人口模型-专题.ppt

人口模型专题,1 Malthus,模型,2 Logistic,模型,3,人口发展方程,4,人口,发展方程,的离散模型,5,随机人口模型,Thomas Robert Malthus,（,1766-1834,）是美国的一名牧师。,1798,年提出,Malthus,人口模型，此模型对,17001961,年这段时期的人口应用十分的精准。,（指数增长模型）,在人口自然增长的过程中，经相对增长率（出生率和死亡率）是常数，即单位时间内人口增长量与人口成正比，比例系数为,r,。,1,、主要假设,Malthus,模型,2,、模型的建立,由荷兰生物数学家,Verhulst,于,1838,年提出,Logistic,模型（阻滞增长模型）,1,、主要假设,此模型修改了,Malthus,模型,r,为常数的假设，认为,r,应为,N,的函数。设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量为,N,m,，并设定净增长率：,当,N(t)Nm,时，,r(N),？,2,、模型的建立,由左式可知，可用,分离变量法,求解非线性微分方程，且,Logistic,模型就是一个,Bernoulli,方程的初值问题。,3,、模型求解,本模型在,1790-1930,年间较为符合实际，但是在,1940-1980,年间，却与实际的偏差较大。为什么？,1,、人口数已经超出了所设的,Nm,。,2,、大幅度的移民和战争等相关因素。,3,、,Nm,不易确定，随着生产力的发展，,Nm,的值不断增大。,前面的两种模型，都将总数看作是处于同等地位的成员组成。这简化了问题，但是严格来讲是不科学的，应该根据成员的年龄分组，并且将性别分别考虑。,人口发展方程,1,、主要假设,只考虑自然的出生死亡，不考虑迁移等社会因素的影响，考虑年龄结构。,2,、模型的建立,在时刻,t,，年龄小于,r,的人口数记作,F(r,t),，,t,和,r,均为连续变量。设,F,是连续可微函数，称为为,人口分布函数,。时刻,t,的人口总数为,N(t),。最高年龄记作,r,m,。于是对于非负非降函数,F(r,t),有：,将,p(r,t),定义为,年龄密度函数,。,p(r,t),非负且,p(,r,m,t)=0,记,p(r,t)dr,为时刻,t,年龄在区间,r,r+dr),内的人数。,记,(r,t),为时刻,t,年龄,r,的人的,死亡率,。其含义是：,(r,t)p(r,t)dr,表示时刻,t,年龄在,r,r+dr),内单位时间死亡的人数。,为了得到,p(r,t),满足的方程，考察时刻,t,年龄在,r,r+dr),内的人到时刻,t+dt,的情况。他们中活着的那一部分人的年龄变为,r+dr,1,r+dr+dr,1,),。这里,dr,1,=dt.,而在,dt,这段时间内死亡的人数为,(r,t)p(r,t)drdt,于是,也可写作,上式中，带入,dr,1,=dt,就可以得到：,得到人口发展模型,实际上，这是年龄密度函数,p(r,t),的一阶偏微分方程，其中死亡率,(r,t),为已知函数。,两个定解条件：,1,）初始密度函数记作,p(r,0)=p,0,(r),；,2,）单位时间内出生的婴儿数记作,p(0,t)=f(t),称为,婴儿出生率,。,这里,p,0,(r),可由人口调查资料得到，是已知函数；,f(t),则对预测和控制人口起着重要作用。,于是得出连续型人口发展模型：,此方程描述了人口的演变过程，从这个方程确定出密度函数,p(r,t),以后，立即可以得到各个年龄的人口数，即人口分布函数,3,、模型求解,该方程的求解过程比较复杂，这里给出一种特殊情况下的结果。在社会安定的局面下和不太长的时间内，死亡率大致与时间无关，于是可以近似的假设,(r,t)=(r),，这时的解为：,这个解在,tr,平面上有一个浅显的解释：,如何验证？,右图中，对角线,r=t,（,t,，,r0,）分为两个部分。,在,tr,的区域，,p(r,t),完全由年龄为,r-t,的人口初始密度,p,0,(r-t),和这些人的死亡率,(s)(r-t,sr,区域，,p(r,t),则由未来的生育状况,f(t-r),及死亡率,(s)(0,sr,),决定。,4,、讨论,生育率和生育模式,在发展方程及解中,p,0,(r),和,(r),可以从人口统计数据得到。,(r,t),也可以由,(r,0),粗略估计，这样，为了预测和控制人口的发展状况，人们主要关注的可以用作控制手段的就是婴儿出生率,f(t),。,对,f(t),进一步分解：,记女性性别比函数为,k,(r,t),，即时刻,t,年龄在,r,r+dr,的女性人数为,k(r,t)p(r,t)dr,将这些女性在单位时间内的平均每人的生育数记作,b(r,t),，设育龄区间为,r,1,r,2,则：,其中,(t),的直接含义是时刻,t,单位时间内平均每个育龄女性的生育数。,如果所有育龄女性在她育龄期所有的时刻都保持这个生育数，那么,(t),也表示平均每个女性一生的总和生育数。所以,(t),称为,总和生育率,（简称生育率或生育胎次）。,h(r,t),是年龄为,r,的女性的生育加权因子，称为,生育模式,。在稳定环境下可以近似的认为它与,t,无关即,h(r,t)=h(r),。,h(r),表示了在那些年龄生育率高，那些年龄生育率低。,在,r=r,c,附近生育率最高,由人口统计资料可以知道当前实际的,h(r,t),。作理论分析时，人们常采用的,h(r),的一种形式是借用概率论中的,分布：,取,=2,，,=n/2,，这时有,r,c,=r,1,+n-2,可以看出，提高,r,1,意味着晚婚，而增加,n,意味着晚育。,这样，人口发展方程和单位时间内出生的婴儿数,f(t),的表达式构成了连续型人口模型。,模型中死亡率函数,W(r,t),，性别比函数,k(r,t),和初始密度函数P0(t),可由人口统计资料直接得到，或在资料的基础上估计，而生育率,(t),和生育模式,h(r,t),，则是可以用于控制人口发展过程的两种手段，,(t),可以控制生育的多少，,h(r,t),可以控制生育的早晚和疏密，我国的计划生育政策正是通过这两种手段实施的。,从控制论观点看，在方程描述的人口系统中,P(r,t),可视为状态变量，,P(0,t)=f(t),视为控制变量，是分布参数系统的边界控制函数，式表明控制输入中含有状态变量，形成状态及馈，,(t),视为及馈增益，并且这是一种正及馈，即人口密度函数,P(r,t),的增加，通过婴儿出生率,f(t),又使,P(r,t),进一步增长。,方程的解式中因子,f(t-r),表明这种反馈还有相当大的滞后作用，所以一旦人口政策失误，使,P(r,t),在一段时间内增长得过多过快，再想通过控制手段,(t),和,P(r,t),把人口增长的势头降下来，非常困难并且需要相当长（几代人）的时间。,人口指数,在上面的模型中密度函数,P(r,t),或分布函数,f(r,t),固然是人口发展过程最完整的描述，但是使用起来并不方便，在人口统计学中常用一些所谓的人口指数来简明扼要地表达一个国家或地区的人口特征。,1,人口总数,N(t),2,平均年龄,R(t),3,平均寿命,S(t),它表示时刻,t,出生的人不论活到什么时候，死亡率都是按时刻,t,的,W(r,t),计算，这些人的平均存活时间,S(t),实际上是预估寿命，通常说目前平均寿命已达到多少岁了，是指今年出生婴儿的预估寿命，即,S(0),，根据统计资料得到当前的死亡率,W(r,0),后，就可以算出,S(0),。,4,老龄化指数,W(t,),若,R(t),递增，则,W(t),也是递增的,5,依赖性指数,(t),其中,L1,L2,和,L1,L2,分别是男性和女性有劳动能力的年龄区间，,L(t),是全体人口中有劳动能力的年龄区间，,L(t),是全体人口中有劳动能力的人数，所以依赖性指数,(t),表示平均每个劳动者要供养的人数。,4.,人口发展方程的离散模型,因在连续模型中，得了一些理论的分析结果，但是在实际应用中不方便，需要建立相应的离散模型，因为,:,第一，作为已知条件（输入）的统计数据都是离散的，如果某年各个年龄的女性生育率，死亡率，性别比例。,第二，作为结果（输出）人们希望得到的数据也是离散如,2000,年，,2020,年，,2050,年,.,的人口总数，各个人口指数人口的年龄分布等：,第三，连续模型解的表达式中包含了未知函数，用解析方程迭代求解是非常困难的，与其用数值方法解连续模型，不如直接建立离散模型。,一般时间以年为单位，年龄按,周计算,，设最年龄为,m,发，现,Xi(t),为第,t,年,i,岁（满,i,周岁而不到,i+1,）的人数。,t=0,1,2,i=0,1,2m.,只考虑由于生育，老在和死亡引起的人口演变，而不计迁移等社会因素的影响，记,di(t),为第,t,年,i,岁人口的死亡率，即,i=0,，,1,，,2m-1,，,t=0,1,2,但,bi(t),为第,t,年,i,发女性生育率，即每位女性平均生育婴儿数，,i1,i2,为育龄区间，,Ri(t),为第,t,年,i,岁人口的女性比，则第,t,年的出生人数为,记,d00(t),为第,t,年婴儿死亡率，即第,t,年出生但未活到人口统计时刻的婴儿比例：,对于,i=0,将，带入得,利用式对式求和得到,可知,(t),表示第,t,年每个育龄妇女平均生育的婴儿数，若设在,t,年后的一个育龄时期内各个年龄的女性生育率,bi(t)都不变，那么,(t),又可表为,则,(t),是第,t,年,i1,岁的每位妇女一生平均生育的婴儿数，称总和生育率，或生育胎次，是控制人口数量的主要参数。,将式带入式，并记,则式写作,引入变量，矩阵记号,那么和式（,i=1,2m-1,）可以换作,这个向量形成的一阶差分方程就是人口发展方程，当初始人口分布,x(0),已知，又由统计资料确定了,A(t),B(t),并且给定了总和生育,(t),以后，用这个方程不难预测人口的发展过程。,在控制理论中,X(t),称状态变量，可将,(t),作为控制变量，因为对于,(t),和,X(t),分别是线性的，所以是双线性方程，有控制可得出其性质和解法，在此不加以讨论。在稳定的社会环境下可以认为死亡率，生育模式和女性比不随时间变换，于是,A(t),B(t),为常数矩阵，化为,人口指数,1,人口指数,N(t),2,平均年龄,R(t),3,平均寿命,S(t),4,老龄化指数,W(t),W(t)0.5,时属于青壮年型社会。,5,依赖性指数,(t),L1,L2,和,L1,L2,是男性和女性劳动力的年龄区间，,L(t),是有劳动能力的人口数，于是,(t),表示每个劳动力需供养的人口数。,我国,e=0.985,（,1978,）,.,世界平均,=0.695,5,随机人口模型,背景,一个人的出生和死亡是随机事件,一个国家或地区,平均生育率平均死亡率,确定性模型,一个家族或村落,出生概率死亡概率,随机性模型,对象,X,(,t,),时刻,t,的人口,随机变量,.,P,n,(,t,),概率,P,(,X,(,t,)=,n,),n,=0,1,2,研究,P,n,(,t,),的变化规律；得到,X,(,t,),的期望和方差,若,X,(,t,)=,n,对,t,到,t,+,t,的出生和死亡概率作以下假设,1),出生一人的概率与,t,成正比，记,b,n,t,;,出生二人及二人以上的概率为,o,(,t,).,2),死亡一人的概率与,t,成正比，记,d,n,t,;,死亡二人及二人以上的概率为,o,(,t,).,3),出生和死亡是相互独立的随机事件。,b,n,与,n,成正比，记,b,n,=n,出生概率,；,d,n,与,n,成正比，记,d,n,=,n,，,死亡概率,。,进一步假设,模型假设,建模,为得到,P,n,(,t,),P,(,X,(,t,)=,n,),的变化规律，考察,P,n,(,t+,t,)=,P,(,X,(,t+,t,)=,n,).,事件,X,(,t+,t,)=,n,的分解,X,(,t,)=,n,-1,t,内出生一人,X,(,t,)=,n,+1,t,内死亡一人,X,(,t,)=,n,t,内没有出生和死亡,其它,(,出生或死亡二人，出生且死亡一人，,),概率,P,n,(,t+,t,),P,n-1,(,t,),b,n-1,t,P,n+,1,(,t,),d,n+,1,t,Pn,(,t,),1-,b,n,t,-,d,n,t,o,(,t,),一组递推微分方程,求解的困难和不必要,(,t,=0,时已知人口为,n,0,),转而考察,X,(,t,),的期望和方差,b,n,=,n,，,d,n,=,n,微分方程,建模,X,(,t,),的期望,求解,基本方程,n-,1,=k,n+,1,=k,求解,比较：确定性指数增长模型,X,(,t,),的方差,E,(,t,),-,(,t,),-=r,D,(,t,),E,(,t,),+,(,t,),E,t,0,n,0,D,(,t,),X,(,t,),大致在,E,(,t,),2,(,t,),范围内（,(,t,),均方差）,r,增长概率,r,平均增长率,