中南大学2013年高等代数.doc

中南大学
2013年硕士研究生入学考试试题
（883高等代数）
一、 （16分）设是n个互不相同的整数.证明：
不能表示成两个次数大于零的整系数多
项数之积.
二、 （16分）计算n阶行列式
其中k为正整数。
三、 （14分）设是数域F上的一个矩阵，对A施
行若干初等行变换后得到矩阵。证明：
1.向量组中的向量线性无关的充要条件是
向量组中的向量线性无关；
2.向量组中的向量满足
的充要条件是向量组
中的向量满足。
四、 （16分）设矩阵A的秩为r。
1.证明：存在m阶可逆矩阵P和n阶矩阵Q，使得，
其中为r阶单位矩阵；
2.证明：存在矩阵B和矩阵C，使得秩B=秩C=r且A=BC；
3. 设计一个用矩阵的初等变换求1.中P与Q的方法。
五、 （14分）设A,B分别为和矩阵，满足ABA=A，b是一个
m维列向量。证明：方程Ax=b有解的充要条件是ABb=b，且在
有解时，通解为，其中为n阶单位矩阵，y
为任意n维列向量。
六、 （22分）设A为n阶实对称矩阵，B为n阶实对称正定矩阵。
记的n个根为。证明：
1.都是实数；
2.存在的一组基，使得对一切i，j有
及；
3. 且。
七、 （20分）设V是数域F上2阶方阵全体所构成的线性空间，
。定义V的线性变换如下：。
1.求的值域与核的基与维数；
2.是否可对角化？若可对角化，求V的一组基，使在该组基
下的矩阵为对角形。
八、 （16分）设M是n维欧式空间V的一个子空间，是V的内
积，，记。证明：，存在唯一，
使得。
九、 （16分）设V是实数域R上n阶方阵全体所构成的线性空间，f
是V上的实值非零线性函数，满足，f(AB)=f(BA).证明
g（A，B）=f（AB）是V上的非退化双线性函数。