2015年中考数学试卷解析分类汇编(第1期)专题27-锐角三角函数与特殊角-共19页.pdf

第 1 页 共 20 页锐角三角函数与特殊角锐角三角函数与特殊角一、选择题一、选择题1,（2015淄博第 7 题,4 分）若锐角 满足 cos且 tan，则 的范围是（）A 3045B 4560 C 6090 D 3060考点：锐角三角函数的增减性.专题：应用题分析：先由特殊角的三角函数值及余弦函数随锐角的增大而减小，得出 4590；再由特殊角的三角函数值及正切函数随锐角的增大而增大，得出 060；从而得出 4560解答：解：是锐角，cos0，cos，0cos，又cos90=0，cos45=，4590；是锐角，tan0，tan，0tan，又tan0=0，tan60=，060；故 4560故选 B点评：本题主要考查了余弦函数、正切函数的增减性与特殊角的余弦函数、正切函数值，第 2 页 共 20 页熟记特殊角的三角函数值和了解锐角三角函数的增减性是解题的关键2.（2015四川南充,第 5 题 3 分）如图，一艘海轮位于灯塔 P 的北偏东方向 55，距离灯塔为 2 海里的点 A 处如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东位置，海轮航行的距离 AB长是（）（A）2 海里 （B）海里 （C）海里 （D）海里【答案】C【解析】试题分析：根据题意可得PAB=55，则 cosPAB=，即 cos55=，则 AB=2cos55.考点：三角函数的应用.3.（2015浙江湖州，第 8 题 3 分）如图，以点 O 为圆心的两个圆中，大圆的弦 AB 切小圆于点 C，OA 交小圆于点 D，若 OD=2，tanOAB=，则 AB 的长是()A.4B.2C.8D.4【答案】C.第 3 页 共 20 页 考点：切线的性质定理；锐角三角函数；垂径定理.5.（2015四川乐山,第 7 题 3 分）如图，已知ABC 的三个顶点均在格点上，则 cosA 的值为（）A B C D【答案】D 考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4格型第 4 页 共 20 页6.（2015山东聊城,第 15 题 3 分）如图，在ABC 中，C=90，A=30，BD 是ABC 的平分线若 AB=6，则点 D 到 AB 的距离是考点：角平分线的性质.分析：求出ABC，求出DBC，根据含 30 度角的直角三角形性质求出 BC，CD，问题即可求出解答：解：C=90，A=30，ABC=1803090=60，BD 是ABC 的平分线，DBC=ABC=30，BC=AB=3，CD=BCtan30=3=，BD 是ABC 的平分线，又角平线上点到角两边距离相等，点 D 到 AB 的距离=CD=，故答案为：点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键7,（3 分）（2015山东威海，第 2 题 3 分）如图，在ABC 中，ACB=90，ABC=26，BC=5若用科学计算器求边 AC 的长，则下列按键顺序正确的是（）ABCD第 5 页 共 20 页考点：计算器三角函数.分析：根据正切函数的定义，可得 tanB=，根据计算器的应用，可得答案解答：接：由 tanB=，得AC=BCtanB=5tan26故选：D点评：本题考查了计算器，利用了锐角三角函数，计算器的应用，熟练应用计算器是解题关键8（4 分）（2015山东日照，第 10 题 4 分）如图，在直角BAD 中，延长斜边 BD 到点 C，使 DC=BD，连接 AC，若 tanB=，则 tanCAD 的值（）ABCD考点：解直角三角形.分析：延长 AD，过点 C 作 CEAD，垂足为 E，由 tanB=，即=，设 AD=5x，则AB=3x，然后可证明CDEBDA，然后相似三角形的对应边成比例可得：，进而可得 CE=x，DE=，从而可求 tanCAD=解答：解：如图，延长 AD，过点 C 作 CEAD，垂足为 E，tanB=，即=，设 AD=5x，则 AB=3x，CDE=BDA，CED=BAD，CDEBDA，第 6 页 共 20 页CE=x，DE=，AE=，tanCAD=故选 D点评：本题考查了锐角三角函数的定义，相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，是基础知识要熟练掌握，解题的关键是：正确添加辅助线，将CAD 放在直角三角形中9（2015甘肃兰州,第 4 题，4 分）如图，ABC 中，B=90，BC=2AB，则 cosA=A.B.C.D.252155255【答 案】D【考点解剖】本题考查了直角三角形中角的三角函数值的定义【思路点拔】直角三角形中，某锐角的余弦值等于夹这个角的那条直角边与斜边之比【解答过程】RtABC 中，AC2=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5 AB2，AC=AB，则 cosA=，选 D5555ABABACAB【解题策略】一般地说，在涉及到某个锐角的三角函数值时，只要将之放到直角三角形中去，那么问题往往不难解决。在直角三角形中，我们将夹角 的那条直角边称为邻边，角 所对的那条边称为对边，那第 7 页 共 20 页么角阿尔法的各三角函数值分别为，。斜边对边sin斜边邻边cos邻边对边tan如果原题没有图，那么可以自己在草稿纸上画一个示意图；如果是在斜三角形中，那么可以根据实际情况构造一个直角三角形出来，将问题转化到直角三角形中去解决。【题目星级】1.0(2015江苏无锡,第 7 题 2 分)tan45的值为（）AB1CD考点：特殊角的三角函数值分析：根据 45角这个特殊角的三角函数值，可得 tan45=1，据此解答即可解答：解：tan45=1，即 tan45的值为 1故选：B点评：此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记30、45、60角的各种三角函数值二.填空题1（2015甘肃武威,第 15 题 3 分）已知、均为锐角，且满足|sin|+=0，则+=75 考点：特殊角的三角函数值；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根分析：根据非负数的性质求出 sin、tan 的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数解答：解：|sin|+=0，第 8 页 共 20 页sin=，tan=1，=30，=45，则+=30+45=75故答案为：75点评：本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值2.（2015山东临沂,第 17 题 3 分）如图，在ABCD 中，连接 BD，,，则ABCD 的面积是_.【答案】考点：勾股定理，平行四边形的面积3.（2015四川省内江市，第 23 题，6 分）在平面直角坐标系 xOy 中，过点 P（0，2）作直线 l：y=x+b（b 为常数且 b2）的垂线，垂足为点 Q，则 tanOPQ=考点：一次函数图象上点的坐标特征；解直角三角形.分析：设直线 l 与坐标轴的交点分别为 A、B，根据三角形内角和定理求得OAB=OPQ，根据一次函数图象上点的坐标特征求得 tanOAB=，进而就可求得解答：解：如图，设直线 l 与坐标轴的交点分别为 A、B，AOB=PQB=90，ABO=PBQ，第 9 页 共 20 页OAB=OPQ，由直线的斜率可知：tanOAB=，tanOPQ=；故答案为 点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，求得OAB=OPQ 是解题的关键三.解答题1（6 分）（2015岳阳）计算：（1）42tan60+考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值.分析：根据有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质分别求出每一部分的值，再求出即可解答：解：原式=12=2点评：本题考查了有理数的乘方，特殊角的三角函数值，零指数幂，二次根式的性质的应用，解此题的关键是能求出每一部分的值，难度适中2.（2015四川南充,第 22 题 8 分）如图，矩形纸片 ABCD，将AMP 和BPQ 分别沿 PM和 PQ 折叠（APAM），点 A 和点 B 都与点 E 重合；再将CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上点 F 处第 10 页 共 20 页（1）判断AMP，BPQ，CQD 和FDM 中有哪几对相似三角形？（不需说明理由）（2）如果 AM1，sinDMF，求 AB 的长【答案】AMPBPQCQD；AB=6.试题解析：(1)、有三对相似三角形，即AMPBPQCQD(2)、设 AP=x，有折叠关系可得：BP=AP=EP=x AB=DC=2x AM=1由AMPBPQ 得：即由AMPCQD 得：即 CQ=2AD=BC=BQ+CQ=+2 MD=ADAM=+21=+1又在 RtFDM 中，sinDMF=DF=DC=2x 解得：x=3 或 x=(不合题意，舍去)AB=2x=6.考点：相似三角形的应用、三角函数、折叠图形的性质.3（2015四川自贡,第 18 题 8 分）如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学第 11 页 共 20 页知识去测釜溪河沙湾段的宽度.小宇同学在处观测对岸A点，测得,小英同学在处 50 米远的处CCAD45oAB测得,请你根据这些数据算出河宽.CBD30o（精确到 0.01 米，）.,.21 41431 732考点：直角三角形的性质、三角函数、方程思想、分母有理化等.分析：本题所求得如图所示的河宽，若直接放在一个三角形求缺少条件，但表示河宽CE的同时是和的公共边，利用和的特殊角关系可以转移到边CEAECABCAECABC来求，通过米建立方程可获得解决.AEBE、BEAEAB50略解：过点作于,设米.CCEABECEx在中：RtAEC,CAE45AECExo在中：RtABC,CABE30BE3CE3xo 解得：3xx50.x25 32567 30答：河宽为 67.30 米.4.（2015浙江省绍兴市，第 17 题，8 分）（1）计算：；10)21(41)1(45cos2（2）解不等式：53 x)2(2x考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；解一元一次不等式；特殊角的三角函数值.专题：计算题分析：（1）原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用零指数幂法则计算，第3045BCDEA第 12 页 共 20 页三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）不等式去括号，移项合并，把 x 系数化为 1，即可求出解解答：解：（1）原式=21+2=+；（2）去括号得：3x52x+4，移项合并得：x9点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键5.（2015山东东营,第 24 题 10 分）如图，两个全等的和重叠在一起，固定，将进行如下变换：（1）如图 1，沿直线 CB 向右平移（即点 F 在线段 CB 上移动），连接AF、AD、BD，请直接写出与的关系；（2）如图 2，当点 F 平移到线段 BC 的中点时，若四边形 AFBD 为正方形，那么应满足什么条件？请给出证明；（3）在（2）的条件下，将沿 DF 折叠，点 E 落在 FA 的延长线上的点 G 处，连接CG，请你在图 3 的位置画出图形，并求出的值【答案】(1)(1)SABC=S四边形 AFBD；(2)ABC 为等腰直角三角形，即：AB=AC，BAC=90,证明见解析；(3)图形见解析；sinCGF=.【解析】试题分析：(1)由平移可知 AD=BE，从而可得 SDBE=SDFA，SABC=SDFE，SDFE=SDFB+SDBE，SABC=S四边形 AFBD；（2）若四边形 AFBD 是正方形，则AFB=90，AF=BF，又 CF=BF，从而可知第 13 页 共 20 页AF=AF=BF，从而可得BAC=90，AB=AC；（3）由（2）知，ABC 为等腰直角三角形,从而可知 GF=2CF，设 CF=,则GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,从而可求得 sinCGF=.试题解析：(1)SABC=S四边形 AFBD；(2)ABC 为等腰直角三角形，即：AB=AC，BAC=90,理由如下：为 BC 的中点，CF=BF，CF=AD，AD=BF，又ADBF，四边形 AFBD 为平行四边形，AB=AC,为 BC 的中点，AFBC，平行四边形 AFBD 为矩形，BAC=90,F 为BC 的中点，AF=BC=BF，四边形 AFBD 为正方形；(3)正确画出图形由（2）知，ABC 为等腰直角三角形,AFBC，设 CF=k，则 GF=EF=CB=2k，由勾股定理，得：CG=k,sinCGF=.考点：三角形综合题.6.（2015山东聊城,第 24 题 10 分）如图，已知 AB 是O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 切O 于点 D，过点 B 作 BE 垂直于 PD，交 PD 的延长线于点 C，连接 AD 并延长，交BE 于点 E（1）求证：AB=BE；（2）若 PA=2，cosB=，求O 半径的长第 14 页 共 20 页考点：切线的性质；解直角三角形.分析：（1）本题可连接 OD，由 PD 切O 于点 D，得到 ODPD，由于 BEPC，得到ODBE，得出ADO=E，根据等腰三角形的性质和等量代换可得结果；（2）由（1）知，ODBE，得到POD=B，根据三角函数的定义即可得到结果解答：（1）证明：连接 OD，PD 切O 于点 D，ODPD，BEPC，ODBE，ADO=E，OA=OD，OAD=ADO，OAD=E，AB=BE；（2）解：有（1）知，ODBE，POD=B，cosPOD=cosB=，在 RtPOD 中，cosPOD=，OD=OA，PO=PA+OA=2+OA，OA=3，第 15 页 共 20 页O 半径=3点评：本题考查了切线的性质，等腰三角形性质以及等边三角形的判定等知识点，正确的画出辅助线是解题的关键7.（2015 山东济宁，21，9 分）(本题满分 9 分)在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.即.利用上述结论可以求解如下题目.如：在中，若，求.解：在中，问题解决：如图，甲船以每小时海里的速度向正北方航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，且乙船从处按北偏东方向匀速直线航行，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里.（1）判断的形状，并给出证明.（2）乙船每小时航行多少海里？第 16 页 共 20 页【答案】（1）是等边三角形.（2）海里【解析】试题分析：（1）根据图形和已知可得，及，可证得是等边三角形；（2）由图可求，然后可求，由，再根据正弦定理可求解，然后根据乙船行驶的时间求出速度即可.试题解析：解：（1）是等边三角形.证明：如图，由已知，又，是等边三角形第 17 页 共 20 页（2）是等边三角形，由已知，.，在中，由正弦定理得：因此，乙船的速度的大小为（海里/小时）答：乙船每小时航行海里考点：等边三角形，正弦定理8（2015广东省,第 19 题，6 分）如图，已知锐角ABC.（1）过点 A 作 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）条件下，若 BC=5，AD=4，tanBAD=，求 DC 的长.34第 18 页 共 20 页【答案】解：（1）作图如答图所示，AD 为所作.（2）在 RtABD 中，AD=4，tanBAD=，34BDAD，解得 BD=3.344BDBC=5，DC=ADBD=53=2.【考点】尺规作图（基本作图）；解直角三角形的应用；锐角三角函数定义.【分析】（1）以点 A 为圆心画弧交 BC 于点 E、F；分别以点 E、F 为圆心，大于长为半径画弧，两交于点 G；12EF连接 AG，即为 BC 边的垂线 MN，交 BC 于点 D.（2）在 RtABD 中，根据正切函数定义求出 BD 的长，从而由 BC 的长，根据等量减等量差相等求出 DC 的长.9.（2015四川乐山,第 17 题 9 分）计算：【答案】第 19 页 共 20 页考点：1实数的运算；2特殊角的三角函数值10.（2015四川凉山州,第 18 题 6 分）计算：【答案】【解析】试题分析：分别利用特殊角的三角函数值以及绝对值的性质化简求出即可试题解析：原式=考点：1二次根式的混合运算；2特殊角的三角函数值11.（2015四川成都,第 15 题第 1 小题 6 分）计算：20)3(45cos4)2015(8【答案】：8 【解析】：原式2 21 2 29 8(2)解方程组：12352yxyx【答案】：12xy【解析】：两式相加得，解得，将代入第一个式子，解得，44 x1x1x2y第 20 页 共 20 页 所以方程组的解为。12xy