直线、平面平行的判定与性质-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

8.4直线、平面平行的判定与性质直线、平面平行的判定与性质2014 高考会这样考 1.考查空间平行关系的判定及性质有关命题的判定；2.解答题中证明或探索空间的平行关系复习备考要这样做 1.熟练掌握线面平行、面面平行的判定定理和性质，会把空间问题转化为平面问题，解答过程的叙述步骤要完整，避免因条件书写不全而失分；2.学会应用“化归思想”进行“线线问题、线面问题、面面问题”的互相转化，牢记解决问题的根源在“定理”1 直线与平面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab2.面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条a，b，a，a，a件bP，a，bb结论aba难点正本疑点清源1证明线面平行是高考中常见的问题，常用的方法就是证明这条线与平面内的某条直线平行但一定要说明一条直线在平面外，一条直线在平面内2在判定和证明直线与平面的位置关系时，除熟练运用判定定理和性质定理外，切不可丢弃定义，因为定义既可作判定定理使用，亦可作性质定理使用3辅助线(面)是解(证)线面平行的关键为了能利用线面平行的判定定理及性质定理，往往需要作辅助线(面)1 已知不重合的直线 a，b 和平面，若 a，b，则 ab；若 a，b，则 ab；若 ab，b，则 a；若 ab，a，则 b 或 b.上面命题中正确的是_(填序号)答案解析若 a，b，则 a，b 平行或异面；若 a，b，则 a，b 平行、相交、异面都有可能；若 ab，b，则 a 或 a.2 已知、是不同的两个平面，直线 a，直线 b，命题 p：a 与 b 没有公共点；命题 q：，则 p 是 q 的_条件答案必要不充分解析a 与 b 没有公共点，不能推出，而 时，a 与 b 一定没有公共点，即 pD/q，qp，p 是 q 的必要不充分条件3 已知平面 平面，直线 a，有下列命题：a 与 内的所有直线平行；a 与 内无数条直线平行；a 与 内的任意一条直线都不垂直其中真命题的序号是_答案解析因为，a，所以 a，在平面 内存在无数条直线与直线 a 平行，但不是所有直线都与直线 a 平行，故命题为真命题，命题为假命题在平面 内存在无数条直线与直线 a 垂直，故命题为假命题4(2011浙江)若直线 l 不平行于平面，且 l，则 ()A 内的所有直线与 l 异面B 内不存在与 l 平行的直线C 内存在唯一的直线与 l 平行D 内的直线与 l 都相交答案B解析由题意知，直线 l 与平面 相交，则直线 l 与平面 内的直线只有相交和异面两种位置关系，因而只有选项 B 是正确的5(2012四川)下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行答案C解析利用线面位置关系的判定和性质解答A 错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B 错误，ABC 的三个顶点中，A、B 在 的同侧，而点 C 在 的另一侧，且 AB 平行于，此时可有 A、B、C 三点到平面 的距离相等，但两平面相交；D 错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选 C.题型一直线与平面平行的判定与性质例 1 正方形 ABCD 与正方形 ABEF 所在平面相交于 AB，在 AE、BD 上各有一点 P、Q，且 APDQ.求证：PQ平面 BCE.思维启迪：证明直线与平面平行可以利用直线与平面平行的判定定理，也可利用面面平行的性质证明方法一如图所示作 PMAB 交 BE 于 M，作 QNAB 交 BC 于 N，连接 MN.正方形 ABCD 和正方形 ABEF 有公共边 AB，AEBD.又 APDQ，PEQB，又 PMABQN，PMABPEAEQBBDQNDC，PMABQNDCPM 綊 QN，即四边形 PMNQ 为平行四边形，PQMN.又 MN平面 BCE，PQ平面 BCE，PQ平面 BCE.方法二如图，连接 AQ，并延长交 BC 延长线于 K，连接 EK，AEBD，APDQ，PEBQ，APPEDQBQ又 ADBK，DQBQAQQK，PQEK.APPEAQQK又 PQ平面 BCE，EK平面 BCE，PQ平面 BCE.方法三如图，在平面 ABEF 内，过点 P 作 PMBE，交 AB 于点M，连接 QM.PM平面 BCE，又平面 ABEF平面 BCEBE，PMBE，APPEAMMB又 AEBD，APDQ，PEBQ，APPEDQBQAMMBDQQBMQAD，又 ADBC，MQBC，MQ平面 BCE，又 PMMQM，BEBCB，平面 PMQ平面 BCE，又 PQ平面 PMQ.PQ平面 BCE.探究提高判断或证明线面平行的常用方法：(1)利用线面平行的定义(无公共点)；(2)利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；(3)利用面面平行的性质定理(，aa)；(4)利用面面平行的性质(，a，aa)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，BAD60，AB2，PA1，PA平面 ABCD，E 是 PC 的中点，F 是 AB 的中点求证：BE平面 PDF.证明取 PD 中点为 M，连接 ME，MF，E 是 PC 的中点，ME 是PCD 的中位线，ME 綊 CD.12F 是 AB 的中点且四边形 ABCD 是菱形，AB 綊 CD，ME 綊 FB，四边形 MEBF 是平行四边形，BEMF.BE平面 PDF，MF平面 PDF，BE平面 PDF.题型二平面与平面平行的判定与性质例 2 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，E，F，G，H 分别是 AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，HG 四点共面；(2)平面 EFA1平面 BCHG.思维启迪：要证四点共面，只需证 GHBC；要证面面平行，可证一个平面内的两条相交直线和另一个平面平行证明(1)GH 是A1B1C1的中位线，GHB1C1.又B1C1BC，GHBC，B，C，H，G 四点共面(2)E、F 分别为 AB、AC 的中点，EFBC，EF平面 BCHG，BC平面 BCHG，EF平面 BCHG.A1G 綊 EB，四边形 A1EBG 是平行四边形，A1EGB.A1E平面 BCHG，GB平面 BCHG.A1E平面 BCHG.A1EEFE，平面 EFA1平面 BCHG.探究提高证明面面平行的方法：(1)面面平行的定义；(2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行；(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行；(4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行；(5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转化 证明：若一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线平行于两个平面的交线解已知：直线 a平面，直线 a平面，b.求证：ab.证明：如图所示，过直线 a 作平面，分别交平面，于直线m，n(m，n 不同于交线 b)，由直线与平面平行的性质定理，得am，an，由平行线的传递性，得 mn，由于 n，m，故 n平面.又n，b，故 nb.又 an，故 ab.题型三平行关系的综合应用例 3 如图所示，在四面体 ABCD 中，截面 EFGH 平行于对棱 AB 和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？思维启迪：利用线面平行的性质可以得到线线平行，可以先确定截面形状，再建立目标函数求最值解AB平面 EFGH，平面 EFGH 与平面 ABC 和平面 ABD 分别交于 FG、EH.ABFG，ABEH，FGEH，同理可证 EFGH，截面 EFGH 是平行四边形设 ABa，CDb，FGH(即为异面直线 AB 和 CD 所成的角或其补角)又设 FGx，GHy，则由平面几何知识可得，两式相加得 1，xaCGBCybBGBCxayb即 y(ax)，baSEFGHFGGHsin x(ax)sin x(ax)babsin ax0，ax0 且 x(ax)a 为定值，当且仅当 xax 时，x(ax)，此时 x，y.bsin aabsin 4a2b2即当截面 EFGH 的顶点 E、F、G、H 为棱 AD、AC、BC、BD 的中点时截面面积最大探究提高利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决 如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，O 为底面 ABCD的中心，P 是 DD1的中点，设 Q 是 CC1上的点，问：当点 Q 在什么位置时，平面 D1BQ平面 PAO?解当 Q 为 CC1的中点时，平面 D1BQ平面 PAO.证明如下：Q 为 CC1的中点，P 为 DD1的中点，QBPA.P、O 分别为 DD1、DB 的中点，D1BPO.又D1B平面 PAO，PO平面 PAO，QB平面 PAO，PA平面 PAO，D1B平面 PAO，QB平面 PAO，又 D1BQBB，D1B、QB平面 D1BQ，平面 D1BQ平面 PAO.立体几何中的探索性问题典例：(14 分)如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E 是棱 DD1的中点(1)求直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角的正弦值；(2)在棱 C1D1上是否存在一点 F，使 B1F平面 A1BE？证明你的结论审题视角(1)可过 E 作平面 ABB1A1的垂线、作线面角；(2)先探求出点 F，再进行证明B1F平面 A1BE.注意解题的方向性规范解答解(1)如图(a)所示，取 AA1的中点 M，连接 EM，BM.因为 E 是DD1的中点，四边形 ADD1A1为正方形，所以 EMAD.2 分又在正方体 ABCDA1B1C1D1中，AD平面 ABB1A1，所以 EM平面 ABB1A1，从而 BM 为直线 BE 在平面 ABB1A1上的射影，EBM 为 BE和平面 ABB1A1所成的角4 分 图(a)设正方体的棱长为 2，则 EMAD2，BE3.222212于是，在 RtBEM 中，sinEBM，6 分EMBE23即直线 BE 和平面 ABB1A1所成的角的正弦值为.7 分23(2)在棱 C1D1上存在点 F，使 B1F平面 A1BE.事实上，如图(b)所示，分别取 C1D1和 CD 的中点 F，G，连接B1F，EG，BG，CD1，FG.因 A1D1B1C1BC，且 A1D1BC，所以四边形 A1BCD1是平行四边形，因此D1CA1B.又 E，G 分别为 D1D，CD 的中点，图(b)所以 EGD1C，从而 EGA1B.这说明 A1，B，G，E 四点共面所以 BG平面 A1BE.10 分因四边形 C1CDD1与 B1BCC1皆为正方形，F，G 分别为 C1D1和 CD 的中点，所以 FGC1CB1B，且 FGC1CB1B，因此四边形 B1BGF 是平行四边形，所以 B1FBG，12 分而 B1F平面 A1BE，BG平面 A1BE，故 B1F平面 A1BE.14 分答题模板答题模板对于探索类问题，书写步骤的格式有两种：一种：第一步：探求出点的位置第二步：证明符合要求第三步：给出明确答案第四步：反思回顾查看关键点，易错点和答题规范另一种：从结论出发，“要使什么成立”，“只需使什么成立”，寻求使结论成立的充分条件，类似于分析法温馨提醒(1)本题属立体几何中的综合题，重点考查推理能力和计算能力(2)第(1)问常见错误是无法作出平面 ABB1A1的垂线，以致无法确定线面角(3)第(2)问为探索性问题，找不到解决问题的切入口，入手较难(4)书写格式混乱，不条理，思路不清晰方法与技巧1 平行问题的转化关系2 直线与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质3 平面与平面平行的主要判定方法(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a，a.失误与防范1在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误2在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”3解题中注意符号语言的规范应用A 组专项基础训练时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1 若直线 m平面，则条件甲：“直线 l”是条件乙：“lm”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案D2 已知直线 a，b，c 及平面，下列条件中，能使 ab 成立的是()Aa，b Ba，bCac，bc Da，b答案C解析由平行公理知 C 正确，A 中 a 与 b 可能异面B 中 a，b 可能相交或异面，D 中a，b 可能异面3 在梯形 ABCD 中，ABCD，AB平面，CD平面，则直线 CD 与平面 内的直线的位置关系只能是 ()A平行 B平行和异面C平行和相交 D异面和相交答案B解析Error!CD，CD 和平面 内的直线没有公共点4 设 m、n 表示不同直线，、表示不同平面，则下列结论中正确的是 ()A若 m，mn，则 nB若 m，n，m，n，则 C若，m，mn，则 nD若，m，nm，n，则 n答案D解析D 中，易知 m 或 m，若 m，又 nm，n，n，若 m，过 m 作平面 交平面 于直线 p，则 mp，又 nm，np，又n，p，n.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面 ABB1A1平行的直线共有_条答案6解析过三棱柱 ABCA1B1C1的任意两条棱的中点作直线，记 AC，BC，A1C1，B1C1的中点分别为 E，F，E1，F1，则直线 EF，E1F1，EE1，FF1，E1F，EF1均与平面ABB1A1平行，故符合题意的直线共 6 条6.如图所示，ABCDA1B1C1D1是棱长为 a 的正方体，M、N 分别是下底面的棱 A1B1、B1C1的中点，P 是上底面的棱 AD 上的一点，AP，a3过 P、M、N 的平面交上底面于 PQ，Q 在 CD 上，则 PQ_.答案a2 23解析平面 ABCD平面 A1B1C1D1，MNPQ.M、N 分别是 A1B1、B1C1的中点，AP，a3CQ，从而 DPDQ，PQa.a32a32 237.如图所示，在正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别是棱 CC1、C1D1、D1D、DC 的中点，N 是 BC 的中点，点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动，则 M 满足条件_时，有MN平面 B1BDD1.答案M线段 HF解析由题意，得 HN面 B1BDD1，FH面 B1BDD1.HNFHH，面 NHF面 B1BDD1.当 M 在线段 HF 上运动时，有 MN面 B1BDD1.三、解答题(共 22 分)8(10 分)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G，过 G 和 AP 作平面，交平面 BDM于 GH.求证：PAGH.证明如图，连接 AC 交 BD 于点 O，连接 MO，四边形 ABCD 是平行四边形，O 是 AC 的中点，又 M 是 PC 的中点，APOM.则有 PA平面 BMD.平面 PAHG平面 BMDGH，PAGH.9.(12 分)如图，已知平行四边形 ABCD 中，BC6，正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直，G，H 分别是 DF，BE 的中点(1)求证：GH平面 CDE；(2)若 CD2，DB4，求四棱锥 FABCD 的体积2(1)证明方法一EFAD，ADBC，EFBC.又 EFADBC，四边形 EFBC 是平行四边形，H 为 FC 的中点又G 是 FD 的中点，HGCD.HG平面 CDE，CD平面 CDEGH平面 CDE.方法二连接 EA，ADEF 是正方形，G 是 AE 的中点在EAB 中，GHAB.又ABCD，GHCD.HG平面 CDE，CD平面 CDE，GH平面 CDE.(2)解平面 ADEF平面 ABCD，交线为 AD，且 FAAD，FA平面 ABCD.ADBC6，FAAD6.又CD2，DB4，CD2DB2BC2，BDCD.2SABCDCDBD8，2VFABCD SABCDFA 8616.131322B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1 设 m，n 是平面 内的两条不同直线；l1，l2是平面 内的两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是 ()Am 且 l1 Bml1且 nl2Cm 且 n Dm 且 nl2答案B解析对于选项 A，不合题意；对于选项 B，由于 l1与 l2是相交直线，而且由 l1m 可得 l1，同理可得 l2，故可得，充分性成立，而由 不一定能得到l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选 B；对于选项 C，由于 m，n 不一定相交，故是必要非充分条件；对于选项 D，由于 nl2可转化为 n，同选项 C，故不符合题意综上选 B.2 下面四个正方体图形中，A，B 为正方体的两个顶点，M，N，P 分别为其所在棱的中点，能得出 AB平面 MNP 的图形是 ()A B C D答案A解析由线面平行的判定定理知图可得出 AB平面 MNP.3 给出下列关于互不相同的直线 l、m、n 和平面、的三个命题：若 l 与 m 为异面直线，l，m，则；若，l，m，则 lm；若 l，m，n，l，则 mn.其中真命题的个数为()A3 B2 C1 D0答案C解析中当 与 不平行时，也能存在符合题意的 l、m.中 l 与 m 也可能异面中Error!lm，同理 ln，则 mn，正确二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 已知平面 平面，P 是、外一点，过点 P 的直线 m 与、分别交于 A、C，过点 P 的直线 n 与、分别交于 B、D 且 PA6，AC9，PD8，则 BD 的长为_答案24 或245解析根据题意可得到以下如图两种情况：可求出 BD 的长分别为或 24.2455.一个正方体的展开图如图所示，B、C、D 为原正方体的顶点，A 为原正方体一条棱的中点在原来的正方体中，CD 与 AB 所成角的余弦值为_答案1010解析还原为正方体如图所示，BECD，则EBA 就是异面直线CD 与 AB 所成的角或所成角的补角设正方体棱长为 2，则 BE2，2BA，AE3.5所以在ABE 中，由余弦定理得cos EBA.8594 1010106 已知正方体 ABCDA1B1C1D1，下列结论中，正确的结论是_(只填序号)AD1BC1；平面 AB1D1平面 BDC1；AD1DC1；AD1平面 BDC1.答案三、解答题7(13 分)如图，四棱锥 PABCD 中，PD平面 ABCD，底面 ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E 为 PC 的中点(1)求三棱锥 APDE 的体积；(2)AC 边上是否存在一点 M，使得 PA平面 EDM？若存在，求出 AM的长；若不存在，请说明理由解(1)因为 PD平面 ABCD，所以 PDAD.又因 ABCD 是矩形，所以 ADCD.因 PDCDD，所以 AD平面 PCD，所以 AD 是三棱锥 APDE 的高因为 E 为 PC 的中点，且 PDDC4，所以 SPDE SPDC 4.1212(12 4 4)又 AD2，所以 VAPDE ADSPDE 24.131383(2)取 AC 中点 M，连接 EM，DM，因为 E 为 PC 的中点，M 是 AC的中点，所以 EMPA.又因为 EM平面 EDM，PA平面 EDM，所以 PA平面 EDM.所以 AM AC.125即在 AC 边上存在一点 M，使得 PA平面 EDM，AM 的长为.5