H(a),M(a),前言,主语 谓语,客（个）体 谓词,客体能够独立存在，它能够是具体的，也能够是抽象的。,而用来描述客体的性质或关系的即是谓词。,为了刻画命题内部的逻辑构造，就需要研究谓词逻辑（Predicate Logic）。,前言,例如：,P：张三是大学生,Q：李四是大学生,以上这些命题都含有有一种共同的特性就是：x是大学生。,P(x)就能够代表这一类的命题。,P(x)：x是大学生，a：张三，b：李四，,P(a)：张三是大学生,P(b)：李四是大学生,2-1 谓词的概念与表达,2-1.1 谓词的概念,定义1：谓词（predicate）,在命题中，用以刻画客体词的性质或客体词之间关系的词即是谓词，谓词相称于命题中的谓语部分。,例如：,他是三好学生,“他”是个体，“是三好学生”是表达个体性质的谓词,5不不大于3,“5”和“3”是个体，“不不大于”是表达个体之间关系的谓词,2-1.2 谓词的表达：,用大写英文字母 A,B,C,D,表达谓词，用小写字母表达客体。,前面的例子可表达为：,(1)A(x):x是三好学生，h:他，,A(h):他是三好学生,(2)G(x,y):x不不大于y，,G(5,3):5不不大于3,2-1.3如何运用谓词体现命题：,用谓词体现命题必须涉及谓词字母和客体两个部分。例如：,A(x)能够表达“x是A”类型的命题，体现了客体的性质，称为一元谓词。,B(x,y)能够表达“x不大于y”类型的命题，体现了客体之间的关系，称为二元谓词，。,L(x,y,z)能够表达“点x在y与z之间”类型的命题，体现了客体之间的关系，称为三元谓词。,用P(x1,x2,xn)表达n元谓词，在这里n个客体变元的次序不能随意改动。,2-2 命题函数与量词,2-2.1 命题函数,普通来说，当谓词P给定，x1,x2,xn是客体变元，P(x1,x2,xn)不是一种命题，由于他的真值无法拟定，要想使它成为命题，要用n个客体常项替代n个客体变元。P(x1,x2,xn)就是命题函数。,例如L(x,y)表达“x不大于y”，那么L(2,3)表达了一种真命题“2不大于3”。而 L(5,1)表达了一种假命题“5不大于1”,2-2.1 命题函数,定义1：简朴命题函数(simple propositional function)：,由一种谓词，某些客体变元构成的体现式称为简朴命题函数。例如：A(x)，B(x,y)，L(x,y,z),简朴命题函数不是命题，只有当变元x,y,z等取特定的客体才拟定了一种命题。,对于n元谓词，当n=0时，称为0元谓词，它本身就是一种命题，故命题是n元谓词的一种特殊状况。,2-2.1 命题函数,例如：L(x,y)表达“x不大于y”是二元谓词，L(x,3)表达“x不大于3”是一元谓词，L(2,3)表达“2不大于3”是0元谓词。,因此能够将命题当作n元谓词的一种特殊状况。,0元谓词都是命题，命题逻辑中的简朴命题都能够用0元谓词表达。,2-2.1 命题函数,定义2：复合命题函数（compound propositional function）：,由一种或n个简朴命题函数以及逻辑联结词组合而成的体现式。,命题逻辑中的联结词在谓词逻辑中含义完全相似。,举例阐明：P56例，例,2-2.1 命题函数,定义3：谓词填式,单独一种谓词不是完整的命题，把谓词字母后填以客体所得的式子称为谓词填式。,例如：P(x)表达x3，则P(1)、P(2)、P(5)分别表达1不不大于3，2不不大于3，5不不大于3，P(1)、P(2)、P(5)即是谓词填式。,2-2.1 命题函数,定义4：谓词体现式,简朴命题函数与逻辑联结词组合而成。,示例分析 P59(1)a),b),c),设W(x):x是工人，z:小张，则原命题表达为：W(z),设S(x):x是田径运动员，B(x):x是球类运动员，h:他，则原命题表达为：S(h)B(h),设C(x):x是聪颖的，B(x):x是美丽的，a:小莉，则原命题表达为：C(a)B(a),注意：命题函数不是一种命题，只有客体变元取特定客体时，才干成为一种命题。但是客体变元在哪些范畴取特定的值，对命题函数下列两方面有极大影响：,(1)命题函数与否能成为一种命题；,(2)命题的真值是真还是假。,2-2.1 命题函数,个体域(universe of discourse)：,在命题函数中，命题变元的叙述范畴称为个体域。,全总个体域：,个体域能够是有限的，也能够是无限的，把多个个体域综合在一起，作为叙述范畴的域，称为全总个体域。,2-2.2 量词,例题：符号化下列命题,全部人都要死去。,有的人的年纪超出百岁。,以上给出的命题，除了有个体词和谓词以外，尚有表达数量的词，称表达数量的词为量词。量词有两种：,全称量词(universal quantifier),存在量词(existential quantifier),2-2.2 量词,定义1全称量词(universal quantifier),用符号“”表达，“x”表达对个体域里的全部个体。(x)P(x)表达对个体域里的全部个体都有属性P。,体现“对全部的”，“每一种”，“对任一种”，“凡”，“一切”等词。,The universal quantifier,an upside-down A,is used to build compound propositions of the form(x)P(x),which we read as“for all x,P(x).”Other translations of are“for each,”“for every,”“for any.”The compound proposition(x)P(x)is assigned truth value as follows:,(x)P(x)is true if P(x)is true for every x in U;otherwise(x)P(x)is false.,2-2.2 量词,定义2存在量词(existential quantifier),用符号“”表达。x表达存在个体域里的个体。(x)P(x)表达存在个体域里的个体含有性质P。,符号“”称为存在量词，用以体现“某个”，“存在某些”，“最少有一种”，“对于某些”等词。,The existential quantifier,a backward E is used to form propositions like（x）P(x),which we read as“there exists an x such that P(x),”“there is an x such that P(x),”or“for some x,P(x).”The compound proposition（x）P(x)has these truth values:（x）P(x)is true if P(x)is true for at least one x in U;,（x）P(x)is false if P(x)is false for every x in U.,2-2.2 量词,唯一存在量词（unique quantifier）：,“正好存在一种”，用符号“!”表达。,2-2.2 量词,现在对以上两个命题进行符号化，在进行符号化之前必须拟定个体域。,第一种状况个体域D为人类集合。,设：F(x)：x是要死的。,G(x)：x活百岁以上。,则有(x)F(x),和 (x)G(x),这两个命题都是真命题,2-2.2 量词,第二种状况个体域D为全总个体域。,不能符号化为(x)F(x)和(x)G(x)，由于:,(x)F(x)表达宇宙间一切事物都要死的，这与原命题不符。,(x)G(x)表达宇宙间一切事物中存在百岁以上，这与原命题不符。,22.2 量词,因此必须引入一种新的谓词，将人分离出来。在全总个体域的状况下，以上两个命题叙述以下：,(1)对于全部个体而言，如果它是人，则它要死去。,(2)存在着个体，它是人并且活过百岁以上。,于是，再符号化时必须引入一种新的谓词 M(x)：x是人。,称这个谓词为特性谓词。,2-2.2 量词,定义：特性谓词,在讨论带有量词的命题函数时，必须拟定其个体域，为了方便，可使用全总个体域。限定客体变元变化范畴的谓词，称作特性谓词。,运用特性谓词，对以上两个命题进行符号化,(1)(x)(M(x)F(x),(2)(x)(M(x)G(x),使用量词时应注意的问题：,在讨论有量词的命题函数时如果事先没有给出个体域，那么都应以全总个体域为个体域。,对全称量词，特性谓词常做蕴含的前件。对存在量词，特性谓词常做合取项。,举例阐明：,例1“有人是要死的”.,解1：采用全体人作为个体域.,设:G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(x)G(x),解2：采用全总个体域.,设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(x)(M(x)G(x),例2,“凡人都是要死的”.,解1:,采用全体人作为个体域.,设:G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(,x)G(x),解2:,采用全总个体域.,设:M(x):x是人;G(x):x是要死的.,原命题符号化成:(,x)(M(x)G(x),例3:“存在最小的自然数”。,解1:采用全体自然数作为个体域.,设:G(x,y):xy;,原命题符号化成:(x)(y)G(x,y),注意量词次序:,(y)(x)G(x,y):“没有最小的自然数”.,解2:设:F(x):x是自然数;G(x,y):xy;,原命题符号化成:,(x)(F(x)(y)(F(y)G(x,y),例4:,“不存在最大的自然数”。,解:,设:F(x):x是自然数;G(x,y):x,y;,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(F(y),G(x,y),或:,(,x)(F(x),(,y)(F(y),G(x,y),例5:,“火车比汽车快”。,解:,设:F(x):x是火车;G(x):x是汽车H(x,y):x比y快,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(G(y),H(x,y),或:,(,x)(,y)(F(x),G(y),H(x,y),例6,:“有的汽车比火车快”。,解:,设:F(x):x是汽车;G(x):x是火车;,H(x,y):x比y快,原命题符号化成:,(,x)(F(x),(,y)(G(y),H(x,y),或:,(,x)(,y)(F(x),G(y),H(x,y),例7:“有些病人相信全部的医生”。,解:设:F(x):x是病人;G(x):x是医生;,H(x,y):x相信y,原命题符号化成:,(x)(F(x)(y)(G(y)H(x,y),例8:“存在唯一的对象满足性质P”。,解:设:P(x):x满足性质P,原命题符号化成:,(!x)P(x),或:,设:P(x):x满足性质P;,E(x,y):x和y是同一种个体,原命题符号化成:,(x)(P(x)(y)(P(y)E(x,y),2-3 谓词公式与翻译,书上已经给出谓词，命题函数，谓词体现式。在数理逻辑中需要对能够进行谓词演算的公式进行精确的定义。这样后来我们不再说谓词，命题函数，谓词体现式等,而只研究谓词公式。,2-3.1 谓词逻辑字母表：,个体常项:a,b,c,a,1,b,1,c,1,个体变项:x,y,z,x,1,y,1,z,1,函数符号:f,g,h,f,1,g,1,h,1,谓词符号:F,G,H,F,1,G,1,H,1,量词符号:,!,联结词符号:,括号与逗号:(,),，,2-3.2 谓词公式,定义：谓词公式（谓词演算的合式公式）用wff表达（well form formulation),（1）A(x1,x2,xn)称为原子谓词公式，原子谓词公式是谓词公式。,（2）若A是谓词公式，则(A)是一种谓词公式。,（3）若A和B都是谓词公式，则(AB)，(AB)，(AB)，(AB)和都是谓词公式。,（4）如果A是谓词公式，x是A中出现的任何变元，则(x)A，(x)A，和(!x)A都是谓词公式。,（5）只有通过有限次的应用规则(1)，(2)，(3)，(4)所得到的公式是谓词公式。,2-3.2 谓词公式,举例阐明：,下列都是谓词公式,x(F(x)y(G(y)H(x,y),F(f(a,a),b),2-3.3 翻译,见P61 例1,作业(2-1,2-2,2-3),P60(2)a),c),e),P62(3)b),c),