第四节--多维随机变量及其分布市公开课一等奖百校联赛优质课金奖名师赛课获奖课件.ppt

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第四节 多维随机变量及其分布,长治学院,*,第,*,页,本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。本资料仅供参考，不能作为科学依据。谢谢。本资料仅供参考，不能作为科学依据。,4.1,二维,随机变量,4.2,边缘分布,4.3,条件分布,4.4,相互独立随机,4.5,两个随机变量函数分布,4.6,小结,第四节 多维随机变量及其分布,1/68,4.1.1,二维随机变量,定义,4.1.1,若,X,Y,是,两个定义在,同一个样本空间S,上,随机变量，则称(,X,Y),是,二维随机变量,.,同理可定义,n,维随机变量,(,随机向量,).,4.1,二维随机变量,2/68,定义,4.1.2,4.1.2,联合分布函数,F,(,x,y,)=P(X,x,),(,Y,y,),P(,X,x,Y,y,),为,(,X,Y),分布函数,，或称,联合分布函数,.,(,以下仅讨论二维随机变量),任对实数,x,和,y,称,注意,：,F,(,x,y,),为,(,X,Y),落在点,(,x,y,),左下区域概率,.,3/68,X,Y,x,y,(,x,y),4/68,推论,4.1.2,联合分布函数,P(x,1,X,x,2,),(y,1,Y y,2,),PX,x,2,Y y,2,PX,x,2,Y y,1,PX,x,1,Y y,2,PX,x,1,Y y,1,F(x,2,y,2,)F(x,2,y,1,)F(x,1,y,2,)F(x,1,y,1,),5/68,联合分布函数基本性质,(1),F,(,x,y,),关于,x,和,y,分别单调增.,(2)0,F,(,x,y,),1,，且,F,(,y,)=,F,(,x,),=0，,F,(+,+,)=1.,(3),F,(,x,y,),关于,x,和,y,分别右连续.,(4),当,a,b,c,d,时，有,F,(,b,d,),F,(,b,c,),F,(,a,d,),+,F,(,a,c,),0.,注意：,上式左边=,P,(,a,X,b,c,Y,d,),.,(单调性),(有界性),右连续性),(非负性),6/68,二维离散随机变量,4.1.3,联合分布律,若(,X,Y),可能取值为,有限对,、,或,可列对,，,则称,(,X,Y),为,二维离散随机变量,.,7/68,二,维离散,分布联合分布律,称,p,ij,=,P,(,X,=,x,i,Y,=,y,j,)，,i,j,=1,2,.,为(,X,Y,),联合分布律,，,其表格形式以下:,Y,X,y,1,y,2,y,j,x,1,x,2,x,i,p,11,p,12,p,1,j,p,21,p,22,p,2,j,p,i,1,p,i,2,p,i j,8/68,联合分布律基本性质,(1),p,ij,0,i,j,=1,2,(2),p,ij,1.,(,非负性,),(,正则性,),9/68,确定联合分布律方法,(1)确定随机变量(,X,Y,)全部取值数对.,(2)计算取每个数值正确概率.,(3)列出表格.,10/68,例4.1.1,将一枚均匀硬币抛掷4次，,X,表示正面向上次数，,Y,表示反面朝上次数。求(,X,Y,)联合分布律.,X,Y,0 4,1 3,2 2,3 1,4 0,P,(,X,=0,Y,=4)=,P,(,X,=2,Y,=2)=,=1/4,=6/16,P,(,X,=3,Y,=1)=,=1/4,P,(,X,=4,Y,=0)=0.5,4,=1/16,P,(,X,=1,Y,=3)=,0.5,4,=1/16,解：,概率非零(,X,Y,)可能取值对为:,其对应概率分别为：,=3/8,11/68,X,0,1,2,3,4,Y,0 1 2 3 4,表格为,：,0 0 0 0 1/16,0 0 0 1/4 0,0 0 6/16 0 0,0 1/4 0 0 0,1/16 0 0 0 0,12/68,例4.1.2,设随机变量,Y,N,(0,1),解:,(,X,1,X,2,),可能取值数对,及对应,概率,以下：,P,(,X,1,=0,X,2,=0)=,P,(|,Y,|1,|,Y,|2),=,P,(|Y|2),=2,2(2)=0.0455,P,(,X,1,=0,X,2,=1)=,P,(|,Y,|1,|,Y,|2),=,P,(1|,Y2),=2(2),(1),=0.2719,P,(,X,1,=1,X,2,=0)=,P,(|,Y,|1,|,Y,|2)=0,P,(,X,1,=1,X,2,=1)=,P,(|,Y,|1,|,Y,|2),=,P,(|,Y,|1),=0.6826,求,联合分布列.,13/68,列表为,：,X,1,0,1,X,2,0 1,0.0455 0.2719,0 0.6826,14/68,例,4.1.3,设随机变量,X,在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量,Y,在 1,到,X,中等可能地取一整数值。试求（,X,Y,）联合分布律.,15/68,设二维随机变量(,X,Y,)分布函数为,F,(x,y,)，若存在非负可积函数,f,(,x,y,)，使得,4.1.4,联合密度函数,则称(,X,Y,)为,二维连续型随机变量,。,称,f,(,x,y,),为,联合概率密度,，或,概率密度,。,16/68,联合密度函数基本性质,(1),f,(,x,y,),0,.,(非负性),(,2,),注意：,(正则性),17/68,例,4.1.4,若(,X,Y,),试求常数,A,.,18/68,解:,所以,A,=6,=,A,/6,19/68,例,4.1.5,若(,X,Y,),试求,F,X,2,Y,1,.,20/68,x,y,解:,F,X,2,Y,1,2,1,x,2,y,1,21/68,例,4.1.6,若(,X,Y,),试求,P,(,X,Y,),D,其中,D,为 2,x,+3,y,6.,22/68,3,2,2,x,+3,y,=6,x,y,0,解:,23/68,一、多项分布,4.1.5,惯用多维分布,若每次试验有,r,种结果：,A,1,A,2,A,r,记,P,(,A,i,)=,p,i,i,=1,2,r,记,X,i,为,n,次独立重复试验中,A,i,出现次数.,则(,X,1,X,2,X,r,)联合分布律为：,24/68,二、多维超几何分布,从中任取,n,只，,记,X,i,为取出,n,只球中，第,i,种球只数.,口袋中有,N,只球，分成,r,类。,第,i,种球有,N,i,只，,N,1,+N,2,+N,rN.,则(,X,1,X,2,X,r,)联合分布律为：,25/68,三、二维均匀分布,若二维连续随机变量(,X,Y,)联合密度为：,则称,(,X,Y,),服从,D,上均匀分布，,记为,(,X,Y,),U,(,D,).,其中,S,D,为,D,面积.,26/68,四、二维正态分布,若二维连续随机变量(,X,Y,)联合密度为：,则称(,X,Y,),服从二维正态分布，,记为 (,X,Y,),N,(,).,27/68,4.2,边缘分布,问题：,已知二维随机变量(,X,Y,)分布，,怎样求出,X,和,Y,各自分布？,28/68,4.2.1,边缘分布函数,巳知(,X,Y,)联合分布函数为,F,(,x,y)，,则,Y,F,Y,(,y,)=,F,(+,y,).,X,F,X,(,x,)=,F,(,x,+,),称为关于,X,和,Y,边缘分布函数,29/68,4.2.2,边缘分布律,巳知(,X,Y,)联合分布律为,p,ij,，,则,X,边缘分布律为：,Y,边缘分布律为：,30/68,X,Y,31/68,4.2.3,边缘密度函数,巳知(,X,Y,)联合密度函数为,f,(,x,y,)，,则,X,边缘密度函数为：,Y,边缘密度函数为：,32/68,由联合分布能够求出边缘分布.,但由边缘分布普通无法求出联合分布.,所以联合分布包含更多信息.,注 意 点,(1),33/68,二维正态分布边缘分布是一维正态分布若(,X,Y,),N,(,)，,注 意 点,(2),则,X,N,(,)，,Y,N,(,).,二维均匀分布边缘分布不一定是一维均匀分布.,34/68,例,4.2.2,设二维随机变量(,X,Y,)密度函数为,求概率,P,X,+,Y,1.,解:,P,X,+,Y,1=,y,=,x,x,+,y,=1,1/2,35/68,例,4.2.1,设(,X,Y,)服从区域,D,=(,x,y,),x,2,+,y,2,1时，,p,(,x,y,)=0，所以,p,(,x,)=0,当|,x,|1时,不是均匀分布,36/68,对二维随机变量(,X,Y,),在给定,Y,取某个值条件下,X,分布;,在给定,X,取某个值条件下,Y,分布.,4.3,条件分布,37/68,(1),条件分布律,：,4.3.1,条件分布,(2),条件概率密度,：,38/68,(4),条件分布函数,：,39/68,若满足以下之一:,i),F,(,x,y,)=,F,X,(,x,),F,Y,(,y,)，通式,ii),p,ij,=,p,i,.p.,j,，离散随机变量,iii),f,(,x,y,)=,f,X,(,x,),f,Y,(,y,)，连续随机变量,则称,X,与,Y,是,独立,，,4.4,相互独立随机变量,40/68,(1),变量,X,与,Y,是独立其本质是：,注 意 点,任对实数,a,b,c,d,，有,(2),X,与,Y,是独立，则,g,(,X)与,h,(,Y,)也是独立.,41/68,例,4.4.1,(,X,Y,)联合分布律为:,X,0,1,Y,0 1,0.3 0.4,0.2 0.1,问,X,与,Y,是否独立？,解:,边缘分布律分别为:,X,0 1,P,0.7 0.3,Y,0 1,P,0.5 0.5,因为,所以不独立,42/68,例,4.4.2,已知(,X,Y,)联合密度为,问,X,与,Y,是否独立？,所以,X,与,Y,独立,。,注意：,f,(,x,y,)可分离变量.,解:,边缘分布密度分别为:,43/68,注 意 点,(1),(1),(,X,Y,)服从矩形上均匀分布，则,X,与,Y,独立.,(2),(,X,Y,)服从单位圆上均匀分布，则,X,与,Y,不,独立.,见前面例子,(3)联合密度,f,(,x,y,)表示式中，若,x,取值与,y,取值相关系，则,X,与,Y,不,独立.,表示在变量取值,范围。,44/68,注 意 点,(2),(4)若联合概率密度,f,(,x,y,)可分离变量，即,f,(,x,y,)=,g,(,x,),h,(,y,),则,X,与,Y,独立。,(5)若(,X,Y,)服从二元正态,N,(,),则,X,与,Y,独立充要条件是,=0,.,45/68,4.4.2 n,维随机变量,设n维随机变量(X,1,X,2,X,n,)分布函数为,F,(,x,1,x,2,x,n,)，则,则称,f,(,x,1,x,2,x,n,),为,n维概率密度函数,。,F,(,x,1,x,2,x,n,)=P(X,1,x,1,X,2,x,2,X,n,x,n,),46/68,n,维随机变量边缘分布,设n维随机变量(X,1,X,2,X,n,)关于X,1,，关于(X,1,X,2,)边缘分布函数分别为：,47/68,n,维随机变量独立性,则称,X,1,X,2,X,n,是相互,独立,;,则称随机变量 和 是,相互独立,。,48/68,4.5,两个随机变量函数分布,问题：,已知二维随机变量(,X,Y,)分布，,怎样求出,Z,=,g,(,X,Y,)分布？,49/68,(1),设,(,X,1,X,2,X,n,)是,n,维离散随机变量，,而,Zg,(,X,1,X,n,)是,一,维离散随机变量.,4.5.1,多维离散随机变量函数分布,(2)多维离散随机变量函数分布是轻易求：,i)对(,X,1,X,2,X,n,)各种可能取值对，,写出,Z,对应取值.,ii)对,Z,相同取值，合并其对应概率.,50/68,4.5.2,连续函数卷积公式,定理4.5.1,设连续随机变量,X,与,Y,独立，,则 Z=,X+Y,密度函数为,51/68,离散函数卷积公式,设离散随机变量,X,与,Y,独立，,则 Z=,X+,Y,分布律为,52/68,卷积公式应用,例,4.5.1,X,与,Y,是独立同分布标准正态变,量，求 Z=,X+,Y,分布.,解：,所以 ZX+,Y,N,(0,2).,深入结论见后,53/68,例,4.5.2,设,X,与,Y,独立，,X,U,(0,1),Y,Exp,(1).,试求,Z,=,X,+,Y,密度函数.,解:,被积函数非零区域为：,0,x,0,用卷积公式：,(见下列图),54/68,x,z,1,z,=,x,所以有,(1)z 0 时,f,Z,(z)=0;,(2)0 z 1 时,f,Z,(z)=,(3)1 z 时,f,Z,(z)=,1,55/68,分布可加性,若同一类分布独立随机变量和分布仍是这类分布，则称这类分布含有,可加性,.,56/68,二项分布可加性,若,X,b,(,n,1,p,)，,Y,b,(,n,2,p,)，,注意,：,若,X,i,b,(1,p,)，且独立，则,Z=,X,1,+,X,2,+X,n,b,(,n,p,),.,且独立，,则,Z=,X+,Y,b,(,n,1,+,n,2,p,),.,57/68,泊松分布可加性,若,X,P,(,1,)，,Y,P,(,2,)，,注意,：,X,Y,不服从泊松分布.,且独立，,则,Z,=,X+,Y,P,(,1,+,2,),.,58/68,正态分布可加性,若,X,N,(,)，,Y,N,(,)，,注意,：,X,Y,不服从,N,(),.,且独立，,则,Z,=,X,Y,N,(),.,X,Y,N,(),.,独立正态变量线性组合仍为正态变量.(见下),59/68,独立正态变量线性组合仍为正态变量,X,i,N,(,i,i,2,),i,=1,2,.,n,.且,X,i,间相互独立,实数,a,1,a,2,.,a,n,不全为零,则,60/68,伽玛分布可加性*,若,X,Ga,(,1,)，,Y,Ga,(,2,)，,注意,：,X,Y,不服从,Ga,(,1,2,).,且独立，,则,Z,=,X,+,Y,Ga,(,1,+,2,),.,61/68,注 意 点,(1),独立0,-,1分布随机变量之和服从二项分布.,(2),独立指数分布随机变量之和服从伽玛分布.,62/68,4.5.3,最大值与最小值分布,例,4.5.3,设,X,与,Y,独立，且,X,Y,等可能地取值 0,和1.求,Z,=max(,X,Y,)分布律.,解:,X,0 1,P,1/2 1/2,Y,0 1,P,1/2 1/2,Z,=max(,X,Y,)取值为:0,1,P,(,Z,=0)=,P,(,X,=0,Y,=0),=,P,(,X,=0),P,(,Y,=0),=1/4,P,(,Z,=1),=,P,(,X,=0,Y,=1)+,P,(,X,=1,Y,=0)+,P,(,X,=1,Y,=1),=3/4,63/68,设,X,1,X,2,X,n,独立同分布，其分布函数和密度函数分别为,F,X,(,x,)和,f,X,(,x,).,普通情况,若记,Y=,max,(,X,1,X,2,X,n,),Z=,min,(,X,1,X,2,X,n,),则,Y,分布函数为:,F,Y,(,y,),=,F,X,(,y,),n,Y,密度函数为:,f,Y,(,y,),=n,F,X,(,y,),n,1,f,X,(,y,),Z,分布函数为:,F,Z,(,z,),=,1,1,F,X,(,z,),n,Z,密度函数为:,f,Z,(,z,),=n,1,F,X,(,z,),n,1,f,X,(,z,),64/68,4.5.4,变量变换法*,已知(,X,Y,)分布，(,X,Y,)函数,求(,U,V,)分布.,65/68,变量变换法详细步骤,有连续偏导、存在反函数,则(,U,V,)联合密度为,若,其中,J,为变换雅可比行列式：,66/68,增补变量法,可增补一个变量V,=,g,2,(,X,Y,)，,若要求,U,=,g,1,(,X,Y,)密度,p,U,(,u,)，,先用变量变换法求出(,U,V,)联合密度,f,UV,(,u,v,)，,用此方法能够求出卷积公式、积公式、商公式,然后再由联合密度,f,UV,(,u,v,)，去求出边际密度,f,U,(,u,),67/68,4.6,小结,基本概念：,二维随机变量、分布函数、离散型二维随机变量及其分布律合和边缘分布律、连续型二维随机变量及其概率密度和边缘概率密度、条件分布函数、条件分布律、条件概率密度、两个随机变量独立性、Z=X+Y概率密度、最大最小概率密度；,分布函数计算：,二维随机变量分布函数：,F,(,x,y,)=,P,(,X,x,Y,y,),Z=X+Y概率密度：卷积公式,最大最小概率密度：公式见P64,68/68,