岳阳市第十六中学高一数学月考试卷(精编版).docx

岳阳市第十六中高一月考数学试卷
一、选择题（每小题5分，满分60分）
1．角α的终边过点（﹣2，4），则cosα=（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xOy中，以x的非负半轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆交于点A，B，已知A的横坐标为，B的纵坐标为，则2α+β=（　　）
A．π B．π C．π D．π
3．等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S5=3，S10=9，则S15的值为（　　）
A．27 B．21 C．18 D．15
4．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足bcosC=a，则△ABC的形状是（　　）
A．等边三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
5．设ω∈N*且ω≤15，则使函数y=sinωx在区间[，]上不单调的ω的个数是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．已知A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，在x轴上的投影为，则ω，φ的值为（　　）
A．ω=2，φ= B．ω=2，φ= C．ω=，φ= D．ω=，φ=
7．《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”
A．3 B．4 C．5 D．6
8．设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5=2b5，则=（　　）
A．2 B．3 C．4 D．6
9．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，=a，a=2，若b∈[1，3]，则c的最小值为（　　）
A．2 B．3 C．2 D．2
10．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（　　）
A．24里 B．48里 C．96里 D．192里
11．已知定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．设f（x）在[2n﹣2，2n）上的最大值为an（n∈N*），且{an}的前n项和为Sn，则Sn=（　　）
A． B．C． D．
12．如图①，这个美妙的螺旋叫做特奥多鲁斯螺旋，是由公元5世纪古希腊哲学家特奥多鲁斯给出的，螺旋由一系列直角三角形组成（图②），第一个三角形是边长为1的等腰直角三角形，以后每个直角三角形以上一个三角形的斜边为直角边，另一个直角边为1．将这些直角三角形在公共顶点处的角依次记为α1，α2，α3，…，则与α1+α2+α3+α4最接近的角是（　　）
参考值：tan55°≈1.428，tan60°≈1.732，tan65°≈2.145，
A．120° B．130° C．135° D．140°
二.填空题（每题5分，共20分）
13．设α为锐角，若cos（）=，则sin（α﹣）=　 　．
14．已知cos（x+）=，＜x＜，则=　 　．
15．已知数列{nan}的前n项和为Sn，且an=2n，则使得Sn﹣nan+1+50＜0的最小正整数n的值为　 　．
16．设数列{an}的各项都是正数，且对任意n∈N*，都有4Sn=an2+2an，其中Sn为数列{an}的前n项和，则数列{an}的通项公式为an=　 　．
三.解答题（共6题，共70分）
17．（10分）已知=（sinx，cosx），=（cosφ，sinφ）（|φ|＜）．函数f（x）=• 且
f（﹣x）=f（x）．（1）求f（x）的解析式及单调递增区间：
（2）将f（x）的图象向右平移单位得g（x）的图象，若g（x）+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立，求实数a的取值范围．

18．（12分）等差数列{an}中，其前n项和为Sn，且，等比数列{bn}中，其前n项和为Tn，且，（n∈N*）
（1）求an，bn；
（2）求{anbn}的前n项和Mn．

19．（12分）已知函数f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣（ω＞0），其图象两相邻对称轴间的距离为．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=，f（C）=0，若向量=（1，sinA）与向量=（3，sinB）共线，求a，b的值．

20．（12分）已知二次函数f（x）=x2+x．数列{an}的前n项和为Sn，点（n，Sn）（n∈N*）在二次函数y=f（x）的图象上．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=anan+1cos[（n+1）π]（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，若Tn≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t的取值范围；
（Ⅲ）在数列{an}中是否存在这样一些项：，，a，…，a这些项都能够构成以a1为首项，q（0＜q＜5）为公比的等比数列{a}？若存在，写出nk关于k的表达式；若不存在，说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x（x∈R）．
（1）求函数f（x）的值域；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分另为a、b、c，且f（A）=2，b=2，，求△ABC的面积S的值．

22．（12分）已知数列{an}、{bn}满足：a，an+bn=1，b；
（1）求b1、b2、b3、b4；
（2）求证：数列{}是等差数列，并求{bn}的通项公式；
（3）设Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1，若不等式4aSn＜bn对任意n∈N*恒成立，求实数a的取值范围．

参考答案,仅供参考，如有错误，请谅解
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．B
【解析】角α的终边过点（﹣2，4），，所以，　
2．D
【解析】由题意可得，A的纵坐标为，B的横坐标为，
即A（，）、B（，），∴tanα=2，tanβ=，
可得α∈（，），β∈（0，），∴2α+β∈（，）．
∵tan2α==﹣，∴tan（2α+β）==﹣1，
∴2α+β=，　
3．B
【解析】若q=1，则S10=9≠2S5，则不成立，
则q≠1，
则S5，S10﹣S5，S15﹣S10，成等比数列，
即3，6，S15﹣9，成等比数列，
则S15﹣9=12，
解得S15=12+9=21，　
4．C
【解析】在△ABC中，∵bcosC=a，
∴由余弦定理可得：cosC==，整理可得：a2+c2=b2，
∴利用勾股定理可得△ABC的形状是直角三角形．　
5．C
【解析】根据正弦函数图象及性质：
对称轴方程为ωx=+kπ，（k∈Z）．
解得：x=+，（k∈Z）．
∵函数y=sinωx在区间[，]上不单调，
∴＜+＜，（k∈Z），
解得：1.5+3k＜ω＜2+4k，（k∈Z）．
由题意：ω∈N*且ω≤15，
当k=0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；
当k=1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取：5；
当k=2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取：8，9；
当k=3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取：11，12，13；
当k=4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取：14，15；
∴ω∈N*且ω≤15，y=sinωx在区间[，]上不单调时，ω可以4个数，
即5，8，9，11，12，13；14，15．　
6．B
【解析】因为A，B，C，D，E是函数y=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜一个周期内的图象上的五个点，如图所示，
，B为y轴上的点，C为图象上的最低点，E为该函数图象的一个对称中心，B与D关于点E对称，
在x轴上的投影为，
所以T=4×（）=π，所以ω=2，因为，
所以0=sin（﹣+ϕ），0＜ϕ＜，ϕ=．　
7．A
【解析】由题意设塔顶有a盏灯，
由题意由上往下数第n层就有2n﹣1•a盏灯，
∴共有（1+2+4+8+16+32+64）a=381盏灯，
即．
解得：a=3．　
8．A
【解析】根据题意：

=
=
=
=2．　
9．B
【解析】由=a，
可得：，
即：3cosC=sinC，可得：tanC=，
故：cosC=，
所以：c=（b﹣）2+9，
因为：b∈[1，3]，
所以：当b=时，c取得最小值3．
10．C
【解析】由题意可知此人每天走的步数构成为公比的等比数列，
由题意和等比数列的求和公式可得=378，
解得a1=192，∴第此人二天走192×=96步　
11．B
【解析】∵定义在[0，+∞）上的函数f（x）满足f（x）=2f（x+2），
∴f（x+2）=f（x），
∴f（x+4）=f（x+2）=f（x），f（x+6）=f（x+4）=f（x），…f（x2n）=f（x）
设x∈[2n﹣2，2n），则x﹣（2n﹣2）∈[0，2）
∵当x∈[0，2）时，f（x）=﹣2x2+4x．
∴f[x﹣（2n﹣2）]=﹣2[（x﹣（2n﹣2）]2+4[x﹣（2n﹣2）]．
∴=﹣2（x﹣2n+1）2+2
∴f（x）=21﹣n[﹣2（x﹣2n+1）2+2]，x∈[2n﹣2，2n），
∴x=2n﹣1时，f（x）的最大值为22﹣n
∴an=22﹣n
∴{an}表示以2为首项，为公比的等比数列
∴{an}的前n项和为Sn==　
12．C
【解析】由题意可得，α1、α2、α3、α4最都是锐角，且α1=45°，tanα2==，tanα3==，
∴α3=30°，tanα4==，∴α1+α3=75°．
又tan（α2+α4）===≈1.87≈tan60°，
故（α2+α4）接近60°，故与α1+α2+α3+α4最接近的角是75°+60°=135°，　
二.填空题（每题5分，共20分）
13．　
【解析】∵α为锐角，cos（）=为正数，
∴α+是锐角，sin（α+）=，
∴sin（α﹣）=sin[（α+）﹣]
=sin（α+）cos﹣cos（α+）sin
=﹣=，
故答案为：．
14．　﹣　
【解析】∵cos（x+）=（cosx﹣sinx）=，
∴cosx﹣sinx=，
两边平方得：cos2x+sin2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx=，即2sinxcosx=，
∵cosx+sinx=sin（x+），且＜x+＜2π，
∴cosx+sinx＜0，
∴（cosx+sinx）2=1+2sinxcosx=，
开方得：cosx+sinx=﹣，
则原式===﹣=﹣．
故答案为：﹣
15．　5　
【解析】由an=2n，得an+1=2n+1，
nan=n•2n，
则，
∴，
两式作差得：=，
∴，
则由Sn﹣nan+1+50＜0，得（n﹣1）•2n+1+2﹣n•2n+1+50＜0，
即2n+1＞52，∴n+1＞5，则n＞4．
∴最小正整数n的值为5．
故答案为：5．

16．　2n　
【解析】当n=1时，由4S1=a12+2a1，a1＞0，得a1=2，
当n≥2时，由4an=4Sn﹣4Sn﹣1=（an2+2an）﹣（an﹣12+2an﹣1），
得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣2）=0，
因为an+an﹣1＞0，所以an﹣an﹣1=2，
故an=2+（n﹣1）×2=2n．
故答案为：2n．
三.解答题（共6题，共70分）
17．解：（1）∵f（x）=•=sinxcosφ+cosxsinφ=sin（x+φ），
再由f（﹣x）=f（x）可知函数f（x）的图象关于直线x=对称，
∴+φ=+kπ，k∈Z，又|φ|＜，∴φ=
∴f（x）=sin（x+），
由2kπ﹣≤x+≤2kπ+可得2kπ﹣≤x≤2kπ+，
∴函数的递增区间为[2kπ﹣，2kπ+]，k∈Z；
（2）由图象平移易知g（x）=sinx，即sinx+1≤ax+cosx在x∈[0，]上恒成立．
也即sinx﹣cosx≤ax﹣1在x∈[0，]上恒成立
令h（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），x∈[0，]；φ（x）=ax﹣1
如下图：h（x）的图象在φ（x）图象的下方，
则：a≥kAB==，故a≥

　18．解：（1）法1：由，a1=1
又，所以a2=3或﹣1
因为a2=﹣1时，=1，故a2=﹣1舍去
所以等差数列{an）的公差d=a2﹣a1=2∴an=2n﹣1，
同样可得b1=1，b2=3或﹣1
因为b2=3时，，故b2=3舍去
又{bn}为等比数列，所以
法2：，a1=1…1分，，（n≥2）（an﹣an﹣1）（an+an﹣1）﹣2（an+an﹣1）=0
（an﹣an﹣1﹣2）（an+an﹣1）=0，因为{an}为等差数列，
所以an﹣an﹣1﹣2=0，又a1=1∴an=2n﹣1，
又{bn}为等比数列，所以易得
（2）法一：Mn=a1•b1+a2•b2+…+an•bn=1﹣3+5﹣7+…+（﹣1）n﹣1（2n﹣1）
若n为偶数，则Mn=
所以Mn=﹣n…（10分）
若n为奇数，则结合上边情况可得 Mn=﹣（n﹣1）+（2n﹣1）=n
综上可得Mn=（﹣1）n﹣1•n…（12分）
法二：Mn=1×（﹣1）0+3×（﹣1）1+5×（﹣1）2+…+（2n﹣1）×（﹣1）n﹣1…①
﹣Mn=1×（﹣1）1+3×（﹣1）2+5×（﹣1）3+…+（2n﹣1）×（﹣1）n…②
①﹣②得：
2Mn=1+2×（﹣1）1+2×（﹣1）2+2×（﹣1）3+…+2×（﹣1）n﹣1﹣（2n﹣1）×（﹣1）n
2Mn=Mn=n×（﹣1）n﹣1　
19．解：（Ⅰ）f（x）=sinωxsin（+ωx）﹣cos2ωx﹣
=sinωxcosωx﹣﹣
=sin2ωx﹣cos2ωx﹣1
=sin（2ωx）﹣1

∵其图象两相邻对称轴间的距离为．
∴最小正周期为T=π，
∴ω=1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：f（x）=sin（2x）﹣1
∴sin（2C﹣）=1
∵0＜C＜π，
∴﹣＜2C﹣＜，
∴2C﹣=，
即C=
由已知∥可得sinB﹣3sinA=0，
在△ABC中，由正弦定理可得b﹣3a=0①
由余弦定理可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，
又已知c=
∴7=a2+b2﹣ab②
由①②联立，可解得：a=1，b=3．
20．解：（Ⅰ）由题意可知，Sn=n2+n，（n∈N*）．
当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]=；
当n=1时，a1=S1=1适合上式．
数列{an}的通项公式为（n∈N*）；
（Ⅱ）∵bn=anan+1cos[（n+1）π]=（﹣1）n﹣1anan+1，
∴Tn=b1+b2+…+bn=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1．
由（Ⅰ）可知，数列{an}是以1为首项，公差为的等差数列．
①当n=2m（m∈N*）时，Tn=T2m=a1a2﹣a2a3+a3a4﹣a4a5+…+（﹣1）n﹣1anan+1，
=a2（a1﹣a3）+a4（a3﹣a5）+…+a2m（a2m﹣1﹣a2m+1）=﹣（a2+a4+…+a2m）
=﹣××m=﹣（8m2+12m）=﹣（2n2+6n）
②当n=2m﹣1（m∈N*）时，Tn=T2m﹣1=T2m﹣（﹣1）2m﹣1a2ma2m+1
=﹣（8m2+12m）+（16m2+16m+3）
=（8m2+4m+3）
=（2n2+6n+7），
∴Tn=
要使Tn≥tn2对n∈N*恒成立，只要使﹣（2n2+6n）≥tn2（n为正偶数）恒成立，
即使﹣（2+）≥t对n为正偶数恒成立．
∴t≤﹣．
故实数t的取值范围是（﹣∞，﹣]；
（Ⅲ）由an=知数列{an}中每一项都不可能是偶数．
①如存在以a1为首项，公比q为2或4的数列{}（k∈N*），
此时{}中每一项除第一项外都是偶数，
故不存在以a1为首项，公比为偶数的数列{}；
②当q=1时，显然不存在这样的数列{{}；当q=3时，
若存在以a1为首项，公比为3的数列{}（k∈N*），则=1，（n1=1），
=3k﹣1=，nk=，
即存在满足条件的数列{}，且nk═，（k∈N*）．
21．解：（1）f（x）=sin2x+cos2x+1=sin（2x+）+1．
∴f（x）的值域为[1﹣，1+]．
（2）∵f（A）=sin（2A+）+1=2，
∴sin（2A+）=．
∵＜2A+＜，
∴2A+=，即A=．
∴S△ABC===1．
22．（1）解：依题意，b1=1﹣a1=1﹣=，
b2===，a2=1﹣b2=1﹣=，
==，a3=1﹣b3=1﹣=，
==；
（2）证明：∵，an+bn=1，
∴bn+1﹣1=﹣1=﹣1=，
两边同时取倒数，得：=
=﹣1
=﹣1
=﹣1
=﹣1，
∴数列{}是等差数列，
又∵==﹣4，
∴=﹣4﹣（n﹣1）=﹣（n+3），
∴数列{bn}的通项公式bn=1﹣=；
（3）解：由（2）可知bn=，
∴an=1﹣bn=，anan+1==﹣，
∴Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1
=﹣+﹣+…+﹣
=﹣
=，
∵不等式4aSn＜bn对任意n∈N*恒成立，
∴不等式4a•＜对任意n∈N*恒成立，
∴a＜=1+，
∵随着n的增大而减小，且=0，
∴a≤1．