4-5-1高斯求积公式-数值微分资料.ppt

4-5-1高斯求积公式 数值微分,一、高斯点,定义：高斯公式,机械求积公式,含有2,n,+2个待定参数,若适当选择这些参数使求积公式具有尽量高次,（2,n,+1次?!）,代数精度,，则这类公式称为,高斯公式,。,(4.1),定义：,高斯公式的求积节点称为,高斯点。,?,请回顾:,以前学过的梯形公式、辛甫生公式、柯,特斯公式、中矩形公式是高斯公式吗？,除中矩形公式外都不是！,注：,机械型高斯求积公式一定是插值求积公式。,举例,求,a,b,上的两点高斯公式。,解,设两点高斯公式为,这是关于四个未知数的非线性方程组，,是否有解？一般难于求解,要求其代数精度最高，四个未知数，可列出4个方程:,高斯点具有以下性质：,定理,插值型求积公式(4.1),成为Gauss求积公式的,充要条件,：,求积节点 为,n,+1次正交多项式的零点,。,如何求高斯公式?,正交多项式概述：,首先证明,对于任给节点,x,0,，,x,1,，,x,n,，均存在某个次数为2,n,+2的多项式,f,(,x,),机械型求积公式,不能,精确成立，即其最高代数精度不能达到,2,n,+2,。如取：,证明,则有：,设求积节点 为,n,+1次正交多项式,n,+1,(,x,),的零点,。,现证充分性。即,求积公式是高斯型。,证明,现对于任意给定的次数不超过2,n,+1的多项式,f,(,x,),用 除,f,(,x,)，记商为,P,(,x,)余式为,Q,(,x,)，,即,2,n,+1,n,+1,n,n,由已知条件，,(,x,)与,P,(,x,)正交，故得,由于所给求积公式(4.1)是插值型的，它至少具,有,n,次代数精度，故对,Q,(,x,)能准确成立：,再注意到,(,x,k,)=0，知,Q,(,x,k,)=,f,(,x,k,)，从而有,综之得：,这说明公式对一切次数不超过2,n,+1的多项式准确成立，综之说明,x,k,是,高斯点。,再证必要性，即,若是高斯求积公式,设,P,(,x,)是任意次数不超过,n,的多项式，则,P,(,x,),(,x,)的次数不超过2,n,+1，因此应准确,成立,但,故 .,求积节点构造的,注：,1、总可通过,施密特正交化,求出,a,b,上与所有次数不超过,n,的多项式都正交的多项式,n,+1,(,x,)。,2、命题：,n,次正交多项式 有,n,个单零点。,解：,设,P,0,(,x,)=,C,，,1,(,x,)=,x,x,0,。由于,即,展开，得,则一个点的高斯公式为,中矩形公式,例.求-1，1上与次数为0的多项式正交的多项式,1,(,x,)=？,二、高斯勒让得公式,若,a,b,=-1,1，其上的高斯公式为,称为,高斯-勒让得公式,。,-1，1上的正交多项式称为,勒让得多项式,，,勒让得多项式,P,n,+1,(,x,)的零点就是高斯点。,几个Legandre 多项式：,若取,P,1,(,x,)=,x,的零点,x,0,=0 作求积节点构造公式：,令它对,f,(x)=1准确成立，即可定出A,0,=2.,从而得到一点高斯公式：,中矩形公式,令它对,f,(x)=1,x,准确成立，即可定出,A,0,A,1,可得两点高斯勒让得公式为,若取 的零点 作求积节点构造公式,注：更高阶的公式见书p122。,?,请思考:,高斯勒让得公式的求积区间是-1，1，那么对于任意求积区间,a,b,如何办？,解,作变换,可以化到区间-1，1上，这时,三、带权的高斯公式,（更一般的表现形式）,有时需要求如下带权的积分：,称上述,(,x,)0是权函数。,定义：,若求积公式,具有2,n,+1次代数精度，则称这类公式为,带权的高斯公式.,高斯点,我们类似的可有：,定理,是高斯点的,充要条件：,是区间,a,b,上,带权,(,x,),正交的多项式。,若,a,b,=-1，1，权函数为,所建立的高斯公式,切比雪夫高斯公式,称为,切比雪夫高斯公式。,x,k,是切比雪夫多项式的零点。,4.7.4 Gauss-Chebyshelv quadrature formula,Remark 1 three term recurrence formula,v.s.,Schmidt orthogonolization;,Remark,2,T,n,are,perpendicular,polynomials,;,At last,well state the error estimation of the Gauss-Chebyshelv formula without the,proof,:,According to,the error estimation of the Gauss-Type formula,we have:,Consult the table in p122.,构造高斯公式的一般方法：,1、构造正交多项式，继而求其零点，再按插值求积公式获得高斯公式；,2、待定系数法,此外，还可涉及到无穷区间上的广义积分等。例如：,-拉盖尔-高斯积分,举例,要构造下列形式的高斯公式,解,则其代数精度应为,即,求解?!,定理（稳定性）,高斯求积公式的求积系数,A,k,0,.,证明：事实上,这表明高斯求积法是稳定的。,关于,积分余项,和,收敛性,有：,积分余项：,收敛性：,设,f,(,x,),C,a,b,则有：,4.1,N,umerical,D,ifferentiation,However,(i)There is no error estimation;,(ii)Are there any other numerical methods for,ND,?,How to construct them&what about error?,To answer these questions,we observe firstError Bound,Called,forward difference,&,central difference formula,.,There are also,backward difference formulas,.,Five-point formula below can be obtained similarly:,It then be called,compact form,.,For,higher order derivatives,it can also be obtained,by interpolation,like to the 1,st,order derivative using more points.,Alternately,we can obtain the formulas which are algebraically tedious,by Taylors expansion,such as:,Cf.,the results obtained by the two methods.,Balance between,round-off,&,truncated error,4.2 Richardsons Extrapolation(1927),Richardsons Extrapolation is used to generate high-accuracy results while using low-accuracy formulas.,Then combined with the formula of,N,2,(,h,)to eliminate the,h,2,term,we obtain:,Which posses higher order,truncated error,!,The geometry explanation,(For,h,0,the approximation should be accuracy):,Related topic,:,steffensens acceleration,for,convergent linearly iterative sequence.,Numerical Differentiation Revisit-,Using Extrapolation Method,The technique of Richardsons extrapolation,is also used in approximating,definite integrals,and in determining approximate solution to,differential equations,in,later,Chapters.,Summery:,We have studied,3 ways,to obtain numerical derivatives algorithms:,Lagrange,Interpolating formula;,Taylor,mean value Theorem;,Richardson,extrapolation process.,Homework(p184):5;15*,作业：,P136习题 11,此课件下载可自行编辑修改，仅供参考！感谢您的支持，我们努力做得更好！谢谢,