数列综合测试题(高一).doc

数列综合测试题
(时间：100分钟　满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在等比数列{an}中，如果a6＝6，a9＝9，那么a3为 (　　)．
A．4 B. C. D．2
解析　在等比数列{an}中，a3，a6，a9也成等比数列∴a62＝a3a9，∴a3＝＝4.
答案　A
2．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a3＝32，a11＋a12＋a13＝118，则a4＋a10等于 (　　)．
A．45 B．50 C．75 D．60

解析　由已知：a1＋a2＋a3＋a11＋a12＋a13＝150，∴3(a1＋a13)＝150，∴a1＋a13＝50.
∵a4＋a10＝a1＋a13，∴a4＋a10＝50.
答案　B
3．计算机的成本不断降低，若每隔5年计算机价格降低，现在的价格是8 100元的计算机，则15年后，价格降低为 (　　)．
A．2 200元 B．900元 C．2 400元 D．3 600元
解析　价格降了3次，则价格降为8 100×3＝2 400.
答案　C
4．(2011·天津一中月考)在数列{an}中，a3＝2，a7＝1，如果数列是等差数列，那么a11等于 (　　)．
A. B. C. D．1
解析　设bn＝，则数列{bn}是等差数列，由等差数列的性质可知b3，b7，b11成等差数列，又b3＝＝，b7＝＝，所以b11＝2b7－b3＝，所以＝，解得a11＝.
答案　B
5．设an＝－n2＋10n＋11，则数列{an}前n项的和最大时n的值为 (　　)．
A．10 B．11 C．10或11 D．12
解析　令an≥0得n2－10n－11≤0，∴1≤n≤11.
即1≤n≤10时，an>0，当n≥12时，an≤0，而a11＝0，
故前10项和等于前11项和，它们都最大．
答案　C
6．在等比数列{an}中，若an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5的值为 (　　)．
A．16 B．81 C．36 D．27
解析　⇒∴a4＋a5＝×33＋×34＝27.
答案　D
7．(2011·辽宁卷)若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为 (　　)．
A．2 B．4 C．8 D．16
解析　由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.
∵a1a2＝a12q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.
答案　B
8．在等比数列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，则a10的值为 (　　)．
A．3×10－5 B．3×29 C．128 D．3×2－5或3×29
解析　∵a2＝，a4＝a3q，∴a2＝，a4＝12q.∴＋12q＝30，即2q2－5q＋2＝0.
∴q＝或q＝2.当q＝时，a2＝24，∴a10＝a2q8＝24×8＝3×2－5；
当q＝2时，a2＝6，∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.
答案　D
9．在等差数列{an}中，设公差为d，若前n项和为Sn＝－n2，则通项和公差分别为 (　　)．
A．an＝2n－1，d＝－2 B．an＝2n－1，d＝2
C．an＝－2n＋1，d＝－2 D．an＝－2n＋1，d＝2
解析　an＝Sn－Sn－1＝－n2－[－(n－1)2]＝－2n＋1(n>1，n∈N*)．当n＝1时，a1＝S1＝
－1满足上式，显然d＝－2.
答案　C

10．在数列{xn}中，＝＋(n≥2)，且x2＝，x4＝，则x10等于 (　　)．
A. B. C. D.
解析　由已知得数列是等差数列，设该数列的公差为d，∴－＝2d＝1，∴d＝，∴＝＋(10－2)×d＝＝，∴x10＝.
答案　A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上)
11．若数列{an}是等差数列，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的两根，则a5＋a8＝________.
解析　∵数列{an}为等差数列，∴a3＋a10＝a5＋a8.∵a3＋a10＝3，∴a5＋a8＝3.
答案　3
12．已知等差数列{an}，公差d≠0，a1，a3，a4成等比数列，则＝________.
解析　由题意得(a1＋2d)2＝a1(a1＋3d)，∵d≠0，∴a1＝－4d，∴an＝－4d＋(n－1)d，
即an＝(n－5)d，∴＝＝.
答案　
13．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．
已知数列{an}是等和数列，且a1＝－1，公和为1，那么这个数列的前2 011项和S2 011＝________.
解析　a1＝－1，a2＝2，a3＝－1，a4＝2，…，
∴a2 011＝－1，∴S2 011＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 009＋a2 010)＋a2 011＝1 005×1＋(－1)＝1 004.
答案　1 004
14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．
1
2　3
4　5　6
7　8　9　10
11　12　13　14　15
根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．
解析　该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为＝－，则第n行从左至右的第3个数为－＋3.
答案　－＋3
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知{an}为等差数列，且a3＝－6，a6＝0.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若等比数列{bn}满足b1＝－8，b2＝a1＋a2＋a3，求{bn}的前n项和公式．
解　(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a3＝－6，a6＝0，
所以解得a1＝－10，d＝2.所以an＝－10＋(n－1)×2＝2n－12.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b2＝a1＋a2＋a3＝－24，b1＝－8，
所以－8q＝－24，q＝3.所以数列{bn}的前n项和公式为
Sn＝＝4(1－3n)．
16．(10分)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
(1)证明　∵an＋2＝3an＋1－2an，∴an＋2－an＋1＝2(an＋1－an)，∴＝2.
∵a1＝1，a2＝3，∴{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．
(2)解　由(1)得an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝2n－1.
故数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
17．(10分)已知点(1,2)是函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)的图象上一点，数列{an}的前n项和Sn＝f(n)－1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝logaan＋1，求数列{anbn}的前n项和Tn.
解　(1)把点(1,2)代入函数f(x)＝ax得a＝2，
所以数列{an}的前n项和为Sn＝f(n)－1＝2n－1.
当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，
对n＝1时也适合，∴an＝2n－1.
(2)由a＝2，bn＝logaan＋1得bn＝n，所以anbn＝n·2n－1.
Tn＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n·2n－1，①
2Tn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.②
由①－②得：－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，
所以Tn＝(n－1)2n＋1.
18．(12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)当bn＝log(3an＋1)时，求证：数列的前n项和Tn＝.
(1)解　由已知(n≥2)，得an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2×n－2(n≥2)．∴an＝
(2)证明　bn＝log(3an＋1)＝log＝n.∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
19．(12分)已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d>0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(n∈N*)，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，是否存在最大的整数t，使得对任意的n均有Sn>总成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．
解　(1)由题意得(a1＋d)(a1＋13d)＝(a1＋4d)2，整理得2a1d＝d2.
∵a1＝1，解得(d＝0舍)，d＝2.∴an＝2n－1(n∈N*)．
(2)bn＝＝＝，
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＝＝.
假设存在整数t满足Sn>总成立，又Sn＋1－Sn＝－＝>0，
∴数列{Sn}是单调递增的．∴S1＝为Sn的最小值，故<，即t<9.
又∵t∈N*，
∴适合条件的t的最大值为8.

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