美赛常用模型一---副本.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,.,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,.,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,.,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,.,*,美赛常用模型（一）,1,.,本讲的主要内容,初等模型,复杂函数模型,优化,模型,微分方程模型,离散模型,2,.,一个雨天，你有件急事需要从家中到学校去，学校离家不远，仅一公里，况且事情紧急，你来不及花时间去翻找雨具，决定碰一下运气，顶着雨去学校。假设刚刚出发雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你将被大雨淋湿。一个似乎很简单的事情是你应该在雨中尽可能地快走，以减少雨淋的时间。这是最好的策略吗？试建立数学模型来探讨如何在雨中行走才能减少淋雨的程度。,例1,雨中行走,3,.,1,建模准备,建模目标：在给定的降雨条件下，设计一个雨中行走的策略，使得你被雨水淋湿的程度最小。,主要影响因素：,淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（风），路程的远近，行走的速度,2,）降雨大小用降雨强度 厘米,/,时来描述，降雨强度指单位时间平面上的降下水的厚度。在这里可视其为一常量。,3,）风速保持不变。,4,）你一定常的速度 米,/,秒跑完全程 米。,2,模型假设及符号说明,1,）把人体视为长方体，身高 米，宽度 米，厚度 米。,淋雨总量用 升来记。,4,.,3,模型建立与计算,1,）不考虑雨的方向，此时，你的前后左右和上方都将淋雨。,淋雨的面积,雨中行走的时间,降雨强度,模型中,结论，淋雨量与速度成反比。这也验证了尽可能快跑能,减少淋雨量。,5,.,从而可以计算被淋的雨水的总量为,2.041,（升）。,经仔细分析，可知你在雨中只跑了,2,分,47,秒，但被淋了,2,升的雨水，大约有,4,酒瓶的水量。这是不可思议的。,表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合实际。,原因：不考虑降雨的方向的假设，使问题过于简化。,6,.,2,）考虑降雨方向。,人前进的方向,若记雨滴下落速度为 （米,/,秒）,雨滴的密度为,雨滴下落的反方向,表示在一定的时刻,在单位体积的空间,内，由雨滴所占的,空间的比例数，也,称为降雨强度系数。,所以，,因为考虑了降雨的方向，淋湿的部位只有顶部和前面。分两部分计算淋雨量。,7,.,顶部的淋雨量,前表面淋雨量,总淋雨量（基本模型）,8,.,可以看出：淋雨量与降雨的方向和行走的速度有关。,问题转化为给定 ，如何选择 使得 最小。,情形,1,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时,淋雨量达到最小。,假设你以,6,米,/,秒的速度在雨中猛跑，则计算得,9,.,情形,2,结果表明：淋雨量是速度的减函数，当速度尽可能大时,淋雨量达到最小。,假设你以,6,米,/,秒的速度在雨中猛跑，则计算得,情形,3,此时，雨滴将从后面向你身上落下。,10,.,出现这个矛盾的原因：我们给出的基本模型是针对雨从,你的前面落到身上情形。,因此，对于这种情况要另行讨论。,当行走速度慢于雨滴的水平运动速度，即,这时，雨滴将淋在背上，而淋在背上的雨水量是,淋雨总量为,11,.,再次代如数据，得,结果表明：当行走速度等于雨滴下落的水平速度时，淋,雨量最小，仅仅被头顶上的雨水淋湿了。,若雨滴是以 的角度落下，即雨滴以 的角从背后落下，你应该以,此时，淋雨总量为,这意味着你刚好跟着雨滴前进，前后都没淋雨。,12,.,当行走速度快于雨滴的水平运动速度，即,你不断地追赶雨滴，雨水将淋湿你的前胸。被淋得雨量是,淋雨总量为,13,.,若雨是迎着你前进的方向向你落下,这时的策略很简单,应以最大的速度向前跑；,若雨是从你的背后落下,你应控制你在雨中的行走速度,让它刚好等于落雨速度的水平分量。,14,.,例二,森林救火,森林失火后，要确定派出消防队员的数量.,队员多，森林损失小，救援费用大；,队员少，森林损失大，救援费用小.,综合考虑损失费和救援费，确定队员数量.,问题分析,问题,记队员人数,x,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,).,损失费,f,1,(,x,)是,x,的减函数,由烧毁面积,B,(,t,2,)决定,.,救援费,f,2,(,x,)是,x,的增函数,由队员人数和救火时间决定,.,存在恰当的,x,，使,f,1,(,x,),f,2,(,x,)之和最小.,关键是对,B,(,t,)作出合理的简化假设,.,问题分析,失火时刻,t,=0,开始救火时刻,t,1,灭火时刻,t,2,画出时刻,t,森林烧毁面积,B,(,t,)的大致图形.,t,1,t,2,0,t,B,B,(,t,2,),分析,B,(,t,)比较困难,转而讨论单位时间烧毁面积,dB/dt,(森林烧毁的速度).,模型假设,3）,f,1,(,x,)与,B,(,t,2,)成正比，系数,c,1,(烧毁单位面积损失费）,1）0,t,t,1,dB/dt,与,t,成正比，系数,(火势蔓延速度).,2）,t,1,t,t,2,降为,-x,(,为队员的平均灭火,速度).,4）每个,队员的单位时间灭火费用,c,2,一次性费用,c,3,.,假设,1,）的解释,r,B,火势以失火点为中心，均匀向四周呈圆形蔓延，半径,r,与,t,成正比.,面积,B,与,t,2,成正比,dB/dt,与,t,成正比,模型建立,b,0,t,1,t,t,2,假设1）,目标函数总费用,假设3）4）,假设2）,模型建立,目标函数总费用,模型求解求,x,使,C,(,x,)最小,结果解释,/,是火势不继续蔓延的最少队员数,b,0,t,1,t,2,t,其中,c,1,c,2,c,3,t,1,为已知参数,模型应用,c,1,c,2,c,3,已知,t,1,可估计,c,2,x,c,1,t,1,x,c,3,x,结果解释,c,1,烧毁单位面积损失费,c,2,每个,队员单位时间灭火费,c,3,每个,队员一次性费用,t,1,开始救火时刻,火,势蔓延速度,每个,队员平均灭火,速度,.,为什么?,可,设置一系列数值,由模型决定队员数量,x,例三,投资组合问题,50,万元基金用于投资三种股票,A,、,B,、,C,：,A,每股年期望收益,5,元,(,标准差,2,元,),，目前市价,20,元；,B,每股年期望收益,8,元,(,标准差,6,元,),，目前市价,25,元；,C,每股年期望收益,10,元,(,标准差,10,元,),，目前市价,30,元；,股票,A,、,B,收益的相关系数为,5/24;,股票,A,、,C,收益的相关系数为,0.5;,股票,B,、,C,收益的相关系数为,0.25,。,如期望今年得到至少20%的投资回报，应如何投资？,投资回报率与风险的关系如何？,假设：,1,、基金不一定要用完（不用不计利息或贬值）,2,、风险通常用收益的方差或标准差衡量,21,.,投资组合问题,A,、,B,、,C,每手,(,百股,),的收益分别记为,S,1,S,2和,S,3,(,百元,),：,ES,1,=5,ES,2,=8,ES,3,=10,，,DS,1,=4,DS,2,=36,DS,3,=100,，,r,12,=5/24,r,13,=-0.5,，,r,23,=-0.25,决策向量,x,1,、,x,2,和,x,3,分别表示投资,A,、,B,、,C,的数量（国内股票通常以“一手”（,100,股）为最小单位出售，这里以,100,股为单位，期望收益以百元为单位）,总收益,S,=,x,1,S,1,+,x,2,S,2,+,x,3,S,3,：是一个随机变量,22,.,投资组合问题,总期望收益为,Z,1=,ES,=,x,1,ES,1,+,x,2,ES,2,+,x,3,ES,3,=5,x,1,+8,x,2,+10,x,3,投资风险（总收益的方差）为,23,.,投资组合问题,s.t.,5,x,1,+8,x,2,+10,x,3,1000,20,x,1,+25,x,2,+30,x,3,5000,x,1,，,x,2,，,x,3,0,解得,x=1.0e+002*,（,1.3111,，,0.1529,，,0.2221,）,如果一定要整数解，可以四舍五入到（,131,，,15,，,22,）,如利用,LINGO,软件,可得整数最优解,(132,，,15,，,22),用去资金为,132,20+15,25+22,30=3675,（百元）,期望收益为,132,5+15,8+22,10=1000,（百元）,风险,(,方差,),为,68116,，标准差约为,261,（百元）,24,.,例四,男生追女生模型,问 题,某男生A对于某女生B非常喜欢，但是刚开始的时候该,女生对该男生并没有好感，该男生想采取一些行动来,改变二者之间的关系，但是男女之间的过多接触势必,会对学习成绩造成影响，试问该男生能否在保持学习,成绩不下降的前提下追到该女生？,要,求,建立适当的数学模型分析男生A的学习成绩与女生,B对该男生的好感之间的关系，并对模型作出解释。,模 型 假 设,A男生的学习成绩与B女生对于A男生的疏远度均为,时间,t,的函数，分别设为Y(t)和X(t)。,2.初始时刻X(t)是随着时间,t,增长的（B女生发现了A,男生的一些缺点），假设增长符合Malthus模型，,即：,dX/dt=aX(t),其中,a,为增长率。,3.,随着A男生对B女生发动追求攻势后，A男生的学习,成绩Y(t)呈现自然下降，假设也符合,Malthus,模型，,即：dY/dt=-eY(t)其中,e,为增长率。,4.当Y(t)存在时，单位时间内X(t)的减少值与X(t)成正,比，比例系数为常数b。,5.假定A男生对B女生发动追求攻势后，立即转化成B女,生对A男生的好感，对学习有帮助，设转化系数为,。,模 型 建 立,被食者-食者 Volterra模型,这样就得到了一个在无外界干扰的条件下，学习成绩,与疏远度相互作用的模型。这个模型在生物学中称为,被食者和食者的Volterra模型。,初始条件：,按照前面的假设列出Y(t)和X(t)符合的关系式:,模型求解,这个方程组是一个非线性方程组，不易直接求解，将,两个方程相除得微分方程,分离变量积分后得到隐式解：,C为任意常数,以初始条件代入不难确定C的值，从而可以得到一个特,解，它是X-Y平面上的一条闭曲线，只要初始值不为零,这条闭曲线就永远不通过零点。,令：,模型分析,容易求出函数F有唯一的极小点,同时易见：当,（B女生对A男生恨之入骨）或,（A男生是一块只会学习的“木头”）时均有,，而：当,（A男生不学无术）时,（A男生属于天皇巨星，B女生,对A男生毫无防备）或,也有,，由此不难看出F的图像是以M为最小值,在第一卦限向上无限延伸的曲面，而,是环绕点M的闭曲线簇。,模型应用,通过上面的分析可以知道A男生的学习成绩与B女生,对他的疏远度是呈周期性变化的，从生态意义上可以,理解为：当A男生的学习成绩下降时，B女生会远离A,男生，于是A男生又开始发奋图强，学习成绩Y(t)又开,始上升，于是B女生又开始和A男生来往，疏远度降低；,交往多了，自然又分散了学习的时间，A男生的学习成,绩Y(t)又开始下降。这样周而复始，形成了一个动态平,衡。我们还可以证明，虽然对于不同的初始值可能出,现不同的闭轨线，但在一个周期内X和Y的平均数量都,分别是一个常数，而且恰为平衡点M的两个坐标，这说,明初始情况并不是决定A男生能否追到B女生的决定因,素。,模型的进一步讨论,前面的结果都是在不考虑其他外界因素影响的前提下进,行的，如果存在一些外界影响会对结果有些什么影响呢？,考虑两种外界影响：,A男生的朋友对于A男生非常支持，并且对于A男生,追B女生提供便利条件。,出现一个C男生也在追B女生，对于A男生能否追上B,女生造成极大的威胁。,根据Volterra原理，上面两种情况都会使得A男生的学,习成绩Y(t)下降，同时B女生对于A男生的疏远程度X(t),增加。,对于男生的一点儿忠告,通过上面的分析可以看出，初始情况对于结果的影响,并不大，一些成绩不好的同学也不要自卑，另外即使,女同学对于你的某些缺点极为反感也不能决定最终的,结果，也许努力去追求就会得到接受。切忌强大的爱,情攻势是不一定能达到满意的效果的，反而不利于学,业。有时通过慢慢的接触，慢慢的了解，再加上适当,的追求行动，女生的疏远程度会慢慢降低，你的学习,成绩还不会下降！,注：以上观点均属于个人看法，不具有指导意义！,v,1,能源利用量,v,2,能源价格,v,3,能源生产率,v,4,环境质量,v,5,工业产值,v,6,就业机会,v,7,人口总数.,例五,社会经济系统的冲量过程,系统的元素图的顶点,元素间的直接影响有方向的弧,正面影响弧旁的+号；负面影响弧旁的号,带符号的有向图,符号、客观规律；,方针政策,例 能源利用系统的预测,+,-,+,-,+,+,+,+,-,-,+,v,2,v,1,v,3,v,4,v,6,v,7,v,5,带符号有向图G,1,=(,V,E,)的邻接矩阵,A,V,顶点集,E,弧集,定性模型,-,v,i,v,j,+,某时段,v,i,增加导致下时段,v,j,增加,(减少),带符号的有向图G,1,+,-,+,-,+,+,+,+,-,-,+,v,2,v,1,v,3,v,4,v,6,v,7,v,5,加权有向图G,2,及其邻接矩阵,W,定量模型,某时段,v,i,增加1单位导致下时段,v,j,增加,w,ij,单位,v,7,0.3,1,1.5,1,1.5,1.2,0.8,-2,-,2,-,0.7,-,0.5,v,1,v,2,v,3,v,4,v,5,v,6,加权有向图G,2,冲量过程（Pulse Process),研究由某元素,v,i,变化引起的系统的演变过程,v,i,(,t,),v,i,在时段,t,的,值,；,p,i,(,t,),v,i,在时段,t,的,改变量(冲量),冲量过程模型,或,能源利用系统的预测,简单冲量过程,初始冲量,p,(0)中,某个分量为1，其余为0的冲量过程.,若开始时能源利用量有突然增加，预测系统的演变.,设,能源利用系统的,p,(,t,)和,v,(,t,),-,1,1,0,-1,1,-1,0,0,0,1,1,-1,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,2,3,1,-1,0,0,1,0,-1,2,-2,1,-1,1,0,-1,1,-1,1,-1,0,1,0,3,-3,2,-2,1,1,-1,简单冲量过程,S,的稳定性,任意时段S的各元素的值和冲量是否为有限(稳定)?,S不稳定时如何改变可以控制的关系使之变为稳定?,S,冲量稳定,对任意,i,t,|,p,i,(,t,)|有界,S,值稳定,对任意,i,t,|,v,i,(,t,)|有界,值稳定,冲量稳定,S的稳定性取决于,W,的特征根,记,W,的,非零,特征根为,S冲量稳定,|,|,1,S冲量稳定,|,|,1且均为单根,S值稳定,S冲量稳定,且不等于1,对于能源利用系统的邻接矩阵,A,特征多项式,能源利用系统存在,冲量不稳定,的简单冲量过程,简单冲量过程,S,的稳定性,简单冲量过程的稳定性,改进的玫瑰形图S,*,带符号的有向图双向连通，且存在一个位于所有回路上的中心顶点.,回路长度,构成回路的边数.,回路符号,构成回路的各有向边符号+1或-1之乘积.,a,k,长度为,k,的回路符号和,r,使,a,k,不等于,0的最大整数,S,*,冲量稳定,若S,*,冲量稳定，则S,*,值稳定,+,-,+,-,+,+,+,+,-,-,+,v,2,v,1,v,3,v,4,v,6,v,7,v,5,简单冲量过程S,*,的稳定性,a,1,=0,a,2,=,1),v,1,v,2,(-1),v,2,v,1,=1,a,3,=(+1),v,1,v,3,v,5,v,1,+(-1),v,1,v,4,v,7,v,1,+(+1),v,1,v,3,v,2,v,1,=1,a,4,=0,a,5,=1,r,=5,S,*,冲量稳定,(-1),v,1,v,2,(+1),v,1,v,2,(由鼓励利用变为限制利用),a,2,=,-,1,+,S,*,冲量不稳定,A,的,特征多项式,S,*,冲量稳定,S,*,冲量稳定,|,|,1且均为单根,v,1,利用量,v,2,价格,v,7,+,-,+,-,+,+,+,+,-,-,+,v,2,v,1,v,3,v,4,v,6,v,5,若,S,冲量稳定，则S,*,值稳定,S,*,冲量稳定,v,3,能源生产率,v,5,工业产值,(-1),v,3,v,5,违反客观规律,S,*,值不稳定,S,*,值稳定,(+1),v,3,v,5,(-1),v,3,v,5,能源利用系统的值,不应稳定？,-,+,-,+,+,+,+,+,-,-,+,v,2,v,1,v,3,v,4,v,6,v,7,v,5,+,简单冲量过程S,*,的稳定性,社会经济系统的冲量过程,定性与定量相结合的,系统分析,方法,适合社会经济,领域中复杂大系统的宏观研究.,解决问题的,关键,是确定研究的对象及其范围(系统,的边界),以及各因素间的相互关系.,以能源系统为例介绍,有向图,和,冲量过程,的建模方法.,冲量过程模型及预测是简单的,但是,稳定性,判断及,其改进比较复杂.,