同角三角函数基本关系式及诱导公式-高考数学知识点总结-高考数学真题复习.pdf

4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式同角三角函数基本关系式及诱导公式2014 高考会这样考 1.考查同角三角函数基本关系式和诱导公式；2.利用公式进行三角函数的化简与求值复习备考要这样做 1.理解记忆同角三角函数基本关系式和诱导公式，特别要对诱导公式的口诀理解透彻；2.通过训练加强公式运用能力的培养，寻找化简求值中的规律1 同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan.sin cos 2 下列各角的终边与角 的终边的关系角2k(kZ)图示与角 终边的关系相同关于原点对称关于 x 轴对称角22图示与角 终关于 y 轴关于直线 yx边的关系对称对称3.六组诱导公式组数一二三四五六角2k(kZ)22正弦sin_sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos_cos_cos_cos_sin_sin_正切tan_tan_tan_tan_口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限难点正本疑点清源1 同角三角函数关系式(1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角 的范围进行确定(2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法2 诱导公式诱导公式可概括为 k(kZ)的各三角函数值的化简公式记忆规律是“奇变偶不变，2符号看象限”其中的奇、偶是指 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变2化1(2011大纲全国)已知，tan 2，则 cos _.(，32)答案55解析tan 2，2，sin 2cos.sin cos 又 sin2cos21，(2cos)2cos21，cos2.15又，cos.(，32)552 若 tan 2，则的值为_2sin cos sin 2cos 答案34解析原式.2tan 1tan 2343 已知 是第二象限的角，tan ，则 cos _.12答案2 55解析 是第二象限的角，cos 0.又 sin2cos21，tan ，sin cos 12cos.2 554 sin cos tan的值是_4356(43)答案3 34解析原式sincostan(3)(6)(3)(sin 3)(cos 6)(tan 3)().(32)(32)33 345 已知 cos，则 sin_.(6)23(23)答案23解析sinsin(23)2(6)sincos.2(6)(6)23题型一同角三角函数基本关系式的应用例 1 已知在ABC 中，sin Acos A.15(1)求 sin Acos A 的值；(2)判断ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求 tan A 的值思维启迪：由 sin Acos A 及 sin2Acos2A1，可求 sin A，cos A 的值15解(1)sin Acos A 15两边平方得 12sin Acos A，125sin Acos A.1225(2)由 sin Acos A0，且 0A，1225可知 cos A0，cos A0，sin Acos A.75由，可得 sin A，cos A，4535tan A.sin Acos A453543探究提高(1)对于 sin cos，sin cos，sin cos 这三个式子，已知其中一个式子的值，其余二式的值可求转化的公式为(sin cos)212sin cos；(2)关于 sin，cos 的齐次式，往往化为关于 tan 的式子(1)已知 tan 2，求 sin2sin cos 2cos2；(2)已知 sin 2sin，tan 3tan，求 cos.解(1)sin2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos2sin2cos2.tan2tan 2tan2145(2)sin 2sin，tan 3tan，sin24sin2，tan29tan2，由得：9cos24cos2，得：sin29cos24，cos2sin21，cos2，即 cos.3864题型二三角函数的诱导公式的应用例 2(1)已知 cos，求 cos的值；(6)33(56)(2)已知 2，cos(7)，求 sin(3)tan的值35(72)思维启迪：(1)将 看作一个整体，观察 与 的关系6656(2)先化简已知，求出 cos 的值，然后化简结论并代入求值解(1)，(6)(56).56(6)coscos(56)(6)cos，(6)33即 cos.(56)33(2)cos(7)cos(7)cos()cos ，35cos .35sin(3)tan(72)sin()tan(72)sin tan(2)sin sin(2)cos(2)sin cos .cos sin 35探究提高熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题的关键另外，切化弦是常用的规律技巧(1)化简：；tancos2sin(32)cos3sin3(2)已知 f(x)，求 f的值sinxcos2xtanxcos(2x)(313)解(1)原式tan cos sin2(2)cos3sin3tan cos sin(2)cos sin tan cos cos cos sin 1.tan cos sin sin cos cos sin(2)f(x)sin xcos xtan xsin xcos xtan xsin x，fsinsin(313)(313)313sinsin.(103)332题型三三角函数式的化简与求值例 3(1)已知 tan ，求的值；1312sin cos cos2(2)化简：.tancos2sin(32)cossin思维启迪：三角函数式的化简与求值，都是按照从繁到简的形式进行转化，要认真观察式子的规律，使用恰当的公式解(1)因为 tan ，13所以12sin cos cos2sin2cos22sin cos cos2.tan212tan 123(2)原式tan cossin(2)cossin1.tan cos sin(2)cos sin sin cos cos sin 探究提高在三角变换中，要注意寻找式子中的角，函数式子的特点和联系，可以切化弦，约分或抵消，减少函数种类，对式子进行化简 已知 sin，(0，)，(2)55求的值cos2(42)cos2(42)sincos3解sin，(2)55cos，又(0，)，sin.552 55cos2(42)cos2(42)sincos3cos2(42)sin2(42)sin cos .cos(2)sin cos sin sin cos 23分类讨论思想在三角函数化简中的应用典例：(14 分)化简：sincos(nZ)(4n14)(4n14)审题视角(1)角中含有变量 n，因而需对 n 的奇偶分类讨论(2)利用诱导公式，需将角写成符合公式的某种形式，这就需要将角中的某一部分作为一个整体来看规范解答解当 n 为偶数时，设 n2k(kZ)，则原式sincos(8k14)(8k14)sincos2k(4)2k(4)sincos(4)(4)sincos(4)2(4)sinsin0.6 分(4)(4)当 n 为奇数时，设 n2k1(kZ)，则原式sincos(8k34)(8k54)sincos2k(34)2k(54)sincos(34)(54)sincos(4)(4)sincos(4)(4)sincos(4)2(4)sinsin0.12 分(4)(4)故 sincos0.14 分(4n14)(4n14)温馨提醒(1)本题的化简过程，突出体现了分类讨论的思想，当然除了运用分类讨论的思想将 n 分两类情况来讨论外，在解答过程中还处处体现了化归思想和整体思想(2)在转化过程中，缺乏整体意识，是出错的主要原因.方法与技巧同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础，主要是变名、变式1 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍2 三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式 tan x化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sin cos)sin xcos x212sin cos 的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1sin2cos2cos2(1tan2)sin2tan.(11tan2)4失误与防范1 利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意函数名称和符号的确定2 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号3 注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化A 组专项基础训练(时间：35 分钟，满分：57 分)一、选择题(每小题 5 分，共 20 分)1已知 和 的终边关于直线 yx 对称，且 ，则 sin 等于()3A B.C D.32321212答案D解析因为 和 的终边关于直线 yx 对称，所以 2k(kZ)又 ，23所以 2k(kZ)，即得 sin .56122 cos(2 013)的值为()A.B1 C D01232答案B解析cos(2 013)cos(2 014)cos 1.3 已知 f()，则 f的值为()sincos2costan(253)A.B C.D12123232答案A解析f()cos，sin cos cos tan fcos(253)(253)coscos .(83)3124 当 0 x 时，函数 f(x)的最小值是()4cos2xcos xsin xsin2xA.B.C2 D41412答案D解析当 0 x 时，0tan x1，4f(x)，cos2xcos xsin xsin2x1tan xtan2x设 ttan x，则 0t1，y4.1tt21t1t当且仅当 t1t，即 t 时等号成立12二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)5 如果 sin ，且 为第二象限角，则 sin_.15(32)答案2 65解析sin ，且 为第二象限角，15cos，1sin211252 65sincos.(32)2 656 已知 sin，则(12)13cos的值为_(712)答案13解析coscos(712)(12)2sin.(12)137._.sin(32)tansin答案1解析原式1.cos tan sin sin sin 三、解答题(共 22 分)8(10 分)已知 sin cos(0)，求 tan 的值23解将已知等式两边平方，得 sin cos，718，2sin cos .sin cos 212sin cos 43解方程组Error!得Error!tan.sin cos 94 279(12 分)已知 sin(3)，求的13coscos cos1cos2sin(32)cossin(32)值解sin(3)sin ，sin ，1313原式cos cos cos 1cos2sin(32)coscos 11cos cos cos2cos 11cos 11cos 18.21cos22sin22(13)2B 组专项能力提升(时间：25 分钟，满分：43 分)一、选择题(每小题 5 分，共 15 分)1 若 sin，则 cos等于()(6)13(232)A B C.D.79131379答案A解析，(3)(6)2sinsin(6)2(3)cos.(3)13则 cos2cos21.(232)(3)792 已知，则的值是()1sin cos 12cos sin 1A.B C2 D21212答案A解析由同角三角函数关系式 1sin2cos2 及题意可得 cos 0 且 1sin 0，1sin cos cos 1sin cos 1sin 12即.cos sin 1123 若 cos 2sin，则 tan 等于()5A.B2 C D21212答案B解析由 cos 2sin 可知，cos 0，两边同时除以 cos 得 12tan 5，5cos 平方得(12tan)25(1tan2)，5cos2tan24tan 40，解得 tan 2.二、填空题(每小题 5 分，共 15 分)4 若 sin()，则 cos _.12(2，)答案32解析sin()sin，sin .12又，cos.(2，)1sin2325 已知 tan 2，则 sin2sin cos 2cos2_.答案45解析sin2sin cos 2cos2sin2sin cos 2cos21sin2sin cos 2cos2sin2cos2tan2tan 2tan21.42241456 已知 cosa(|a|1)，则 cossin的值是_(6)(56)(23)答案0解析coscos(56)(6)cosa.(6)sinsincosa，(23)2(6)(6)cossin0.(56)(23)三、解答题7(13 分)已知 A、B、C 是三角形的内角，sin A，cos A 是方程 x2x2a0 的两3根(1)求角 A.(2)若3，求 tan B.12sin Bcos Bcos2Bsin2B解(1)由已知可得，sin Acos A13又 sin2Acos2A1，sin2A(sin A1)21，3即 4sin2A2sin A0，3得 sin A0(舍去)或 sin A，A 或，32323将 A 或代入知 A 时不成立，A.323233(2)由3，12sin Bcos Bcos2Bsin2B得 sin2Bsin Bcos B2cos2B0，cos B0，tan2Btan B20，tan B2 或 tan B1.tan B1 使 cos2Bsin2B0，舍去，故 tan B2.