1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第二章 有 限 域 结 构,1,有限域的特征,特征的含义,无零因子含幺环的特征,:,0,或者素数,素域:,Q,和,Z/(,p,),=0,1,p,1,定理,设,F,是域,P,是,F,的素域,.,若,char,F,=,p,则,P,Z/(,p,).,若,char,F,=0,则,P,Q.,有限域的特征是素数,无限域的特征一定是,0,吗?,2,
2、有限域的元素个数,特征为,p,的有限域,F,都是,F,p,上的有限(维数)扩张。,|,F,|=,p,n,n,=,F,:F,p,.,任意给定素数,p,和正整数,n,是否一定存在,p,n,元有限域?,如何构造有限域?,3,有限域的存在性与唯一性,存在性,定理,对每个素数,p,和每个整数,n,存在,p,n,元有限域,.,证明,q,=,p,n,F,是,x,q,x,在,F,p,上的分裂域,.,S,=,a,F,|,a,q,a,=0,S=F,.,4,唯一性,定理,设,F,是,q,=,p,n,元有限域,则,F,是同构于,x,q,x,在,F,p,上的分裂域,.,q,元有限域记为,F,q,Characteriza
3、tion of Finite Fields,5,子域的存在唯一性,定理,设,q,=,p,n,若,E,是,F,q,的子域,则,|,E,|=,p,m,其中,m,是,n,的正因子;反之,,若,m,是,n,的正因子,则,F,q,有,唯一,的,p,m,元子域。,例:,F,2,30,的全体子域,6,设,f,(,x,),是,F,p,上的,n,次不可约多项式,F,p,x,中的同余关系,a,(,x,),b,(,x,)mod,f,(,x,),f,(,x,),|,a,(,x,),b,(,x,),over,F,p,任意给定的,g,(,x,),F,p,x,与,F,p,x,中某个次数小于,n,的多项式(包括,0,)同余,
4、g,(,x,)=,f,(,x,),q,(,x,)+,r,(,x,),r,(,x,)=0,或,deg(,r,(,x,),n,g,(,x,),r,(,x,)mod,f,(,x,),F,p,x,模,f,(,x,),的全体两两不同余的代表元为,r,(,x,),F,p,x,|,r,(,x,)=0,或,deg(,r,(,x,),n,p,n,7,设,f,(,x,),是,F,p,上的,n,次不可约多项式,F,=,r,(,x,),F,p,x,|,r,(,x,)=0,或,deg(,r,(,x,),n,多项式的加,:,g,(,x,)+,h,(,x,),模,f,(,x,),的乘法,:,g,(,x,),h,(,x,)(
5、mod,f,(,x,),是否域?,F,关于加法构成群,F,0,关于乘法构成群,F,是,p,n,元有限域,F,p,x,/(,f,(,x,),F,8,16,元有限域,F,2,4,f,(,x,)=,x,4,+,x,+1,是,F,2,上的不可约多项式,F,=,(,0,1,x,x,+1,x,2,x,2,+1,x,2,+,x,x,2,+,x,+1,x,3,x,3,+1,x,3,+,x,x,3,+,x,+1,x,3,+,x,2,x,3,+,x,2,+1,x,3,+,x,2,+,x,x,3,+,x,2,+1,+,mod,f,(,x,),),F,2,x,/(,x,4,+,x,+1),F,(,x,2,+,x,)+
6、x,3,+,x,+1)=,x,3,+,x,2,+1,(,x,2,+,x,),(,x,3,+,x,+1)=,x,3,+,x,2,+,x,+1,9,16,元有限域,F,2,4,f,(,x,)=,x,4,+,x,+1,是,F,2,上的不可约多项式,g,(,x,)=,x,4,+,x,3,+1,是,F,2,上的不可约多项式,F,2,x,/(,f,(,x,),F,2,x,/(,g,(,x,),能否给出同构映射?(,作业,),10,F,p,上,n,次不可约多项式的存在性,定理,记有限域,F,q,的全体非零元,F,q,*,,则,F,q,*,关于乘法运算是循环群,.,11,F,p,上,n,次不可约多项式的
7、存在性,定理,记有限域,F,q,的全体非零元,F,q,*,,则,F,q,*,关于乘法运算是循环群,.,证明,ord(,1,2,n,)=,q,1,12,本原元(,primitive element,),乘法群,F,q,*,的生成元称为,F,q,中的本原元。,F,q,中有,(,q,1),个,本原元,13,F,p,上,n,次不可约多项式的存在性,定理,设有限域,F,r,是,F,q,的扩域,则,F,r,是,F,q,上的单代数扩张。,推论,存在,F,p,上的,n,次不可约多项式。,14,不可约多项式的根,元素,F,q,n,在,F,q,上的极小多项式,:,首一,不可约,设,f,(,x,),是,F,q,上的
8、n,次不可约多项式,,是,f,(,x,),在,F,q,扩域上的根,(,问,:,是否有重根,?,),f,(,x,),的全体根,q,q,2,q,n,1,F,q,(,),是,q,n,元有限域,F,q,(,),F,q,n,是,f,(,x,),的分裂域,F,q,上的,n,次不可约多项式的分裂域同构,F,q,n,15,共轭元,设,F,q,m,是,F,q,的扩张,F,q,m,则,q,q,2,q,m,1,称为,关于,F,q,的共轭元。,注:,设,F,q,m,则,关于,F,q,的共轭元两两不同当且仅当,在,F,q,上的极小多项式次数等于,m,。,注:若,d,是,m,的因子,关于,F,q,共轭元的不同元素为,q
9、q,2,q,d,1,每个元素重复,m,/,d,次,.,16,共轭元,定理,设,F,q,m,是,F,q,的扩张,F,q,m,则,关于,F,q,的共轭元在乘法群,F,q,*,中有相同的阶。,推论,若,F,q,m,是,F,q,m,中的本原元,则,关于,F,q,的共轭元都是,F,q,m,中的本原元。,17,F,q,m,的,F,q,-,自同构,若,是,F,q,m,的自同构并且对于,a,F,q,有,(,a,)=,a,则称是,F,q,m,的,F,q,-,自同构。,18,F,q,m,的,F,q,-,自同构,定理,F,q,m,的全体不同的,F,q,-,自同构为,0,1,m,1,其,j,(,)=,q,j,F,q,m,0,j,m,1.,证明,验证,j,是,F,q,m,的,F,q,-,自同构,说明,0,1,m,1,两两不同,若,是,F,q,m,的,F,q,-,自同构,则,0,1,m,1,19,F,q,m,的,F,q,-,自同构,定理,F,q,m,的全体不同的,F,q,-,自同构为,0,1,m,1,其,j,(,)=,q,j,F,q,m,0,j,m,1.,0,1,m,1,是循环群,生成元为,1,Gal(F,q,m,/F,q,)=,0,1,m,1,20,






