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初一学生数学严谨性的调查与培养

摘要：严谨性是数学学科的基本特点之一，即逻辑的严谨性和结论的确定性，中学数学教学的目的之一在于培养学生的思维能力，对学生的严谨习惯的培养，不但是学科教学的需要，更是人格完善、品质完善的需要。初一学生的数学严谨性现状如何，怎样从初中起始年级培养数学的严谨性，笔者通过实验进行了有效的探究。
关键词 初一数学 严谨性 实验 策略

一、问题的提出
每次阅卷后，总听到许多老师这样说：“真糟糕，这么简单的送分题都会错，可惜！”十几年的教学中，也常常碰到反应敏捷，解难题十分出众的尖子生，但在考试中却往往拿不到高分，不是这儿错，就是那里漏，而学生的分析是“没注意了”“马虎了”，从而来说明自己不是不会，而是由于一时大意做错的。那么这一切现象的产生，是学生说的那样粗心造成的，还是有其他更重要的原因？
2007年9月25日，利用午自学20分钟时间，我对初中起始年级七（1）、（3）两班88位同学进行了一次以考查数学严谨性为目的的测试，试题共五道：
1、绝对值等于5的数是
2、将正确的语句序号填入横线
（1）没有最小的有理数 （2）任何有理数必定大于它的相反数 （3）表示负数
3、如图，数轴上的点A表示的数是3，到点A的距离为5个单位的点所表示的数是
4、计算：
5、小明记录了某星期每天的电表上显示的数据
星期
一
二
三
四
五
六
七
电表上的数据
1320
1324
1327
1332
1333
1340
1346
由此估计，小明家每月（30天计算）的用电量是几度？请写出计算过程。
接着对试卷进行批改，并抽样个别谈话发现：
第一题、第三题因忽视多种情况，第二题（2）因负数概念不清、第四题因忽视运算律使用条件，第五题因考虑不全而造成的错误人数见下表
错误人数及比率 题号
班级
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
七（1）
14
（31.8%）
30
（68.2%）
12
（27.3%）
24
（54.5%）
30
（68.2%）
七（3）
15
（34.1%）
31
（70.5%）
13
（29.5%）
23
（52.3%）
32
（72.7%）
严峻的现实已摆在我们面前，如何培养初中生的数学思考严谨性，已成为刻不容缓的问题，为此，我进行了“初一学生数学严谨性的培养”的实验研究，实验时间为2007年9月27日—2008年2月。
二、实验目的
通过实验，探索出一套有利于培养初一学生数学严谨性的教学策略，提高教学质量，同时为学生的后继学习与终身发展服务。
三、实验步骤
一）实验班、对照班的选择
实验班为宁波东方外国语学校的七（3）班，任课教师为本人，奉化市教坛新秀，从事教学工作18年，大专毕业，教学经验丰富，事业心强，兼任该班班主任。
对照班为宁波东方外国语学校的七（1）班，任课教师陈老师为奉化市教坛新秀，从事教学工作15年，本科毕业，教学经验丰富，事业心强，兼任该班班主任。
七（1）、（3）班，两班的男、女比例为：七（1）班：24:20，七（3）班：23:21基本相同，在分班前，学校教导处专门组织了一次考查，分班后两班的数学优秀率、合格率、平均分及最高分、最低分十分平衡。
二）、实验班实施的策略
在七（3）班的教学中，我有意从以下方面进行了加强：
1、 精心备课 统筹兼略
深入钻研教材，钻研课程目标，明确各部分内容对严谨性的要求程度，背课时关注一题多解、多题一解，在上届学生的错题集中收集那些因概念不清、考虑不全、去分母漏乘等等典型错题作为上课时的教材。
2、示范引领 营造氛围
初一学生具有较强的模仿力，往往是“亲其师，则必信其道。” 因此我在课堂教学中努力做好示范作用。在板书时，做到步骤完整，格式规范，定义、定理、公理的讲解中与板书中更是注意表述严谨，使学生有章可循，同时潜移默化的受到影响，培养他们的严谨性。
在讲课时尽力做到语言严谨，表达到位，同时克服以下失误：
（1） 忽视概念而导致概念不清。
（2）忽视定理、公式成立的条件而导致错误。例如：在讲两直线的位置关系时，往往会这样说：“两直线的位置关系是相交或平行。”事实上，这句话是错误的，应加上“在同一平面内”这个条件。
3、强化概念、定理、公式等知识的发生、发现过程 培养严谨思维
具体措施是：
（1）加强定理、公理、概念得出过程中的“酌字斟句”、“反复推敲”、“强化条件”，做到措词得当，用语确切，差别无误，从而有意识地培养学生对数学严谨的、科学的态度。
（2）对“而且”、“或者”、“存在”、“唯一”、“有且只有”等等关键的字、词、语句，通过用彩色粉笔进行圈、点，改变语调、节奏，换词等方式，让学生通过视觉、听觉等多种感官予以强化。
（3）辨析综合，启发引导。在定义、定理、公式等得出后出示若干组是非题，让学生通过判断，从反面来强化概念、公理、定理、公式
（4）应用练习，反馈矫正，从而使知识转变为技能。
例如：在教“同类项”这个概念时，在学生讨论、交流的基础上学生得出：（1）所含字母相同；（2）次数相同。我反问道：3x2y 与—4xy2 的次数相同为什么不归为一类？于是对概念表述的严谨性和同类项”的条件提出了挑战，经过推敲并相互补充终于得出正确的结论。师板书定义，并用色笔在两个条件下加着重号，后再进行是非题的训练，让学生明确两个条件缺一不可，最后进行找同类项的训练，予以巩固和深化概念，提高了技能，培养了思维严谨性。同时总结得出：在找同类项时，为了防止遗漏，可在同类项下划横线做记号的方法，提高了正确率。
4、加强双基落实 培养严谨思维
严谨的思维品质和技能的形成，需要一定题量的训练，需要对学生的大脑皮层进行足够的刺激。为此，我精选习题，及时训练，作业及时批改、反馈，加强个别辅导，作业中有意无意精选一些易失误的题目，如 ：“一个数的绝对值等于它的相反数，这个数是几？”又如：平面上有三点，过任意两点画直线，共有几条？”等。 巧妙运用变式，精心编制开放题、探究题及背景相同，条件不同，结论不同的题组及分类讨论题，强化思维的严谨性和发散性。
5、规范解题过程 培养严谨思维
针对小学数学注重算式，弱化解题过程的分析，同时对书写格式要求不高的现状，从初中起始年级起，我便强化解题过程，做到“格式规范，步骤完整。” 如；求“代数式的值”时要先写“当……时”；列方程解应用题时要先设，最后还要答等等，以此来培养学生严谨的思维。
6、追求语言准确 培养严谨思维
在平时的教学中，我要求学生努力克服语言不准确的习惯，准确理解教材中的叙述。如：在教学“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线。”这一结论时，说明“有且只有”与日常生活中的“只有”的含义的区别，从而感受数学语言的准确性，又如：在列代数式中，通过类似于“与平方的和”与“与b两数的平方的和”等让学生辨析，使学生感知语言的精确性。其次,在数学命题的推导、数学算式的推演也要求严格地使用数学语言。在平时的教学中，在问题的回答中，我还通过“为什么？你是怎么想的？”等追问、设问等方法，展现学生的思维过程，使学生做到“言必有据，算必有理”的好习惯。
7、深化批判思想 培养严谨思维
要求学生给老师的书写格式、试题、教材中的表述（浙教版少部分教材的编写不够严谨）“吹毛求疵”找漏洞，对于表现突出且卓有成效者予以重奖，同时在黑板报上设立“啄木鸟”版块，刊登学生挑出的问题。此举一出，学生兴趣大增，常常能在课堂上听到学生给老师、同学或书本的表述提出不同的看法和同学间激烈的争论，对于错误的说法，我也不予以打击或一棍打死，从而使学生在给别人“挑刺”的过程中提升了自己，培养思维的严谨性。
8、利用学生犯错 培养严谨思维
当学生出现错误时，我总是变不利为有利。通过辩析、讨论，强化认识，培养思维严谨性。如：一元一次方程的应用中有一题：甲组原有学生人数占总人数的后又调入8人，此时人数为全班的，求全班有几人？几乎90%的学生因考虑不全错解为：设全班有人，则，正确的应是出现这个错误后，为了对学生加深印象，实现从“感知—顿悟”的升华，后让学生先个体思考，再讨论、交流，使学生的思维进行了激烈的碰撞和修正，从而培养了思维严谨性。
9、强化推理过程 培养严谨思维
（1）、几何题证明过程的书写，是检测推理能力强弱，数学思考严谨性与否的尺子，也是培养学生严谨的数学思维的有效工具，更是学生学习几何的难点之一。为此，在几何启蒙阶段，在证明过程书写的教学过程中，本人对教材进行了适度的开发与创造性的使用， ①抓好文字语言，图形语言和符号语言三种形态的转化。在每个定理、公理、定义得出后，我都引导并要求学生将文字语言翻译成图形语言、符号语言，做到三者的灵活转化，融汇贯通。如对“角平分线”这一概念的处理

文字语言
图形语言
符号语言
OC是∠AOB的平分线
B
A
C
O

∵OC是∠A的平分线
∴∠AOC=∠BOC或
∠BOC=∠AOC或
∠AOB=2∠BOC
②为了培养学生有条理地、严谨地书写推理过程，我单独开设了三节课，将该块内容编为“直觉感知（填写每一步成立的理由、补全残缺的证明过程）→仿写简单的推理过程→独立地、严谨地表述推理的过程”，并将简单的填空与严谨的思维分析相结合，要求学生动笔前先思考，整理书写过程，弄清每一步的来龙去脉，如：‘如图，已知点A、O、B三点在同一直线上，∠BOC=40°，OC⊥DO，OA平分∠DOE，求∠AOE？’许多学生马上回答∠AOE=40°，我追问“为什么？”，
生答：对顶角相等，我又问：∠AOE与∠COB是对顶角吗？
生：是的，因为AB与CE两直线相交。师：C、D、E成一
直线已知了吗？学生语塞……从而培养了严谨思考的好习惯。
10、细化解题程序 探究解题策略 培养严谨思维
（1）要求学生在做具体的问题过程中，应有一个清楚的程序，有了这个程序解题的过程才不会遗漏，不会失误。如：在解含有分母的一元一次方程 时，我要求学生将去分母的这一步细化为：，后转化为，再化为。这样处理虽多写了一步，但却有力地避免了漏乘或错解为：。
（2）、注重在解题后及时归纳小结，探究该类问题的解题策略，如在求代数式的值后，通过师生努力，将解题步骤归纳成脍炙人口的口诀：①当 ②化 ③代 ④计算，使学生有路可寻，以此培养严谨性。
（3）、提倡在直观感知的基础上进行合情猜想，但必须告诉学生要进行逻辑推理，唯此，才能保证得出结论的严谨性。
四、实验结果
3个月后，我们选用了一份<>试卷进行了测试，其中有4题考查思维严谨性。因忽视多种情况、负数概念不清、忽视使用条件造成的错误人数见下表

题
号
错
误

率
班
级

（1）
（2）
（3）
（4）
七（1）
27.3%
52.3%
29.5%
18.2%
七（3）
9.09%
31.8%
10.5%
20.5%
各项数据表明：实验班的数学思维严谨性优势十分明显（尽管有一题的错误率高于对照班），达到了预期效果，方法初见成效。
2008年1月11日，我们利用上学期宁海、奉化、象山三县七年级联考试卷进行了测试，填空题的最后一题为分类讨论题，经统计，实验班有32人正确，正确率为72.7%，对照班有18人正确，正确率仅为40.9%。
五、实验总结
实验结果表明：以上措施有效，需要指出的是，由于样本较小，实验时间较短，可能带来实验上的偏差，笔者愿继续在这一课题上作进一步的实践。

参考文献：1、《初中数学课程标准》
2、《中学数学教学》