小升初几何专项样本.doc

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小升初　几何专题
几何( 一) 平面图形
一、 知识地图

二、 基础知识
小学奥数的平面几何问题, 是以等积变形为主导思想, 结合五大模型的变化应用, 交织而成。攻克奥数平面几何, 一定要从等积变形开始。
1、 等积变形。
等积变形, 它的特点是利用面积相等而进行相互转换, 面积相等的两个图形我们就称之为等积形。我们所研究的等积变形, 更多的是三角形的等积变形, 三角形等积变形的中心思想是等底等高, 因为三角形的面积=底×高÷2, 因此说等底等高的两个三角形面积相等。另外, 等底等高的平行四边形、 梯形( 梯形等底应理解为两底和相等) 的面积也相等。在实际中, 我们经常见到的与等积变形相关的性质主要有以下几点:
﹙1﹚直线平行于, 可知;
反之, 如果, 则可知直线平行于。

( 因为平行线间的距离是处处相等的哦! , 聪明的你想到了吗? )
﹙2﹚两个三角形高相等, 面积比等于它们的底之比;
两个三角形底相等, 面积比等于它们的高之比;
特别地, 我们有 等腰三角形底边上的高线平分三角形面积
三角形一边上的中线平分这个三角形的面积。
平行四边形的对角线平分它的面积

﹙3﹚共边定理: 若△和△的公共边所在直线与直线交于, 则;

﹙4﹚共角定理: 在△和△中, 若或, 则。

﹙5﹚过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行, 所分得的四个小矩形, 其面积满足: 。

﹙6﹚E为矩形ABCD内部的任意一点, 则
; 当E落在矩形的某条边上时, 也成立。
特别地, ( 5) ( 6) 两条性质对于平行四边形同样成立。

2、 五大模型。
我们把学习中经常遇到的问题归纳为五个基本的模型, 总的来说, 这五个基本模型都是用来解决三角形边与面积之间关系互相转换的问题。让我们一起来感受一下模型的魅力吧!
模型一: 在同一三角形中, 相应面积与底成正比关系:
即: 两个三角形高相等, 面积之比等于对应底边之比。
或: 两个三角形底相等, 面积之比等于对应的高之比。

S1︰S2 =a︰b ;

拓展: 等分点结论( ”鸟头定理”)

如图, 三角形AED占三角形ABC面积的×=

鸟头定理是对模型一的一个拓展, 有兴趣的话, 你能够试着证明一下哦!

模型二: 任意四边形中的比例关系 ( ”蝴蝶定理”)

①S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4
②AO︰OC=( S1+S2) ︰( S4+S3)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。构造模型, 一方面我们能够使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系, 另一方面, 我们也能够得到与面积对应的对角线的比例关系。

模型三: 梯形中比例关系( ”梯形蝴蝶定理”)

①S1︰S3=a2︰b2
②S1︰S3︰S2︰S4= a2︰b2︰ab︰ab ;
③S的对应份数为( a+b) 2

梯形蝴蝶定理, 给我们提供了解决梯形面积与上下底之间关系互相转换的渠道。构造模型, 直接应用结论, 往往有事半功倍的效果。

模型四: 相似三角形性质
_
h
_
h
_
H
_
c

_
b
_
a
_
C
_
B
_
A
_
a
_
c
_
b
_
H
_
C
_
B
_
A
_
S1
_
S2

① ;
②S1︰S2=a2︰A2
所谓的相似三角形, 就是形状相同, 大小不同的三角形, ( 只要其形状不改变, 不论大小怎样改变她们都相似) , 与相似三角形相关, 常见的性质及定理如下:
﹙1﹚相似三角形的对应角相等, 对应边成比例。
﹙2﹚相似三角形的一切对应线段( 对应高、 对应中线、 对应角平分线、 外接圆半径、 内切圆半径等) 的比等于它们的相似比。
﹙3﹚相似三角形周长的比等于它们的相似比。
﹙4﹚相似三角形面积的比等于它们相似比的平方。 
﹙5﹚特别的, 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线。关于三角形的中位线我们有这样一个结论:
三角形中位线定理: 三角形的中位线长等于她所对应的底边长的一半。
对于梯形, 我们也有类似的结论。连接梯形两腰得到的线段我们叫做梯形的中位线。
梯形的中位线长等于它上下底边之和的一半。
﹙6﹚那么如何判断三角形是不是相似呢? 我们一般有三种方法:
a: 三个角对应相等的三角形相似, ( 事实上只要有两个角相等就能够了) 。
b: 有两边对应成比例且其两条边的夹角相等的三角形相似。
c: 三边分别对应成比例的三角形相似。
注意: 在小学奥数里, 最多出现的情况是因为两条平行线而出现相似三角形, 如模型四。
相似三角形模型, 给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。

模型五: 燕尾定理

S△ABG: S△AGC＝S△BGE: S△EGC＝BE: EC;
S△BGA: S△BGC＝S△AGF: S△FGC＝AF: FC;
S△AGC: S△BCG＝S△ADG: S△DGB＝AD: DB;

燕尾定理因为图形类似燕尾而得名, 它的特殊性在于, 它能够存在于任何一个三角形之中, 为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。

3、 计算过程中连接辅助线的四个原则。

几何作为数形结合的学科, 图形的运用往往在解题过程中起到至关重要的作用。在小学阶段的平面几何学习中, 我们在运用图形连接辅助线时一般遵循以下四个原则:
﹙1﹚ 把四边形或者多边形变为三角形, 例如:

﹙2﹚ 连接等分点, 例如:

﹙3﹚ 构造模型, 例如:

﹙4﹚做高线, 构造直角三角形

三、 经典透析
【例1】( ☆☆☆) 如下左图。将三角形ABC的BA边延长1倍到D, CB边延长2倍到E, AC边延长3倍到F。如果三角形ABC的面积等于1, 那么三角形DEF的面积是_____。

审题要点: 题目中给出的已知条件都是边的倍比关系, 其余的条件中只有一个三角形ABC的面积是已知, 要想办法使已知条件能够相互关联, 使边的倍比关系能够转化为面积之比, 能够选择模型一应用。
详解过程:
解: 连结AE、 BF、 CD( 如上右图)
由EB=2BC, 得S△ABE=2。
同理可得S△AED=2
S△BEF=2×S△CBF =6。
S△CFD =3×S△ACD =3。
因此 S△DEF= 1+2+3+1+2+6+3=18。
专家点评: 这是北京市第一届”迎春杯”刊赛第32题, 非常经典。解题过程中经过连接AE、 BF、 CD, 使题目中所给的边的倍比关系能够构造模型一相互关联, 再经过共高三角形面积与相应底边之间的对应比例关系求解。

【例2】( ☆☆☆) 设, , , 如果三角形的面积为19平方厘米, 那么三角形的面积是_________平方厘米。

审题要点: 和【例1】类似, 题目已知条件中边的倍比关系比较多, 能够考虑应用模型一。
解:

S△ABC=(++) S△ABC+19
∴
专家点评: 这是 小学数学奥林匹克A卷的, 其实竞赛题不一定都是很难, 特别是平面几何部分, 但她们十之八九都是很巧妙的, 拿这道题来说, 图形长得很普通, 而题目当中又给了那么多的倍比关系, 那我们是不是能够考虑构造模型一呢? 整体看, , 除了, 其余三个我们能够直接用”鸟头定理”。鸟头定理也是本题的一个中心考点。

【例3】( ☆☆☆) 四边形的对角线与交于点( 如图) 所示。如果三角形的面积等于三角形的面积的, 且, , 那么的长度是的长度的_________倍。

审题要点: 在本题中四边形ABCD为任意四边形, 且出现S△ABD: S△BCD=1: 3。联想模型二蝴蝶定理结论。
详解过程:

解法一:
∴
∴

解法二:
∵
∴
∴
∴
∴
∴

专家点评: 本题是 北京市第十九届小学生”迎春杯”数学竞赛的试题。在本题中, 三角形和三角形的面积之比如何转化是关键。方法一直接应用模型二蝴蝶定理的结论, 而我们也能够不应用蝴蝶定理, 那么观察题目中给出的已知条件是面积的关系, 转化为边的关系, 我们需要一个中介, 于是做垂直于H, 于, 面积比转化为高之比。再应用模型一的结论: 三角形高相同, 则面积之比等于底边之比, 得出AO=CO。

【例4】: ( ☆☆☆☆) 如下图所示, AE︰EC＝1︰2, CD︰DB＝1︰4, BF︰FA＝1︰3,
三角形ABC的面积等于1, 那么四边形AFHG的面积是__________。

审题要点: 四边形AFHG的面积能够看作是三角形ABC的面积减去三角形BEC的面积再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积得到的。如何把三角形边的倍比关系和要求的面积相联系, 是这道题的重点问题。
详解过程:
以下各图为了强调相关部分, 暂去掉另外线条。
解: 如下图所示, 我们分别求出BFH、 AGE的面积问题也就解决。

如上图, 我们设BFH＝x, 则AFH＝3x; 设AHE＝y, 则CEH＝2y;
于是有ABE＝4x+y＝
ACF＝3y+3x＝
有, 则9x＝, 因此x＝;
如下图, 我们设AEG＝a, 则CEG＝2a;

设CDG＝b, 则BDG＝4b;

于是有ACD＝3a+b＝
BCE＝2a+5b＝

有, 则13a＝, 因此a＝;
这样, AFHG＝ABE－BFH－AEG＝－－＝。

专家点评: 求四边形, 可由三角形的面积减去三角形的面积, 再分别减去三角形BFH和三角形AGE的面积。而三角形的面积可从三角形面积与底边的比例关系得到, 于是问题转化为如何求及。与可由二元一次方程组分别解得。

解法二:

BH: HE=S△BFC: S△EFC=︰( ×) =1︰2
因此S△BFH=S△ABE×( ×) =×( ×) =
同理:

AG︰GD=S△ABE︰S△BDE=︰( ×) =5︰8
因此, S△AGE=S△ADC×( ×) ×( ×) =
AG︰AD=5︰( 5+8) =5︰13
因此,
S四边形AFHG＝S△ABE－S△BFH－S△AEG
＝－－
=

专家点评: 本题解法二应用的考点比较多, 基本解题思路和解法一差不多, 都是由S△FHG= S△ABE- S△BFH- S△AEG得出, 而解法二首先应用蝴蝶定理, 先求线段BH与HE的比例关系, 再利用鸟头定理解出及, 最后求出S四边形AFHG。比解法一略显简洁, 而且计算上也比较方便。
注意考点: 鸟头定理和蝴蝶定理的应用
【例5】( ☆☆☆) 设正方形的面积为1, 下图中E、 F分别为AB、 BD的中点, GC=FC。求阴影部分面积。

审题要点: 阴影部分为三角形, 知道底边为正方形边长的一半, 只要求出高, 便可解出面积。
解: 作FH垂直BC于H; GI垂直BC于I
根据相似三角形定理 CG︰CF=CI︰CH=1︰3
又∵CH=HB
∴CI︰CB=1︰6即BI︰CB=( 6-1) ︰6=5︰6
S△BGE=××=。
专家点评: 本题考查模型四, 利用三角形相似的性质, 求出三角形对应边的比例关系及长度, 从而确定阴影部分的面积。

【例6】( ☆☆☆☆) ABCD是平行四边形, 面积为72平方厘米, E、 F分别为AB, BC的中点, 则图中阴影部分的面积为＿＿平方厘米。

审题要点: 题目中出现E、 F分别为边的中点, 能够考虑应用中位线定理。
解: 设G、 H分别为AD、 DC的中点,
连接GH、 EF、 BD。
可得 S△AED=S平行四边形ABCD
对角线BD被EF、 AC、 GH平均分成四段,

DO︰ED= BD︰ BD=2︰3
OE︰ED=( ED-OD) ︰ED=( 3-2) ︰3=1︰3
因此 S△AE0=×S平行四边形ABCD=××72=6
S△ADO= 2×S△AEO=12。
同理可得S△CFM=6, S△CDM=12。
因此 S△ABC- S△AEO- S△CFM=24
于是 阴影部分的面积=24+12+12=48
专家点评: 这道题是 小学数学奥林匹克竞赛A卷中的一道题。连接EF, BD, 根据模型4以及三角形的中位线定理, 判断出O, M分别是其所在线段的三等分点, 由此求出S△AEO及S△CFM, 最后得出阴影部分的面积。
注意: 本题应用了三角形的中位线定理以及平行线的相关性质。

【例7】( ☆☆☆) 如图, 矩形ABCD被分成9个小矩形, 其中5个小矩形的面积如图所示, 矩形ABCD的面积为＿＿。

审题要点: 矩形被分割成9个小矩形, 马上能够联想到矩形等积变形的两个重要结论。
解: 矩形PFMD中, 矩形OHND的面积等于2×4÷3=8/3
矩形ABCD中, 矩形IBLH的面积等于( 1+2) ×( 16+4) ÷( 8/3) =45/2
因此 矩形ABCD的面积=1+2+4+16+( 8/3) +( 45/2) =289/6
专家点评: 本题是南京市第三届兴趣杯的原题, 难度不大, 主要是考察对矩形等积变形两个重要结论之一: ”过矩形内部的一点引两条直线分别与两组边平行, 所分得的四个小矩形, 其面积满足: 。”的应用。先求出矩形OHND的面积, 再求出矩形IBLA的面积, 而矩形ABCD的面积由矩形OHND和矩形IBLA以及题目中所给的其它4个已知矩形的面积和求得。
读者能够自行经过求各边比例方法进行验证, 进一步加深对定理的理解。

【例8】( ☆☆☆) 如图, 在梯形ABCD中, AB与CD平行, 且CD=2AB,
点E、 F分别是AD和BC的中点, 已知阴影四边形EMFN的面积是54
平方厘米, 则梯形ABCD的面积是 平方厘米。

审题要点: 阴影部分的面积能够分解为两个三角形的面积之和, 而E、 F又是梯形两腰的中点, 连接EF, 对上下两个梯形分别应用蝴蝶定理。
解法一: 如图, 设上底为a, 则下底为2a, 梯形的高为h,
连接EF, 则EF=( a+2a) =a;
因此 AB︰EF=a︰ a=2︰3, EF︰DC=a︰2a=3︰4;
因此 h1=×h=h;
h2=×h=h;
阴影部分=S△EFM+S△EFN=×a×h+×a×h=ah
即ah=54, ah=140
梯形ABCD的面积=×( 1+2) ah=ah=×140=210( 平方厘米)
专家点评: 阴影部分能够看为两个同底三角形的面积之和, 根据梯形的面积公式, 求出两个三角形的高和底, 进一步求出梯形面积, 思考方法很简单, 但要注意计算的准确性。
解法二: 如图, 设上底为a, 则下底为2a, 梯形的高为h,
连接EF, 则EF=( a+2a) =a;
因此 AB︰EF=a︰ a=2︰3, EF︰DC=a︰2a=3︰4;
因此 h1=×h=h;
h1=×h=h;
因此S△EFM︰S△EFN= h1 ︰h1=h︰h=7︰5

根据梯形中的面积关系, 得下图。

因为9x︰9y=x︰y=7︰5
且x+y=54÷9=6( 平方厘米)
因此x=6×=3.5( 平方厘米) , y=6-3.5=2.5( 平方厘米) ;
因此梯形ABCD的面积=3.5×25+2.5×49=210( 平方厘米) 。
专家点评: 连接EF以后, 我们也能够把它看成是两个梯形叠放在在一起, 应用模型三梯形蝴蝶定理, 能够确定各个小的三角形之中的比例关系, 应用比例即可求出梯形ABCD面积。
注意: 应用梯形蝴蝶定理时注意比的运算。
【例9】( ☆☆☆) 如图, 在平行四边形ABCD中, BE=EC, CF=2FD。
求阴影面积与空白面积的比。

审题要点: 题目中阴影部分不规则, 可是有边的倍比关系, BE=EC, CF=2FD能够考虑将边的倍比关系转化为为面积之间的关系。

解法: 连接CG, CH, AC交BD于O, 设S△BEG=a,
根据燕尾定理S△BEG=S△EGC=S△ABG=S△AGC
S△DHF=S△CFH=S△AHD=S△ACH
又因为S△AGC=S△ACH 因此S△BEG=3S△DHF
S△AGO=S△CGO=S△ABG
S△AOH=S△HOC=S△AHD
因此S□ABCD=4S△ABO=4×( a+2a) =12a
阴影面积: S△BEG+ S△AGH+ S△DFH=a+2.5a+0.5a=4a
空白面积: 12a-4a=8a
因此阴影面积与空白面积的比4a︰8a=1︰2

另解: 设S△BEG=a, 则S△ECG=S△GCO=S△AGO=a, S△ABG=2a;
设S△HFD=b,则S△HFC=2b,
设S△HCO=x,则S△AHO=S△HCO=x
==

专家点评: 连接CG, CA, CH, 构造模型五, 应用燕尾定理, 分别求出三个阴影三角形面积, 再求出平行四边形ABCD的面积, 用四边形面积减去三个阴影三角形面积即为空白面积。亦可得到阴影面积与空白部分的面积之比。
注意: 本题考点: 燕尾定理的应用。
拓展训练:
1、 ( 宁波小学数学竞赛1999) , 如图所示, 已知三角形中, , , , 连结、 BZ和, 三条线段分别交于, , 。若( 面积是1平方米, 那么阴影的面积是多少平方米?

初级提示: 连接AM2, BM3, CM1。
深度点拨: 设、 的面积分别为, , ,
分别解出, ,
全解过程: 连结, , 。
设、 、 的面积分别为, , ,
得

因此有
同理有

AEB=+=+4=
=+=3+3=

∴阴影部分面积为

2、 如图, 四边形的面积是66平方米, ,
, , , 求四边形的面积。

初级提示: 连接DB、 AC, 构造模型一。
深度点拨: 找出四边形ABCD与四边形EFGH的面积关系。
全解过程: 连接。设
∵,
∴,
又∵,
∴,
同理,
∴
连接AC, 同理
∴,
( 平方米) 。

3、 如图, 在梯形ABCD中, AD︰BE4︰3, BE︰EC=2︰3, 且△BOE
的面积比△AOD的面积小10平方厘米。梯形ABCD的面积是 平方
厘米。

初级提示: 应用模型一求出三角形ABD的面积
深度点拨: 求出三角形BCD的面积
全解过程: AD︰BE︰EC=8︰6︰9,

-=-=10,
=10, =40。

4、 如图, 在一个边长为6正方形中, 放入一个边长为2的正方形,
保持与原长正形的边平行, 现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形
的两个顶点, 形成了图中的阴影图形, 那么阴影部分的面积为 。

初级提示: 将小正方形的四个顶点分别与大正方形的四个顶点连接
深度点拨: 应用梯形蝴蝶定理求出空白部分面积
全解过程:
解法一: 设任意一个梯形( 如图) , 上底为a, 下底为b, 则阴影
部分的面积能够表示为
S1、 S2、 S3的和, 而S3︰S4=S1︰S2=( S1+S3) ︰( S2+S4) =a︰b, 同理
S1︰S3=S2︰S4=a︰b, 因此: S1︰S2︰S3︰S4=a2︰ab︰ab︰b2, 因此阴影
部分的面积等于。
连接两个正方形的对应顶点, 则能够得到四个梯形, 运用这条结论,
每个梯形中阴影部分的面积都占到了, 因此阴影
部分面积是两个正方形之间的面积的, 阴影部分的面积为
,

解法二: 取特殊值, 使得两个正方形中心相重合, 由上右图可知,
A、 B、 C、 D均为相邻两格点的中点, 则图中四个空白处的三角形的高为
1.5, 因此空白处的总面积为
, 阴影部分的面积是。

5、 如图所示, 三角形BDF、 三角形CEF、 三角形BCF的面积分别是2、 3、 4, 问四边形ADFE的面积是多少?

初级提示: 连接AF, 构造模型一

深度点拨: 应用三角形面积之比等于底边之比求出三角形AFD和三角形AFE的面积
全解过程: 设S△AFD=a, S△AFE=b
2a=3+b
4b=3( 2+a)
a= b=
S四边形ADFE=a+b=

6、 如图, 在△ABC中, 延长BD=AB, CE=BC,
F是AC的中点, 若△ABC的面积是2, 则△DEF的面积是多少?

初级提示: 连接CD, 构造模型一
深度点拨: S△DCF=S△DCA=2
S△FCE=S△BCF=
S△DEC=S△DCB=1

全解过程:
解法一: S△DCF=S△DCA=2
S△FCE=S△BCF=
S△DEC=S△DCB=1
S△DEF=S△DCF+S△FCE+S△DEC=
解法二: 本题还能够用共角定理”当两个三角形有一个角相等或互补时,
这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”。
∵在△ABC和△CFE中, ∠ACB与∠FCE互补,
∴
又;
∴
同理可得:
∴

7.如图, 长方形ABCD中, E为AD中点, AF与BE、
BD分别交于G、 H, 已知AH=5cm, HF=3cm, 求AG。

初级提示: 三角形AHB和三角形DHF相似
深度点拨: 作OE垂直AD, 交AF于O
全解过程: 根据三角形相似的性质
AB︰DF=AH︰HF=5︰3
又因为E为AD中点
OE︰DF=1︰2
因此AB︰OE=10︰3
AG︰GO=10︰3

因此AG=AO=

8.在边长为1的正方形ABCD中, BE=2EC, DF=2FC;
求四边形ABGD的面积。

初级提示: 连接EF、 BD

深度点拨: 应用梯形蝴蝶定理
全解过程: 等腰梯形四部分面积比为1︰3︰3︰9
因此等腰梯形的面积=

因此

得
9、 如图, 正方形ABCD面积为1, M是AD边上的中点, 求图中阴影部分的面积。

初级提示: 构造梯形蝴蝶定理
深度点拨: S△AMG: S△AGB: S△MCG: S△GCB=1︰2︰2︰4
全解过程:

∵梯形AMCB中各个三角形面积比 1︰2︰2︰4
∴阴影面积占梯形面积( 2+2) /( 1+2+2+4) =

∴
本题还可有其它解法( 如下)
解法二: 连结、 , 设与交于, 。
∵

∴
又∵
∴==x
∴
∴
得, 又, 因此, 。
∴。

解法三: 做
则, , ,
连接
∵
∴
又∵
∴
∴

解法四: ∵与等底等高
∴
∴
作,
设

∴

解法五: ∵

∴
∴
∵

∴==
∴+=+=

10: ( 仁华学校试题) 已知四边形ABCD, CHFG为正方形, S甲︰S乙=1︰8, a与b是两个正方形的边长, 求a︰b=?

初级提示: 连接EO, AF, 应用燕尾定理。
深度点拨: 做OM⊥AE, ON⊥EF,
全解过程:
如图, 根据燕尾定理:
S△AOF︰ S△AOE=b︰a ( 1) ,
S△AOF︰ S△FO
E=a︰b ( 2)
因此 S△AOE ︰ S△FOE=a2︰b2
作OM⊥AE, ON⊥EF,
∵AE=EF,
∴OM︰ON= a2︰b2
∴S△AOD︰ S△HOF=a3︰b3=1︰8
∴a︰b=1︰2

几何( 二) 曲线图形
一、 知识地图

二、 基础知识
小学数学当中, 我们学习了一些简单的几何图形, 充分掌握这些图形的性质特点及周长和面积的计算方法是我们解决奥数平面几何问题的重要前提。

﹙1﹚组合图形的面积
在求解组合图形的面积时, 中心思想只有一个: 把不规则的变为规则的, 把不可求的变为能够求的, 把不熟悉的变为我们熟悉的。在小学奥数的几何问题中, 这个思想不单单能够在求组合图形面积的时候应用, 求解立体图形的表面积和体积问题时候一样也是解决问题的法宝, 甚至能够说是全部小学奥数几何问题的思想精髓。
在求解组合图形的面积时, 我们一般能够经过以下思考方法把图形转化我们所熟知的图形。
1、 加减法
把要求的图形转化为几个规则图形相加或者相减的形式, 这种解决图形补问题的方法, 称为加减法。
2、 割补法
把要求的图形经过切割再拼补成规则图形, 这种方法称为割补法。
3、 旋转平移法。
图形的一部分经过旋转或者平移, 正好能够和图形的其它部分拼成规则图形, 这种方法称为旋转平移法。
4、 重叠法
要求的组合图形能够看作是几个规则图形的重叠部分, 能够应用容斥原理求得图形的面积, 这种方法称为重叠法。
5、 比例法
把要求的图形分成几个部分, 经过寻找各个部分之间的比例关系求解的方法称为比例法。
﹙2﹚图形旋转的问题
在这里, 我们主要研究的是平面图形在平面旋转所产生的问题。一般情况下, 我们所能遇到的有以下两种问题:
1、 求图形一边扫过的面积
在遇到这类问题时, 我们只要先找到要求的是哪条边扫过的面积, 再看这条边是以哪个点为圆心运动, 首先你让这条边以这个点为圆心按照题目的要求转动, 旋转停止后, 这条边旋转所得的面积就是你要求的图形一边扫过的面积。
2、 求图形扫过的面积
在求图形一边扫过的面积的基础之上, 要注意, 图形中最长处旋转时所成图形, 我们在旋转的图形一边停止旋转时, 在相应的位置补上图形的其它部分就能够很容易的找到整个图形扫过的部分。
﹙3﹚几个特殊问题
1、 活动范围的问题
让我们先来看看下面几个问题:
A、 假设茫茫的草原上有一个木桩, 桩子上用一根30米的绳子栓着一只羊, 问羊能吃到的草的面积是多大?
B、 草场的主人因为业务发展, 准备建羊圈, 可是因为资金短缺, 因此只先建了一道墙, 于是把羊还是用30米的绳子栓在了墙角边, 问羊这个时候能吃到草的面积是多大?
C、 羊圈建成了, 羊在平时被栓在羊圈的西北角, 羊圈长20米, 宽10米, 问羊这个时候能吃到的草的面积是多大?
你注意到了吗? 栓着羊的绳子在碰到墙拐角的地方运动的圆心在变化, 羊所能吃到草的范围活动的半径也在跟着变化。
那么, 我们说看变化, 找规律, 是解决羊吃草一类问题重要思想。另外, 数学源自生活, 经过想象生活中的情景, 比照数学题, 寻找变化的规律也是一种不错的方法。
2、 滚硬币的问题
请你一起动手来做一做: 把两个一角钱的硬币挨放在一起, 固定其中一个, 把另一个延着其周围滚动。当滚动回到硬币原来的位置时, 想一想滚动的那个硬币它自己自转了多少周?
注意观察, 滚动的硬币绕着不动的硬币走一周的距离实际上是以两个硬币的半径为半径的一个圆周长, 而硬币自转的周长是以自身为半径, 前者是后者的几倍, 即是硬币自转了几周。
这也是一切硬币滚动类问题的特点。常见的还有齿轮, 滑轮等。
经典回顾
【例1】( ☆☆☆) 图是由正方形和半圆形组成的图形。其中P点为半圆周的中点, Q点为正方形一边的中点已知正方形的边长为10, 那么阴影部分面积是多少? ( π取3.14。)
审题要点: 整个图形由正方形和半圆组成。P为中点, 则PD=PC, 要 求阴影部分的面积, 能够考虑我们前面讲的几种方法。

解法一: 阴影面积=整个面积-空白面积=( 正方形ABCD+半圆) —( 三角形+梯形)
=( 10×10+π×5×5÷2) -[15×5÷2+( 5+15) ×5÷2]
=51.75

专家点评: 阴影面积的”加减法”。因为阴影部分面积不是正规图形, 因此经过整个面积减去空白部分面积来求解。过P点向AB作垂线, 这样空白部分面积分成上面的三角形和下面的梯形。

解法二: S1=小正方形-圆=5×5-×π×5×5
上面阴影面积=三角形APE-S1=15×5÷2-5×5+×π×5×5
下面阴影面积=三角形QPF-S2=10×5÷2-( 5×5-×π×5×5)
因此阴影面积=( 15×5÷2-5×5+×π×5×5) +( 10×5÷2-5×5+×π×5×5) =51.75

专家点评: 面积的”加减法”和”切割法”综合运用, 思路出现正方形, 出现弧线时, 注意两个考点: 1.半叶形 2、 圆, 因此我们能够先把面积补上再减去补上的面积。

解法三: 半叶形S1=圆-小正方形=×π×5×5-×5×5
上面阴影面积=三角形ADP+S1=10×5÷2+×π×5×5-×5×5
下面阴影面积=三角形QPC+S2=5×5÷2+×π×5×5-×5×5
阴影面积=( 10×5÷2+×π×5×5-×5×5) +( 5×5÷2+×π×5×5-×5×5) =51.75

专家点评: 面积的”切割法”出现正方形, 出现弧线时, 注意两个考点: 1.半叶形 2. 圆, 这样能够考虑把阴影面积切成几个我们会算的规则图形。这道题是迎春杯真题。

【例2】( ☆☆☆) 如图, ABCG是4×7的长方形, DEFG是2×10的长方形, 那么, 三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少?
审题要点: 要求两个三角形的面积之差, 题目没有给出能够直接求出两个三角形面积的条件, 那么我们只能考虑应用差不变原理。

解法一: GC=7, GD=10推出HE=3; BC=4, DE=2
阴影BCM面积-阴影MDE面积=( BCM面积+空白面积) -( MDE面积+空白面积) =三角形BHE面积-长方形CDEH面积=3×6÷2-3×2=3。
专家点评: 加减思想的应用, 小升初中的常见方法, 而找出公共部分是本题的解题关键。公共部分要与两个三角形都能够构成规则可求的图形才能够。

解法二: GC=7, GD=10 知道CD=3;
BC=4, DE=2 知道BC︰DE=CM︰DM
因此CM=2, MD=1。
阴影面积差为: 4×2÷2-1×2÷2=3
专家点评: 画阴影的两个三角形都是直角三角形, 而BC和DE均为已知的, 因此关键问题在于求CM和DM。这两条线段之和CD的长是易求的, 因此只要知道它们的长度比就能够了, 这恰好能够利用平行线BC与DE截成的比例线段求得。另外本题还能够构造如下解法, 如图:

解法三: 连接BD

【例3】( ☆☆☆) 求右图中阴影部分的面积。( 取3)
审题要点: △ABC能够看出为等腰直角三角形。
解法一: 我们只用将两个半径为10厘米的四分之一圆减去空白的①、 ②部分面积和即可, 其中①、 ②面积相等。易知①、 ②部分均是等腰直角三角形, 可是①部分的直角边AB的长度未知。单独求①部分面积不易, 于是我们将①、 ②部分平移至一起, 如下右图所示, 则①、 ②部分变为一个以AC为直角边的等腰直角三角形, 而AC为四分之一圆的半径, 因此有AC=10。两个四分之一圆的面积和为150, 而①、 ②部分的面积和为1/2×10×10=50, 因此阴影部分的面积为150-50=100( 平方厘米) 。
解法二: 欲求图( 1) 中阴影部分的面积, 可将左半图形绕B
点逆时针方向旋转180°, 使A与C重合, 从而构成如右图
( 2) 的样子, 此时阴影部分的面积能够看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积。
专家点评: 本题考点 旋转平移法。图形经过旋转, 得到阴影部分的面积=半圆的面积-等腰直角三角形的面积。
【例4】( ☆☆☆) 如图, 已知三角形GHI是边长为26厘米的正三角形, 圆O的半径为15厘米, ∠AOB=∠COD=∠EOF=90°。求阴影部分的面积。
审题要点: 题中每一条阴影部分面积能够看做是两个大小弓形的面积之差。
解法: 设J为弧GI的中点, 则可知GJIO是菱形, GOJ是正三角形,
因此, 三角形GOI的面积=
因此大弓形的面积: SGJI

小弓形的面积: SFJE

因此, 总阴影面积=( 138-64.125) ×3=221.625( 平方厘米)

专家点评: 本题难度在于判断四边形GJIO为菱形, 圆中等长的弧所正确弦也是相等的, 因此三角形GOJ为正三角形, 其实三个阴影部分选择哪一个作为解题的模型都能够。基本上还是加减思想的应用。
总阴影面积=每块阴影面积×3=( 大弓形－小弓形) ×3
关键在于大弓形中三角形的面积。
总结: 本题考点 加减法。
【例5】( ☆☆☆) 如图, ABCD是一个长为4, 宽为3。对角线长为5的正方形, 它绕C点按顺时针方向 旋转90, 分别求出四边扫过图形的面积。( 取3)
审题要点: 要求边扫过的面积, 只需分别看一边旋转所得图形。

分析: 1、 容易发现 DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段
长度为半径的圆的, 如右图:
因此DC边扫过图形的面积为4平方厘米, BC边扫过图形的面积为平方厘米。

2、 研究AB边的情况。
在整个AB边上, 距离C点最近的点是B点, 最远的点是A点, 因此整条线
段所扫过部分应该介于这两个点所扫过弧线之间, 见右图中阴影部分:

下面来求这部分的面积。
观察图形能够发现, 所求阴影部分的面积实际上是:
扇形ACA,面积+三角形ABC面积-三角形ABC面积-扇形BCB,面积+三角形A