高中不等式基本知识点和练习题(含答案).doc

不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：　　　　　　　(2)传递性：
(3)加法法则：；(同向可加)
(4)乘法法则：；　　　　
(同向同正可乘)
(5)倒数法则：　　(6)乘方法则：
(7)开方法则：
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解集：
设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：
2、简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。

4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上
若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点()，把它的坐标（)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线ax+by＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
（四）基本不等式
1．若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．如果a,b是正数，那么
变形： 有:a+b≥；ab≤,当且仅当a=b时取等号.
3．如果a,b∈R+,a·b=P(定值),当且仅当a=b时,a+b有最小值;
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

4.常用不等式有：（1）(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；（2）a、b、cR，（当且仅当时，取等号）；（3）若，则（糖水的浓度问题）。
不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
1. 设，，，试比较的大小

（二） 解不等式
题型三：解不等式
解不等式。 3 .

2. 不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=_____, b=_______

3. 关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为

题型四：恒成立问题
4. 关于x的不等式a x2+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________

5. 若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.

6. 已知且，求使不等式恒成立的实数的取值范围。

（三）基本不等式
题型五：求最值
7. 求下列函数的值域
（1）y＝3x 2＋ （2）当时，求的最大值。

8. （耐克函数型）求的值域。

注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数的单调性。
9. （用耐克函数单调性）求函数的值域。

（1） 若实数满足，则的最小值是 .
（2） 已知，且，求的最小值。

（3） 已知x，y为正实数，且x 2＋＝1，求x的最大值.

（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝的最小值.

题型六：利用基本不等式证明不等式
10. 已知为两两不相等的实数，求证：

11. 已知a、b、c，且。求证：

（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
12. 满足不等式组，求目标函数的最大值

13. 已知满足约束条件： ,则的最小值是

14. 已知变量（其中a>0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围为 。

15. 已知实数满足如果目标函数的最小值为，则实数等于（ ）

题型九：实际问题
某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售
价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放几个，可使利润最大？又利润最大为多少？

复习――不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习---不等式
1. ②③⑥⑦⑧；
2. ；
3. 当或时，1+＞；当时，1+＜；当时，1+＝
4. ∵ ∴
（
∴R>Q>P。
5.
6. 或；
7. ）；
8. 不等式的解集为{x|-1＜x＜2}，则=___-6____, b=__6_____
9. ）.
10. 解：当a＝0时，不等式的解集为； 2分
当a≠0时，a(x－)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0
不等式的解集为； 6分
当0＜a＜1时，1＜，不等式的解集为； 8分
当a＞1时，＜1，不等式的解集为； 10分
当a＝1时，不等式的解为φ． 12分
11. _____0≤x＜4________
12. ）
13.
14. 解：（1）y＝3x 2＋≥2＝ ∴值域为[，+∞）
（2）当x＞0时，y＝x＋≥2＝2；
当x＜0时， y＝x＋= －（－ x－）≤－2=－2
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15. （1）解，
当且仅当，即时，上式等号成立，故当时，。
（2）
当，即x＝2时取等号 当x＝2时，的最大值为8。
16. 解析一：

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。

当,即t=时,当t=2即x＝1时取“＝”号）。
17. 解：令，则
因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。
因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。
所以，所求函数的值域为。
18. （条件不等式）
（1） 解： 都是正数，≥
当时等号成立，由及得即当时，的最小值是6．
（2） 解：，
当且仅当时，上式等号成立，又，可得时，
（3） 解：x＝x ＝x·
下面将x，分别看成两个因式：
x·≤＝＝ 即x＝·x ≤
（4） 解：法一：a＝， ab＝·b＝
由a＞0得，0＜b＜15
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8
∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥2 　∴ 30－ab≥2
令u＝　则u2＋2u－30≤0， －5≤u≤3
∴≤3，ab≤18，∴y≥
19. 已知为两两不相等的实数，求证：
20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21. 已知a、b、c，且。求证：
证明：a、b、c，。。同理，。上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得
。当且仅当时取等号。
22. 解：　　若设污水池长为x米，则宽为 （米）
　　水池外圈周壁长： （米）
　　中间隔墙长： （米）
　　池底面积：200（米2）
　　目标函数：
　　　　　　　　≥
23. 4
24.
25. 1
26. 。
27. 5
解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
　　　　　　 则x，y必须满足，
　　　　　　 目标函数为z＝15x＋10y

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