中考数学-圆中分类讨论问题归类举例.pdf

-1-圆中分类讨论问题归类举例圆中分类讨论问题归类举例圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，还具有旋转不变性，圆的这些特性决定了关于圆的某些问题会有多解。解答这类问题时需要按照一定的标准，分成若干种情况，逐一加以讨论。这样可以避免漏解，培养同学们分析问题、解决问题的能力。本文就近年中考题举例说明如下。一、点和圆的位置一、点和圆的位置凡涉及点与圆的位置关系问题，在没有指明其位置时，应考虑点在圆内、圆上、圆外三种可能情形。例例 1.过不在O 上的一点 A，作O 的割线，交O 于 B、C，且ABAC64，OA10，则O 的半径 R 为_。解解：依题意，点 A 与O 的位置关系有两种：（1）点 A 在O 内，如图 1，延长 AO 交O 于 F，则AERAFR1010，由相交弦定理得：RR101064所以（负值已舍去）R 2 41（2）点 A 在O 外，如图 2，此时AERAFR1010，由割线定理得：101064RR所以（负值已舍去）R 6故O 的半径 R 为或 6。2 41-2-二、点与弦的相对位置二、点与弦的相对位置例例 2.O 是ABC 的外接圆，ODBC 于 D，且BOD48，则BAC_。解：（1）点 A 和圆心 O 在弦 BC 同侧，如图 3，可求得BACBOD48 （2）点 A 和圆心 O 在弦 BC 异侧，如图 4，可求得BAC132三、弦所对的圆周角三、弦所对的圆周角例例 3.半半径为 1 的圆中有一条弦，如果它的长为，那么这条弦所对的圆周角的度数3等于_。解：弦所对的圆周角有两种情况：（1）当弦所对的圆周角的顶点在优弧上时，其圆周角为 60；（2）当弦所对的圆周角的顶点在劣弧上时，其圆周角为 120。故应填 60或 120。四、平行弦与圆心的位置四、平行弦与圆心的位置例例 4.在半径为 5cm 的O 中，弦 AB6cm，弦 CD8cm，且 ABCD，求 AB 与CD 之间的距离。分析：两平行弦与圆心的位置关系一般有两种：两弦在圆心的同侧；两弦在圆心的异侧。-3-解：过 O 作 AB、CD 的垂线，分别交 AB、CD 于点 E、F，连接 OA、OC.在 RtOAE 中，OEOAAEcm2222534()在 RtOCF 中，OFOCCFcm2222543()（1）当 AB、CD 在圆心 O 的同侧时，如图 5，AB 和 CD 之间的距离为EFcm431()（2）当 AB、CD 在圆心 O 的异侧时，如图 6，AB 和 CD 之间的距离为EFcm437()所以 AB 和 CD 之间的距离为 1cm 或 7cm。五、圆心与角的位置五、圆心与角的位置例例 5.在半径为 1 的O 中，弦 AB、AC 的长分别为和，则BAC 的度数是32_。解：如图 7，当圆心在BAC 内部时，连接 AO 并延长交O 于 E在 RtABE 中，由勾股定理得：BEAE112所以BAE30同理，在 RtCAE 中，ECAC，所以-4-EAC45，BAC 304575当圆心 O 在BAC 的外部时（BAC），由轴对称性可知：BAC453015所以BAC 为 75或 15六、点在弧上的位置六、点在弧上的位置例例 6.如图 8，在平面直角坐标系中，P 是经过 O（0，0），A（0，2），B（2，0）的圆上的一个动点（P 与 O、B 不重合），则OAB_度，OPB_度。解：依题意可知AOB 是等腰直角三角形，所以OAB45当动点 P 在上时，OABOPBOAB45当动点 P 在上时，OPB18045OB135故OPB 为 45或 135。七、相交两圆的圆心与公共弦的位置七、相交两圆的圆心与公共弦的位置例例 7.已知半径为 4 和的两圆相交，公共弦长为 4，则两圆的圆心距为2 2_。分析：相交两圆圆心的位置有在公共弦的同侧和异侧两种情况。解：如图 9、图 10，在中，Rt O AC1O CO AAC112222422 3图 8-5-在中，Rt O AC2O CO AAC2222222 222（1）当圆心在公共弦 AB 的同侧时，如图 9OO12、O OO CO C12122 32 （2）当圆心在公共弦 AB 的异侧时，如图 10OO12、O OO CO C12122 32八、直线与圆的位置八、直线与圆的位置例例 8.两两圆的半径分别为 4 和 2，如果它们的两条公切线互相垂直，求两圆的圆心距。分析：两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线互相垂直，有三种情况。解：（1）当内公切线与外公切线垂直时，如图 11，AB 切于 A，切于 B，EF 切O1O2于 E，切于 F，ABEF 于 D。O1O2由切线定理，得：O DAO DEO DBO DF11224545-6-所以，O DOO DO D1212904 22 2故有O OO DO D1212222 10（2）当内公切线垂直时，如图 12，作，交点为 E，则O ElO Dl1221，O OO EO E1212222242426 2 （3）当外公切线垂直时，如图 13，作于 G，则O ElO FlO GO E122221，.O OO GO GO EGEEF121222122224222 2