文举高一必修一总结复习.doc

知识清单
★ 经典例题：
集合特点、表示、元素与集合的关系、集合与集合的关系
例一、判断下列集合是否为同一个集合
① --------------不是，一个是点集，一个是数集
② --------------不是，元素范围不同
③----------不是，一个是点集，一个是数集
④------------是，元素相同，均是实数，与代表元素无关
例二、用适当的符号填空：
； ； ； ；
；
例三、若集合，且，则 【或】
解：依题，则，或，解出；
由于元素具有互异性，故舍去1。
例四、已知集合，若，则实数的取值集合为
【】
解：步骤：①在数轴上画出已知集合；
②由确定，应往左画（若为，则往右画），进而开始实验；
③得到初步试验结果；
④代入验证端点。

试验得到：，当时，由于集合也不含有4，故满足。
综上所述，。
例五、满足的集合为 【】
解：因为，因此中必须含有1这个元素。又知道
故得到。（不满足真子集的要求）
四、集合的运算
1、交集：一般地，对于两个给定集合，由属于又属于的所有元素构成的集合，叫做的交集。
核心词汇：公共的，同时成立。
记作：
读作“交”
，

交集为

在画数轴时，要注意层次感和端点的虚实！
2、交集的性质：

如果，则。
3、并集：一般地，对于两个给定集合，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做 的并集。核心词汇：合起来，可以是，也可以是。
记作：
读作“并”

只要是线下面的部分都要！

4、并集的性质：
如果，则
5、补集：如果给定的集合是全集的一个子集，由中不属于的所有元素构成的集合，叫做在中的补集。
核心词汇：非。
记作“”
读作：“在中的补集”

6、补集的性质：

★经典例题：
例一、已知集合，
则等于 【】
解：，故。

例二、设集合，，
则 【】
解：首先观察，两个集合均为数集，代表元素的不同不影响集合本身。其次范围均为整数，
故，因此取交集后，得到的结果应为。

例三、，，若，
则实数的取值范围是 【】
解：步骤：①在数轴上画出已知集合；
②由确定，应往左画若为，则往右画），进而开始实验；
③得到初步试验结果；
④验证端点。

试验得到的结果为，验证端点，当时，由于集合不含有3，满足交集为。
综上所述，的取值范围是。
例四、求满足，且的集合。
【或】
解：由于，则可以推得中必有，没有。
又有，则或

例五、集合,,若,则的值为 【4】
解：∵,,∴∴
例六、设集合，则 【】
解：表示平面上满足直线的无数点，其中。
又表示平面上满足直线上的全部点，故补集为，这组有序数对。

例七、已知集合，且，
求实数的值。【】
解：观察集合，可知，又有，则。
将0代入，得到，反解，得到或1。
由于，，则。
将代入，解得。
例八、已知集合，若，求实数的取值范围。【或】
解：①当时，方程无解，，解得或；
②当时，方程有一个解，，同时将代入，解得；
综上所述的取值范围为或。

注意：1、互异性检验2、数形结合法临界问题处理3空集优先性4三个等价：
如果，则。如果，则
期末复习函数知识点归纳
一、函数的概念与表示
构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域
函数概念注意①任一唯一：一对一或多对一；②非空数集A、B：x的范围不是空集，是空集不叫函数③对应关系：运算模式
例1、下列各对函数中，相同的是（ C ）
A、 B、
C、 D、f（x）=x，
例2、给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ C ）
A、 0个 B、 1个 C、 2个 D、3个
x
x
x
x
1
2
1
1
1
2
2
2
1
1
1
1
2
2
2
2
y
y
y
y
3
O
O
O
O

二、函数的解析式与定义域
1、求具体函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；
（5）整式函数的定义域R，奇次方根被开方数R，指数函数:指数不受限时
定义域R
（6）多个部分求交集
（7）分段函数求并集
2求抽象函数的依据：（1）定义域为单个“x”（2）位置相同范围相同
例.（05江苏卷）函数的定义域为__________
例3：
（1）
（2） 。
变式练习：，求的定义域为__________
答案：定义域，
的定义域为
函 数 解 析 式 的 六 种 求 法

1待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。
例1 设是一次函数，且，求
解：设 ，则

2配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。
例2 已知 ，求 的解析式
解：，

3、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。
例3 已知，求
解：令，则，

4、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。
形如，或已知奇偶函数间的关系用方程组法
例5 设求
解 ①
显然将换成，得：
②
解① ②联立的方程组，得：

例6 设为偶函数，为奇函数，又试求的解析式
解 为偶函数，为奇函数，

又 ① ，
用替换得：
即②
解① ②联立的方程组，得
，
5、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
例7 已知：，对于任意实数x、y，等式恒成立，求
解对于任意实数x、y，等式恒成立，
不妨令，则有
再令 得函数解析式为：
6、求谁设谁：已知设为偶函数且
求在x<0的解析式，答案：
三、函数的值域与最值
1求函数值域或最值的方法
（1）图象法
①直接画图法：适用于基本初等函数
②换元画图法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式；
③利用对勾函数画图：正比例与反比例函数相加且系数同号
④分离常数平移画图：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）；二次式的分式也可。
⑤零点去绝对值画图：含两个绝对值相加减的函数
⑥折勾函数画图： 形如的函数
（2）单调性法：利用函数的单调性求值域；说明单调性代两端
例：
1．（直接法） 答案
2．
3．（换元法）
4. 答案令
5. (分离常数法)①
②
6．(对号函数)
7. (单调性) 8.①，
②

9. (零点去绝对值)
10（折勾函数）
四．函数的奇偶性
1.定义：设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。
如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇函数。
加奇减偶，等偶反奇，奇函数“挤”出来偶函数“O”了
2.性质：
①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称,　　 y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,
②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0
③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]
④f(x)=0既奇又偶f(x)=m(m不为0)偶函数
⑤奇函数对称的区间上单调性一致，偶函数对称的区间上单调性相反
3．奇偶性的判断（求定—化简---求f(-x)---- 看f(x)与f(-x)的关系----结论，最多5步）
①看定义域是否关于原点对称　　　　　②看f(x)与f(-x)的关系
l 方法常用定义法；图象法）；及（不常用初等函数法；结论法）
1 奇偶求式已知函数是定义在上的偶函数. 当时，，则当时，
2 奇偶求值若奇函数满足，，则_______
3 奇偶与不等式、单调性、参数已知定义域为的函数是奇函数。
（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围
；
4奇偶求值

5判断奇偶

6奇偶求参

五、函数的单调性
1、函数单调性的定义：
如果对于某同一个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1＜x2时都有f(x1)＜f(x2).那么就说f(x)在 这个区间上是增函数。如果对于某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2，当x1＜x2时都有f(x1)＞f(x2).那么就是f(x)在这个区间上是减函数。
同增异减（不等号方向）
函数的单调性通常也可以以下列形式表达（等价形式）： 当的时候，函数单调递增当； 的时候，函数单调递减
2复合函数：同增异减（单调性）
设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。
注意：
（1）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；
（2）必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1区间无法判断f(x1) 与f(x2)大小，也不能判断单调性．
（3）函数的单调性同向增异向减，复合函数的单调性相同增相异减
（4）多个函数单调区间不可用“并”用逗号隔开
（5）单个的点、常数函数不具有单调性，有意义的可用开区间也可用闭区间，无意义的只能用开区间
（6）作差变形时化成最简，常可以直接利用所设x1，x2的大小关系
(7)常见结论：增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数，增函数--减函数=增函数
减函数---增函数=减函数,---增函数=减函数,--减函数=增函数, 增函数的倒数=减函数
减函数的倒数=增函数
（8）基本初等函数：一次函数、反比例函数看K；二次函数看开口与对称轴、
指数函数、对数函数看a,幂函数看阿尔法
l 方法：（图像法，定义法、基本初等函数法、结论法）
1判或证明单调性定义证明函数的单调性 答案略
2单调性解不等式函数对任意的，都有，并且当时，，
⑴ 证：在上是增函数； ⑵若，解不等式

3求单调区间（复合法、图象法、基本初等函数法、结论法：）
函数的单调增区间是________答案
4单调与参数已知是上的减函数，那么的取值范围是 （ ）答案C
（A） （B） （C） （D）
5抽象函数单调性

6抽象函数与含奇偶单调性已知函数f(x)为奇函数且在为增函数，证明函数f(x)在上为增函数

7抽象函数与含奇偶单调性已知函数f(x)为偶函数且在为增函数，证明函数f(x)在上为减函数

8单调性与参数

答案（1）3（2）（3）（4）4
9综合运用
例1已知函数 （1）求的定义域; （2）证明函数是奇函数。
判断并证明在定义域内的单调性。

七．二次函数(涉及二次函数问题必画图分析)
1．二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴，顶点坐标
一元二次不等式的解集(a>0)
2．元二次不等式，二次项系数为正，大于取两边，小于取中间
3、闭区间上二次函数的最值问题：
是分类讨论，数形结合，函数方程，转化思想的四个数学思想，一般来说首先考虑开口方向。
设，求在上的最大值与最小值。画局部图象，（顶点为、对称轴为）
当，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值：
最小值：所求最值若对称轴能取得讨论：讨论对称轴与区间端点值的大小，讨论三步
最大值：所求最值若对称轴不能取得讨论对称轴与区间中点比较进行分类讨论，讨论二步
（1）当时，的最大值是；
（2）当时，的最大值是；
当时，可类比得结论。
例：1（1）设求函数的最小值的解析式。（提示讨论三步）函数的最大值（提示讨论两步）
（2）已知函数在区间上的最小值是3最大值是3，求，的值

4、二次方程根分布问题：
从三个方面进行分析：（1）（有不等实数根）；（2）对称轴；（3）端点的函数值
例：2（1）已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围.（答案）
(2) 方程有一根大于1，另一根小于1，求实根m的取值范围是（答案）
(3)已知关于x的方程至少有一个根在区间(1, 2)内，求实数m的取值范围.
八．指数式与对数式
1．幂的有关概念
(1)零指数幂
(2)负整数指数幂
(3)正分数指数幂；
(4)负分数指数幂
(5) 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.
2．指数幂的运算性质

3．根式 根式的性质:当是奇数，则；当是偶数，则
4．对数
(1)对数的概念: ①如果,那么b叫做以a为底N的对数,记
(2)对数的性质：②零与负数没有对数 ③ ④
(3)对数的运算性质
⑤logMN=logM+logN ⑥
⑦
对数换底公式：⑧
l 例：
(1) (2)
九．指数函数与对数函数
1、指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)互为反函数
名称
指数函数
对数函数
一般形式
y=ax (a>0且a≠1)
y=logax (a>0 , a≠1)
定义域
(∞,+ ∞)
(0,+ ∞)
值域
(0,+ ∞)
(-∞,+ ∞)
过定点
（0，1）
（1，0）
图象
指数函数y=ax与对数函数y=logax (a>0 , a≠1)图象关于y=x对称

单调性
a>1,在(-∞,+ ∞)上为增函数
01,在(0,+ ∞)上为增函数
0
记住下列特殊值为底数的函数图象，研究指数，对数函数问题，尽量化为同底，并注意对数问题中的定义域限制。
例：（1）已知，，，，则比较，，， 的大小d>a>b>c
（2）设，，，则，，从小到大排列为
b>a>c
（3）在, , 这三个数中最大的是
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3、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题，讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径。
4、指对数函数的图像与性质：

十．幂函数
1、幂函数定义：形如的函数称为幂函数，其中是自变量，是常数。
例：（1）下列函数是幂函数的是（D ）
A．yx B.y=3x C.y=x+1 D.y=x
（2）已知函数是幂函数，求此函数的解析式．

2、幂函数的性质
归纳：幂函数在第一象限的性质：
，图像过定点（0,0）（1,1），在区间（）上单调递增。
，图像过定点（1,1），在区间（）上单调递减。
整数m,n的奇偶与幂函数 ，的定义域以及奇偶性有什么关系？
结果：形如的幂函数的奇偶性
（1）当m，n都为奇数时，f（x）为奇函数，图象关于原点对称；
（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；
（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.
3、幂函数的图像画法：
关键先画第一象限，然后根据奇偶性和定义域画其它象限。
指数大于1,在第一象限为抛物线型（立式）；
指数等于1,在第一象限为上升的射线；（平分式）
指数大于0小于1,在第一象限为抛物线型（卧式）；
指数等于0,在第一象限为水平的射线；（水平式）
指数小于0,在第一象限为双曲线型；（渐进式）
例：
1、（1）的定义域为_______；（2）的值域为_________；

（3）的递增区间为，值域为
2、（1），则
3、要使函数在上恒成立。求的取值范围。
答案
4.若a2x+·ax－≤0（a＞0且a≠1），求y=2a2x－3·ax+4的值域.（3,4）
十一．函数的图象变换
（1） 　1、平移变换：（左+ 右- ，上+ 下- ）即

① 对称变换：（对称谁，谁不变，对称原点都要变）

l 例：
1．作出下列函数的简图：
（1）； （2）y=|2x-1|； （3） y=2|x|；
十二、指数函数、对数函数、幂函数比较对照

指数函数
对数函数
幂函数
下列哪些函数是指数函数

比较下列数的大小

比较下列数的大小

比较下列数的大小

求定点

求定点

求定点

定义域

定义域

定义域

单调性（单调区间）

单调性（单调区间）

单调性（单调区间）

奇偶性

奇偶性

奇偶性

最值

最值

最值

方程

方程

方程

不等式

函数的零点
方程的根
两函数的交点
求零点
求根

判个数
判根的个数

判区间

求参数

零点、交点、根总结

十四函数应用题
21. （本小题满分12分）
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时,两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元(如图).

(1)分别写出两种产品的收益与投资额的函数关系.
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎么分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?

21.解：(1)设
由图知 ，
即 (x≥0), (x≥0).
(2)设投资债券类产品x万元,则股票类投资为(20-x)万元.
依题意得:
(0≤x≤20),
令 ，则
则,
所以当t=2,即x=16万元时,收益最大,ymax=3万元.
22. （本小题满分12分
如图(1)所示，在边长为4的正方形ABCD边上有一点P，沿着折线BCDA，由点B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.
求：(1)y与x之间的函数关系式．
(2)画出y＝f(x)的图象．

22.　(1)当点P在BC上，即0≤x≤4时，S△ABP＝×4x＝2x，
当点P在CD上，即4