1、单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,第七章,非线性方程,(,组,),的数值解法,计算方法,Newton,法,弦截法、抛物线法,1,本讲内容,Newton,法及其收敛性,牛顿下山法,弦截法与抛物线法,2,Newton,法,基本思想,将非线性方程,线性化,设,x,k,是,f,(,x,)=0,的近似根，将,f,(,x,),在,x,k,处,Taylor,展开,令：,条件：,f,(,x,),0,3,Newton,法,x,y,x*,x,k,x,k,+1,4,Newton,法,算法：,(,Newton,法),(1),任取迭代初始值,x,0,(2),对,k,=1,2,.,maxit,，计
2、算,判断收敛性，若收敛，则停止计算，输出近似解,5,收敛性,k,=0,1,2,.,迭代函数,牛顿法至少二阶,局部收敛,6,举例,例：,用,Newton,法求,f,(,x,)=,x,e,x,1=0,的解,ex75.m,7,举例,例：,用,Newton,法求,f,(,x,)=,x,2,C=0,的正根,解：,对任意,x,0,0,，,总有,|,q,|1,，,即牛顿法收敛,8,牛顿,法,牛顿,的,优点,牛顿,法是目前求解非线性方程,(,组,),的主要方法,至少二阶局部收敛，收敛速度较快，特别是当迭代点充分靠近精确解时。,牛顿,的缺点,对重根收敛速度较慢（线性收敛）,对初值的选取很敏感，要求初值相当接近真
3、解,先用其它算法获取一个近似解，然后使用牛顿法,需要求导数！,9,简化的,Newton,法,线性收敛,简化的,Newton,法,基本思想：,用,f,(,x,0,),替代所有的,f,(,x,k,),10,Newton,下山法,下山因子的取法：,从,=1,开始，逐次减半，直到满足下降条件,基本思想：,要求每一步迭代满足下降条件,具体做法：,加,下山因子,Newton,下山法,保证全局收敛,11,重根情形,且,解法一,：直接使用,Newton,法,线性收敛,解法二,：改进的,Newton,法,二阶收敛,缺点：,需要知道,m,的值,重根情形,12,重根情形,令,x,*,是,(,x,)=0,的,单重根,
4、解法三,：用,Newton,法解,(,x,)=0,迭代格式：,13,举例,例：,求,x,4,-,4,x,2,4=0,的二重根,(1),普通,Newton,法,ex76.m,(2),改进的,Newton,法,(3),用,Newton,法解,(,x,)=0,14,弦截法与抛物线法,弦截法与抛物线法,目的,：避免计算,Newton,法中的导数，且具有较高的收敛性（超线性收敛）,弦截法（割线法）：,用差商代替微商,抛物线法：,用二次多项式近似,f,(,x,),15,弦截法,弦截法迭代格式：,k,=1,2,3,.,注：弦截法需要提供,两个迭代初始值,16,收敛性,定理：,设,x,*,是,f,(,x,),
5、的零点,，,f,(,x,),在,x,*,的某邻域,U,(,x,),内有二阶连续导数，且,f,(,x,),0,，若初值,x,0,，,x,1,U,(,x,),，,则当,U,(,x,),充分小时，弦截法具有,p,阶收敛性，其中,17,弦截法几何含义,x,y,x*,x,k,-,1,x,k,x,k,+1,18,抛物线法,基本思想：,用二次曲线与,x,轴的交点作为,x*,的近似值,抛物线法,19,抛物线法,y,x,k,-,2,x,k,-,1,x,k,x,k,+1,20,抛物线法,计算过程,二次曲线方程,(,三点,Newton,插值多项式,),问题：,p,2,(,x,),与,x,轴有,两个交点,，取哪个点？,解决方法：,取靠近,x,k,的那个点,!,21,抛物线法,取靠近,x,k,的那个点,22,收敛性,在一定条件下可以证明：抛物线法的收敛阶为,23,作业,教材,238,页，习题,7,教材,239,页，习题,9,、,15,24,
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