五年级数学课例研究.doc

“
一种不同凡响的解
------“鸡兔同笼”的数学思考方法
连树生
“鸡兔同笼”是我国民间广为流传的数学趣题，出自我国古代数学名著《孙子算经》，书中的题目是这样的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”新课标教材揭去它“奥数”令人生畏的面纱，还其生动有趣的一面。通过学习，不仅使学生感受祖先的聪明才智，而且体会到解题方法的多样性以及其中蕴含的丰富的数学思想方法，培养学生探索的兴趣与能力。
目标：
1、在掌握基本解法的基础上，比较和梳理各种解法的特点。
2、数形结合，渗透数学建模的思想。
3、应用鸡兔同笼问题的解题策略解决简单的实际问题，促进模型的进一步内化。
4、渗透数学文化，关注学生的探究精神等情意目标的达成。
活动：
一、梳理解法
1、自主探索：让学生自己去尝试：从“会做”到“会用不同的方法做”。
2、比较梳理：交流解法，教师作适当补充，梳理各种解法的特点。
3、资料介绍：补充一些关于鸡兔同笼问题的资料。
二、建构模型
1、初步提炼：从“鸡兔同笼”到日本人说的“龟鹤问题”， 到“坐船问题”、“植树问题”、“答题问题”再到“人和狗”的民谣，逐步提炼出鸡兔同笼问题的基本特征。
2、首次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
3、游戏：猜硬币游戏，利用2分、5分的硬币，数形结合拓展鸡兔同笼问题的内涵，从四只脚的兔子到“五只脚的兔子”实现认识上的飞跃，进一步逼近问题本质。
三、拓展应用
1、再次追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
2、应用模型：利用模型解决实际问题，同时也促进模型的进一步内化。
3、自主设计：创设生活情境，引导学生自主设计类似的问题。
四、反思小结
1、深度追问：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
2、总结延伸：完善板书，小结全课，注重学法指导，引领孩子学会反思和追问。
 教学现场
一、解法
师：下面就让我们向在座的各位同学展示一下你们的智慧！
师：请看大屏幕：
（课件出示：今有鸡兔同笼，上有20头，下有54足。问：鸡有几只？兔有几只？ ）
师：这是一道什么问题？
生：（齐答）鸡兔同笼。
师：对，不少同学在兴趣小组活动的时候，在自己的课外阅读中都已经接触过这类问题，今天我们继续来研究它。            【板书课题：鸡兔同笼】
师：题目你能读懂吗？
生：能。
师：告诉了我们哪些已知条件？
生1：共有的二十个头，五十四只脚。
（师点点头）
生2：还有两个条件：鸡有两只脚，兔有四只脚。
师：很好！还隐藏着两个条件，同样是读懂了，可是懂的水平不一样了！
师：会做吗？
生：（齐答）会。
师：下面就请大家自己先试一试。
（学生试做，老师相机指点，并选择学生的一些典型解法，全班交流。）
（说明：开课简洁明快，引导学生“读懂题意，挖掘隐含条件，以“领悟”代替 “分析”。放手让学生独立解决问题，暗含对解题策略个性化、多元化的期待。）
师：现在我们看看这位同学做的。
（实物投影仪显示：学生作业①）
（54—20×2）÷(4-2)=7（只）
20-7=13（只）
答：鸡有13只，兔有7只。
师：说说你是怎么想的？
生：我先假设全是鸡就有40只脚，而现在有54只脚，还少14只脚，就说明还有一些兔子被算成了鸡，而每只兔子算成鸡就少两只脚，一共少14只脚，就说明有7只兔子，还有13只鸡。
师：不但会做，而且讲得很清楚！再看看这位同学做的，这和刚才的解法联系吗？
（实物投影仪显示：学生作业②）
（20×4－54）÷（4－2）=13（只） 
20－13=7（只）
答：鸡有13只，兔有3只。
生：都是假设的，刚才假设的全是鸡，而这现在假设的全是兔。
师：谁能说说他又是怎么想的？
（实物投影仪显示：学生作业③）
解：设兔有X只，则鸡有（20－X）只。
4X +2×（20－X）=54
X=7
20－X=13
答：鸡有13只，兔有7只。
生：他用的是方程解法，4X代表兔的脚数，2×（20－X）代表鸡的脚数，加起来就应该是一共的脚数54只。
师：对！方程和算术方法都是很重要的解题方法。
师：这里还有一种解法，谁做的？给大家讲讲你的思路。
（实物投影仪显示：学生作业④）
解：设鸡有X只，则兔有Y只。
               2X+4Y=54
               X=0，Y=20  80 　
X=1，Y=19  78
               X=2，Y=18 76
               X=3，Y=17 74 ×
               X=4，Y=16 72  ×
。。。。。。
               X=13，Y=7 54  √
答：鸡有13只，兔有7只。
生：我用的是不定方程的解法，后来解的过程我就是这样依次凑的……
师：大部分同学可能没接触过不定方程，不过老师可以告诉你们。
（课件出示：
鸡的只数      兔的只数       腿的总数
0              20        80    
1              19            76
2              18         74
3              17          72
4              16            70
13         7           54    ）
生：他是用列举的方法凑的，他的这种方法和不定方程的解法其实就是同一个意思。
师：凑也是一种方法，像他们这样有序地凑就是一种列举，我们可以称它叫列举法，还可以这样做——
（课件动态出示）
师：（配合课件解说）先画出20个小圆圈就代表20只小动物，假设全是鸡每只有两只脚，这样就先画40只脚，而题目中说共有54只脚，还少14只脚，于是我们就把其中的七只鸡“改装”成兔（如上图），这样就有54只脚了。
师：看懂了吗？刚才我们讲到了算术方法、方程解法还有列举法，现在你能给这种方法也取个名字吗？
生1：我觉得应该叫做作图法
生2：既然是把鸡变成兔那就叫鸡变兔法吧。
生3：一开始假设全是鸡，而兔子的腿是后来添上去的，咱们就叫它添腿法吧。
师：大家的说法都有道理，咱们就称它叫作图法吧。作图也可以成为一种解题的方法，这些很直观的解题方法反而容易被我们给忽视了，其实解题并不仅仅是计算！
师：一上课大家就说会解答这类问题，现在我们又学会用不同的方法来解答，会的水平不一样了！数学学习讲究的就是深入，如果就此打住那我们今天的探索还是不够深入。比较一下这些不同的解法，你比较喜欢哪种方法？能说说你的理由吗？
（课件出示：几种不同的方法）
生1：我喜欢算术方法，能训练我们的思维，算术方法和画图的方法其实是同一个意思。
生2：我喜欢方程解法，因为方程顺着题目的意思想起来比较方便。
生3：我喜欢画图的方法，因为画图既有趣又方便，还特别好懂。
师： 它们怎么会是同一个意思？！
生：这个图里面的添腿法，其实就是算术方法的思路，都是假设的，只是表示的方法不同。
师：大家同意他的说法吗？在他的发言中隐含了一个很重要的数学思想——数形结合。                                         【板书：数形结合】
生4：数字小，我就选作图法，列举法；数字大，我就选算术方法或者方程。
师：你怎么这么“不专一”呀？
生4：：数值小，用列举、画图方便；数值较大时，就不方便了，只能用算术方法或者方程。                            
师：看来不同的解法各有各的特点，它们既有联系又有区别，我们应该根据需要灵活地选用。
通过对几种典型解法的分析、比较，使学生在掌握不同解法的同时，能懂得这些解法之间的区别和联系。
师：不但我们在研究鸡兔同笼问题，早在1500年前，我国古代的数学著作《孙子算经》中就记载了鸡兔同笼问题，并给出了一种很有意思的计算方法：
课件出示：脚数÷2－头数＝兔数     头数－兔数＝鸡数 兔数=（实际的脚数－鸡兔总数×2）÷（4－2）， 鸡脚数=（鸡兔总数×4－实际的脚数）÷（4－2）。
兔数=（总脚数-鸡脚数×总头数）÷（兔脚数-鸡脚数）（这是通用公式）
师：咱们用这种方法口算一下上面那道题，结果和我们刚才算的一样吗？
（上面的题目可以列式为：54÷2－20=7 20－7=13）。
师：谁能说说这种算法的道理？
师：你们想明白了，就是说不清楚，对吗？
师：看来我们解决数学问题有时还真需要点数学家的本领——“奇思妙想”!【板书：奇思妙想】
二、建构模型
师：日本人对鸡兔同笼问题也有研究，日本人又称它叫“龟鹤问题”。
（课件演示：龟鹤的图片）
师：日本人说的“龟鹤”和我们说的“鸡兔”有联系吗？
生：是一样的意思：龟就相当于兔，都是四只脚；鹤就相当于鸡，都是两只脚。
师：假如我们不叫它鸡兔同笼，也不叫龟鹤问题，是不是还可以给它取个其它的名字呢？
生1：鸭猫问题。
（大家都笑起来）
生2：猪鹅问题。
生3：马鹰问题。
生4：坐船问题
生5：植树问题
生6：答题问题
。。。。。。
师：抓住了本质的东西！看来这里的鸡不仅仅代表鸡，这里的兔也不仅仅是指兔！
【板书：给鸡兔加上红色“”号 】
师：这儿有一首民谣，我们一起来读一读：
 （课件出示： 一队猎人一队狗，两队并成一队走。数头一共是十二，数脚一共四十二。 ）
师：读了这则民谣，你有没有什么话想说?
生：我觉得这还是鸡兔同笼问题。
师：（追问）不对吧？这里是人和狗？
生：这里的猎人有两只脚其实就是鸡，而狗就是兔。
师：你说的是这个意思吗？
（课件出示：猎人————鸡  两条腿
狗————兔  四条腿 ）
师：你能算出猎人和狗各有多少吗？用你喜欢的方法自己去试一试。
（学生练习，老师巡视指导）
师：算出来了？
生：3个猎人，9只狗。
师：到底对不对呢？我们可以带进原题当中去验算一下。
（学生检验，确认结果正确）
师：以前我们就接触过鸡兔同笼问题，今天又进一步研究了这类问题，可现在老师突然想到一个问题：生活中谁会将鸡和兔放在一个笼子里？即使放在一个笼子里又有谁会去数他们的脚呢?直接数头不就行了？生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
师：有些同学好像已经有了自己的想法，更多的同学还在思考，接下来咱们先做一个“猜一猜”的游戏，大家可以边猜边想。
师：（出示一个信封）储老师这儿有一个信封，谁能猜出信封里放的是什么吗？
生1：邮票。
生2：钱。
师：猜得真准，这信封里装的就是钱，放了5元和2元的钱，共7张，你能猜出信封里的人民币一共有多少钱吗？            【板书：2  元、5元、共7张】
（学生觉得有困难，面露难色。）
师：咱们降低些难度，你能猜出大致的范围吗？
生：我觉得应该在十四元到三十五元之间。
师：就在这个范围内！你是怎么猜的？
生：假设这些人民币全是二元，七张就是一十四元，假设全是五元的，七张就是三十五元。
师：信封里一共放了二十九元，你们能猜出信封里放了几张2元，几张5元吗？                            【板书：共二十九元、？张、？张】
师：有同学已经猜出来了，还有同学想用笔算，那你就用笔算一算。这位同学“猜”得最快，说说你是怎么“猜”的？
生：假设全是二元的就是一十四元，而现在有二十九元，还多一十五元，我们就把二元的换成五元的，每换一张就多三元，这样就要换5张五元的，还剩两张二元的。
师：你是这个意思吗？
（课件动态演示：换纸币的过程）
师：这个游戏和我们研究的鸡兔同笼问题有联系吗？
生：其实这也是鸡兔同笼问题，这里的二元纸币就相当于鸡有两只脚，而五元的纸币就相当于兔，也就是五只脚的“怪兔”！
师：是这个意思。
（课件动态演示：将二元纸币换成鸡，将五元纸币换成五只脚的“怪兔”）
（大家一看“怪兔”的模样，都乐了）
师：我们也学会“奇思妙想”了，终于把兔子给“整成”了五条腿。看来我们的鸡兔同笼问题不仅包括4只脚的兔子，还可以是5只脚的怪兔。即使再出现3只脚的鸡，我们也不会觉得奇怪了，又进一步逼近了问题的本质！
（说明：“猜人民币”的游戏以及课件中“怪兔”夸张变形的演示，用“数形结合”的方法把鸡兔同笼问题作进一步的概括、抽象。将学生在前一个教学环节中初步建构起的数学模型作进一步的提炼。帮助学生建构数学模型的过程是循序渐进的：由“鸡兔”到“龟鹤”再到“人狗”，这一演变的过程只是换了个“包装”，是对问题原型表象的概括；由“四脚兔”变为“五脚兔”，则是对问题本质的类推与抽象。引导学生进行联系、对比、分析，学生的思维在不断的内省、自悟中得到提升，自主建构鸡兔同笼问题的模型也便水到渠成了。）
三、拓展应用
师：刚才我就问大家，生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？现在大家觉得有吗？
（有的学生还在思考，还有的则若有所悟地点点头。）
师：下面就让我们带上一双“数学的眼睛”到我们身边去看一看……
【板书：生活】
（课件出示图片：1、乒乓球赛2、儿童公园3、童话世界4、文峰商场5、校园一角）
师：想先到哪里去看一看呢？
生：乒乓球赛。
师：这是谁呀？
生：孔令辉
师：对，乒乓名将孔令辉，在乒乓球比赛中有没有类似咱们今天研究的问题呢？先请大家自己读一读。
（课件出示：12张乒乓球台上同时有34人正进行乒乓球比赛，正在进行单打和双打比赛的球台各有几张？）
师：题目告诉我们哪些条件？
生：它告诉我们共有14张球台，38人在进行比赛，单打就是2人打，双打就是4个人打。
师：真厉害！一下子将两个隐含着的条件也挖出来了，共四个条件。这和我们今天探索的问题有联系吗？
生：差不多，单打就可以看成鸡有两只脚，双打就可以看成兔有4只脚，14张球台就是共有12只动物，38人就是共有38只脚，问有几桌单打就是有几只鸡，有几桌双打就是有几只兔子。
（下面的同学都听得直乐）
师：同意他的意见吗？这时问题就转化成这样：
（课件出示：鸡2脚，兔4脚，共14头，38脚，问：鸡？只，兔？只。）
师：会做吗？用你喜欢的方法自己去试一试。
（学生练习，教师巡视指导。）
师：算出来了？
生：有9只鸡，就是有9桌单打；有5只兔子，就是有5桌在双打。
师：谁来介绍一下你用的是什么方法？（你为什么选用这种解法？）
生1：我用的是画图的方法，因为它的数字比较小用画图的方法既直观又方便。
生2：我用的是算术方法，这种方法好，什么时候都能用。
师3：（补充）应该说算术方法具有一般性。
…植树问题
           一次植树活动，规定大树每人种2棵，小树每人种4棵，全班50人种树140棵，问种这两种树的各有多少人？
…这道题可用公式很快解得种大树的有30人，种小树的有20人。
师：这是哪里？
生：公园
师：行，就到公园去玩玩。
（课件出示：刘老师带着41名队员去海陵公园划船，共租了10条船，恰好坐满，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船和小船各租了几条？）
师：自己先试一试，行吗？
（学生练习，不久就有学生举手了……）
生：老师，不好做！
师: （疑惑）为什么？
生：大船坐的人数是双数，小船坐的人数也是双数，怎么可能恰好坐满是41人呢？
师：对呀，怎么回事儿？
生：（其他学生，马上接上来）还有老师呢！！
（提问的学生，恍然大悟，坐下。）
师：看来咱们还是要注意审题，要善于挖掘隐含着的条件！
（汇报交流略）
（说明：利用多媒体平台互动选择的功能，设计了开放的应用情境，“乒乓球赛”、“公园游玩”、等都很贴近学生的生活，学生在不同的生活场境中应用模型解决实际问题，既可使学生在实践中领悟数学建模的价值，又能增强学生数学应用的意识与能力。最后学生自己动手设计问题，既是对本课教学的综合“反刍”，又旨在引导学生用“数学的眼睛”去看世界、看生活。）
四、反思小结
师：有一个问题我们一直都在思考，现在我们再来看一看：生活中有类似鸡兔同笼的问题吗？
生：（异口同声）有.
师：同学们，一上课大家就说会解决鸡兔同笼问题，后来我们又学会灵活地选用适当的方法来解决这类问题，现在我们又能用解决这类问题的方法来解决我们生活中的问题，会的水平是越来越高了！其实我们的数学学习就应该是这样的——在不断的反思与追问中逐渐深入……
（课件出示：在反思与追问中生成新的智慧……）
师：让我们在自己的心中把这句话默默地说一遍，下课。
（说明：“数学学习就应该是这样的——在不断的反思与追问中逐渐深入……”既是对本课学习活动的概括，同时又启迪学生感悟：深入思考的意识、不断追问的习惯、奇思妙想的胆识等在数学学习中的意义与价值。）
 板书设计                
　“鸡兔”同笼
            数形结合                       二元 ？张      7张
      模型——————生活          硬币              共
            奇思妙想                       五元  ？张     2 9元 
反思：在诘问中深入
有人讲“实践＋反思”是教师专业成长的一条捷径，在每一次的实践之后都应该有意识地反思自己的教育实践。反思这次实践，我对数学教育本身也有了一些新的思考，很多认识都逐渐清晰起来：
●怎样的课才算一节好课？
从学的角度看，课堂的主角应该是学生。怎样的课才是好课，看看孩子的表现就知道了：孩子的学习快乐吗？孩子的学习高效吗？……孩子们的学习状态应该是考评课堂最重要的指标。当然这些也离不开老师的引导与启发，但是老师的作用也仅此而已。没有深度和力度的课堂是苍白的，学生的心中有一杆秤，称得出老师教学的分量。
从教的角度看，好课应该是真实而又扎实、大气而又富有灵气的。真实，就是要求我们的课堂能够看到学生从不懂到懂、不会到会、从初步感知到深刻认识、从学会到会学、从会学到善学、乐学的过程。扎实，教学必须是扎实的，在追求开放自主的基础上，教师的主导作用不可忽视。与课前的基础比较，学生哪些方面的能力和素质得到了提升，提升了多少，这应该是我们关注的重点。大气，就教师而言，大气是指教师在教学中表现出的充满自信、不急不躁的教学素养；对课堂而言，大气就是指那种开放的、流畅的、框架式的生成性课堂。灵气，它所显现的是教师的一种高超的教学技艺。注重课堂生成，教师对课堂的驾驭能力显得尤为重要，这也对教师的专业素养提出了更高的要求。
 “不看广告，看疗效。”这是一句很流行的广告语，它告诉我们一个简单的道理——选药别看外在的包装等因素，疗效才是关键。教学同样如此，怎样的课才算一节好课？“效果才是硬道理！”
以上是“鸡兔同笼”问题的各种解法中蕴含的主要的数学思考方法，从上述讨论中看出一种解法中可以蕴含不同的数学思想，而不同解法中可以蕴含同一种数学思想。教师应该根据不同年级学生的特点来合理地选择重点渗透的数学思考方法，使学生受到数学思想方法的熏陶，发展学生的思维能力和解决问题的能力，使“鸡兔同笼”这个传统的数学趣题在新课程背景下焕发出新的夺目的光彩。后来数学家发现其原理是二进制，说明二进制是中国人最先发明的，近代根据二进制发明了计算机，所以有些基础科学的研究成果一时看起来无多大用途，以后渐渐会发现有大用途，鸡兔同笼问题不也是这样吗？因此我们一定要重视基础科学的学习和研究。
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