数学物理方法第5章傅里叶变换.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,5,章 傅里,(,立）叶,(,Fourier,),变换,让,巴普蒂斯,约瑟夫,傅立叶（,1768 1830,）,（,Jean,Baptiste,Joseph Fourier,）,法国著名数学家、物理学家，,1817,年当选为科学院院士，,1822,年任该院终身秘书，,后又任法兰西学院终身秘书和理工科大学校务委员会主席，,主要贡献：,1.,在研究,热的传播,时创立了一套数学理论,2.,最早使用,定积分,符号，改进了代数方程符号法则的证法和实根,个数的判别法等，,3.,傅立叶变换,的基本思想首先由傅里叶提出傅里叶,(,Fourier,),生平简介,傅立叶生于法国中部欧塞尔（,Auxerre,）一个裁缝家庭，,9,岁时沦为孤儿，被当地一主教收养。,1780:,读于地方军校，,1795,年任巴黎综合工科大学助教，,1798:,随拿破仑军队远征埃及，任军中文书和埃及研究院秘书，,受到拿破仑器重，,1801:,伊泽尔省格伦诺布尔地方长官，,1807:,热传导的论文,热的传播,，呈交巴黎科学院，但经,拉格,朗日、拉普拉斯和勒让德,审阅后被拒绝，,1811:,提交经修,改的论文，该文获科学院大奖，却未发表,推导出著名的热传导方程，并在求解该方程时发现解函数可以由三角函数构成的级数表示，从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数,1817:,当选为巴黎科学院院士,1822:,专著,热的解析理论,1822:,科学院终身秘书,傅里叶,(,Fourier,),傅里叶变换在物理学、数论、组合数学、信号处理、概率、统计、密码学、声学、光学等领域都有着广泛的应用。,1.,傅里叶级数，,2.,傅里叶积分与变换,3.Delta,函数,（一）周期函数的傅里叶展开,这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景,三角函数族：,周期,2,l 0,5.1,傅里叶级数,偶函数,奇函数,？,最小正周期：,2,l l ,.,2l/k,.,最小正周期：,2,l,三角函数族：,正交性,三角函数族：正交性,1,：利用三角恒等式,cos,(,x+y,)=,cosx,coy sin x sin y,cos,(,x-y,)=,cosx,coy+sin x sin y,2.,转化为复数证明,3.,微分方程的解,7,其中,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于,f,(,x,),。,8,三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于,f,(,x,),。,9,10,狄里希利,(,狄里克雷,D,irichlet,),定理：,若函数,f,(,z,),满足条件：,(1),处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；,(2),在每个周期内只有有限个极值点，则三角级数收敛，且,级数和,第一类间断点,:,函数在间断点处左右极限存在但不相等。,11,（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开,是奇函数,是偶函数,奇函数,f,(,z,),有,偶函数,f,(,z,),有,12,（三）有限区间中的函数的傅里叶展开,f,(,x,),定义于,(,0,l,),可以认为它是某个周期为,2l,的函数在半个周期中的部分。即令此周期函数为,g,(,x,),在半周期,(0,l,),中,g,(,x,)=,f,(,x,),这种做法叫,延拓,。,例,偶延拓,奇延拓,13,（四）复数形式的傅里叶展开,其中,14,例,1,：,例,2,：,X=pi,15,傅里叶展开与洛朗展开的关系,若,f,(,z,),在环域,内解析，其洛朗展开,若,(,),在区间,0,2,连续且为,2,的周期函数，其傅里叶级数为,16,令：,则,若 有限，则,5.2,傅里叶积分与傅里叶变换,（一）实函数的傅里叶变换,17,余弦部分,正弦部分,故,其中,18,傅里叶积分定理：若函数,f(x,),在区间,(-,，,+),上满足条件,(1),在任意有限区间满足狄里希利条件；,(2),在区间,(-,，,+,),上绝对可积（即 收敛），则,f(x,),可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值,=,19,为振幅谱,为相位谱,奇、偶函数,偶函数,奇函数,cos(x-y,)=,cos,x,cos,y+sin x sin y,20,例,定义矩形函数为,(1),矩形函数（,rectangle function),x,时间：光学中描述照相机快门，,x,空间：无限大不透明屏上的单缝的透过率,21,例,(1),矩形函数（,rectangle function),22,例,定义矩形函数为,将矩形脉冲 展开作傅里叶积分。,偶函数,(1),23,24,25,26,（二）复数形式的傅里叶积分,|w|=-w,27,像函数,原函数,注意：变换和反变换的不同形式,28,例,2,例,1,29,(1),导数定理,（三）傅里叶变换的基本性质,31,(2),积分定理,(3),相似性定理,(4),延迟定理,(5),位移定理,(6),卷积定理,若,和,则,卷积,（三）傅里叶变换的基本性质,多重 傅里叶变换,（,2,）高斯函数傅里叶变换,令,则,问题来源？,问,解析延拓，取,34,-R,R,直接计算,35,$5.3,函数,36,数学上可以将无限小的范围看作有限大小范围的极限,一维,考虑线质量密度,l,总质量,的极限下总质量不变,密度,广义函数,函数定义（,2,条）,:,37,性质,(1),偶函数,从图形可以看出,(2),阶跃函数或亥维赛单位函数,(3),挑选函数：,对连续函数 ：,38,(3),挑选函数：,对连续函数 ：,39,(4),复合函数,若 的实根 全部是单根，则,40,证明：按定义,在第,n,个根附近积分,例,41,函数,是一种广义函数,42,函数：,狄拉克,保罗,狄拉克,Paul,Adrien,Maurice Dirac,，（,1902,年,8,月,8,日,1984,年,10,月,20,日），英国理论物理学家，量子力学的奠基者之一，并对量子电动力学早期的发展作出重要贡献。曾经主持剑桥大学的卢卡斯数学教授席位。,他,1926,给出的狄拉克方程可以描述费米子的物理行为，并且预测了反物质的存在。,1933,年，因为“发现了在原子理论里很有用的新形式”（即量子力学的基本方程,-,薛定谔方程和狄拉克方程），狄拉克和埃尔温,薛定谔共同获得了诺贝尔物理学奖。,43,函数,是一种广义函数,-1,：,44,函数,是一种广义函数,2,实轴上留数,45,函数,是一种广义函数,3,46,函数的,傅里叶变换,47,从极限过程理解,-1,：,48,从极限过程理解,-2,：,例：将函数,表示成傅里叶积分，并证明,多维,函数,49,阶跃函数的傅里叶变换,不满足傅立叶积分定理，不能直接给出其傅立叶变换，必须采用极限处理,事实上自变量为,0,时的函数值在应用上并不重要，可任意取有限值。,50,阶跃函数的傅里叶变换,51,多重傅里叶积分：,函数的物理应用,：格林公式（点电荷的场分布）,证明,函数应从,积分意义理解,53,