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中考专题总复习第24题
★中考专题总复习第24题---二次函数大综合★
（每天一练30分钟）
1．（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k及直线y=kx+1交于A，B两点，点A在点B的左侧．
（1）如图1，当k=1时，求A，B两点的坐标；
（2）如图2，当k=1时, 抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k及x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），交y轴于P点，过原点的任意直线（不及y轴重合）交抛物线于M、N两点，连接MP，NP，求证：MP⊥NP．
（3）如图3，抛物线y=x2+（k﹣1）x﹣k（k＞0）及x轴交于点C、D两点（点C在点D的左侧），在直线y=kx+1上是否存在唯一一点Q，使得∠OQC=90°？若存在，请求出此时k的值；若不存在，请说明理由．
解：（1）

（2）

（3）
图1

图2

图3

2．（本题满分12分）如图，已知直线PQ：y＝kx＋b交抛物线y=x2于P,Q两点，及y轴正半轴交于点A，B是A点关于x轴的对称点，连接PB，QB.
（1）当k= -，b=2时，求P，Q两点的坐标；
（2）当直线PQ绕A点旋转时，求证：∠ABP=∠ABQ；
（3）若点A的坐标为（0，1），且∠PBQ=60º，试求所有满足条件的直线PQ的函数解析式.
解：（1）

（2）

（3）

3. (本小题满分12分)已知抛物线C：y=4x2，
（1）过点A的直线l：y=kx+3交y轴于B，交抛物线C于M，N两点，若BN=2BM，求：直线l的解析式；
（2）如图2，若点A是y轴正半轴上一点，抛物线C上任意一点到点A的距离等于这一点到直线y=a(a<0)的距离，求点A的坐标及a的值；
解：（1）

（2）

（3）
（3）如图3，将抛物线C平移到抛物线C1：y=4x2–8x，以O为顶点的Rt△OPQ的顶点都在抛物线C1上，且点P，Q都在x轴的上方，求证：直线PQ过一定点，并求这个定点的坐标.

4、已知抛物线y=-x²+2nx-n²+n的顶点为P，直线y=x+分别交x、y轴于点N、M.
(1)若点P在直线MN上，求n的值；

(2)是否存在过（0，-2）的直线及抛物线交于A、B两点（A点在B点的下方），使AB为定长，若存在，求出AB的长；若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，当四边形MABN的周长最小时，求n的值.
解：（1）

（2）

（3）

5．（本题12分）已知抛物线y＝x2＋c及x轴交于A(－1，0)，B两点，交y轴于点C
(1) 求抛物线的解析式
(2) 点E(m，n)是第二象限内一点，过点E作EF⊥x轴交抛物线于点F，过点F作FG⊥y轴于点G，连接CE、CF，若∠CEF＝∠CFG，求n的值并直接写出m的取值范围（利用图1完成你的探究）
(3) 如图2，点P是线段OB上一动点（不包括点O、B），PM⊥x轴交抛物线于点M，
∠OBQ＝∠OMP，BQ交直线PM于点Q，设点P的横坐标为t，求△PBQ的周长
解：（1）

（2）

（3）

6.已知，抛物线：，抛物线：（a＞0）.
（1）求证：无论取何值，抛物线经过x轴上一个定点；
（2）当=－2时，直线y=2交抛物线于 A、B()两点，交抛物线于第二象限内一点C ()，若，试求a的值；
（3）如图，当=0时，直线交抛物线于 A、B()两点，过A、B两点作直线的垂线，垂足为M、N, 请你说明不论取何值时，的值都为一定值.
解：（1）

（2）

（3）

7. 如图，已知直线AB：及抛物线交于A、B两点.
（1） 直线AB总经过一个定点C，请直接写出C点坐标；
（2） 当时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3） 若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°,求点D到直线AB的最大距离.
解：（1）

（2）

（3）

8（本题满分12分）如图，抛物线过原点O及点A（1，2），过点A的直线交抛物线于另一点B，交y轴于点C，过点A的另一条直线交抛物线于另一点D，交y轴于点E，且∠ACE＝∠AEC.
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 若△BCE的面积为3，求点C坐标；
（3） 在y轴存在点F，使四边形AFBD为平行四边形，求点B的坐标.
解：（1）

（2）

（3）

9．（本题12分）如图，动直线l：y＝kx＋2交抛物线y＝x2于A、B两点（A在B的左边），交y轴于M点，N为x轴正半轴上一点，且ON＝OM＋1
(1) 直接写出M、N两点的坐标
(2) 如图，连AN、BN，当∠ANB＝90°时，求k的值
过B作y轴的平行线交直线OA于C，试探求△MNC的周长的最小值
解：（1）

（2）

（3）

10.(本题满分12分)已知在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0，且a，b，c为常数)的对称轴为：直线x＝，及x轴分别交于点A、点B，及y轴交于点C(0，－)，且过点(3，－5) ，D为x轴正半轴上的动点，E为y轴负半轴上的动点.
(1)求该抛物线的表达式；
(2)如图1，当点D为(3，0)时，DE交该抛物线于点M，若∠ADC＝∠CDM，求点M的坐标；
(3)如图2，把(1)中抛物线平移使其顶点及原点重合，若直线ED及新抛物线仅有唯一交点Q时，y轴上是否存在一个定点P使PE＝PQ.若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）

（2）

（3）

11.(本题满分12分)已知抛物线经过A(-2，0)，B(0，2)，B(，0)三点，一动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)当BQ=AP时，求t的值；
(3)随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使△MPQ为等边三角形，若存在，请求出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）

（2）

（3）

12．（本题满分12分）点P为抛物线(为常数，)上任一点，将抛物线绕顶点G逆时针旋转90°后得到的新图象及轴交于A、B两点（点A在点B的上方），点Q为点P旋转后的对应点.
（1）当，点P横坐标为4时，求Q点的坐标；
（2）设点，用含、的代数式表示；
（3) 如图2，若原抛物线恰好也经过A点，点Q在第一象限内， 是否存在这样的点P，
使得AQ=GQ？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）

（2）

（3）

13．(本题满分12分)如图，已知抛物线(≠0)，及轴交于A、B两点，及轴交于点C，若．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接BC，点P、点Q是第一象限的抛物线上不同的两点，是否存在这样的P点，使得 恒成立？若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，D为抛物线的顶点在轴上的正投影，M为线段OC上一点，过点M作直线交抛物线于E、F两点，连接AE、OE、BF、DF，若△AEO∽△DFB，求M点的坐标.
解：（1）

（2）

（3）

14．（本题满分12分）直线垂直轴于点A（4，0），点P是直线上的一个动点，经过点P的抛物线及轴交于原点O和点B，抛物线的对称轴交OP于点C，交轴于点D，设P点的纵坐标为.
（1）求当点P及点A重合时抛物线的解析式；
（2）平移直线OP，使平移后的直线及抛物线有且只有一个公共点Q，试证明：无论为何值时，△OPQ的面积恒为定值，请说明理由并求其值；
（3）连接BC，试问：是否存在点P，使得△PBC为直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
解：（1）

（2）

（3）

15．（本题满分12分）已知抛物线（）交轴于A、B两点
（A在B点左侧），交轴负半轴于点C，对称轴为直线．
（1）当时，求抛物线在轴上截得的线段长；
（2）如图，过点B的直线交轴于点D，且BD⊥AC于点E，若OE平分∠AEB，CD=2OD，求抛物线的解析式；
解：（1）

（2）

（3）
（3）在（2）的条件下，已知M、N是抛物线上两点，且以M、N、O、B为顶点的四边形是以OB为对角线的平行四边形，求直线MN的解析式．

16．如图1，已知抛物线(≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）将直线OB向下平移个单位长度后，得到的直线及抛物线只有一个公共点D，求的值及点D的坐标；

（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P的坐标（点P、O、D分别及点N、O、B对应）．
解：（1）

（2）

（3）

图1

图2

17．在如图所示的平面直角坐标系中，直线y＝－x＋8及x轴、y轴分别交于A、E两点，点B在线段AE上，且AB＝
(1) 求经过A、B、O三点的抛物线的解析式
(2) 点D是线段AB上一动点（不及A、B重合），过D作DM∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB于N，过D作DF⊥MC于点F，设DF的长为x，MN的长为y，求y及x之间的函数关系式
(3) 在(2)的条件下，连ON，点G在线段BD上，过点G作GP∥MN交ON于点P，连MG，BP，S△CAN＝S△DMN，当∠MG－∠BPN＝45°时，求点P的坐标
解：（1）

（2）

（3）

18．（本题12分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是(4，0)，并且OA＝OC＝4OB，动点P在过A、B、C三点的抛物线上
(1) 求抛物线的解析式
(2) 是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由
(3) 过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标
解：（1）

（2）

（3）

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝mx2－(1＋3m)x＋5(m＜0)经过第一象限内的
定点P
(1) 直接写出点P的坐标
(2) 直线y＝2x＋6及抛物线C1相交于A、B两点，如图1所示，直线PA、PB及x轴分别交于C、D两点，当PD＝PC时，求抛物线解析式
(3) 如图2，直线y＝x＋1及x、y轴分别交于M、N两点，Q为直线MN延长线上一点，QH⊥x轴于H，将△QMH沿直线MN翻折得△QMG，MG交y轴于点T，若点G恰好在(2)中的抛物线上，求G点坐标
解：（1）

（2）

（3）

20．已知抛物线y＝x2－(k﹢2)x﹢和直线l：y＝(k﹢1)x﹢(k﹢1)2
(1) 求证：无论k取何实数值，抛物线总及x轴有两个不同的交点
(2) 抛物线于x轴交于点A、B，直线及x轴交于点C，设A、B、C三点的横坐标分别是x1、x2、x3，求x1·x2·x3的最大值
(3) 如果抛物线及x轴的交点A、B在原点的右边，直线及x轴的交点C在原点的左边，又抛物线、直线分别交y轴于点D、E，直线AD交直线CE于点G（如图），且CA·GE＝CG·AB，求抛物线的解析式
解：（1）

（2）

（3）

21．已知一次函数y1＝2x，抛物线y2＝mx2－3(m－1)x＋2m－1的顶点A在y轴上
(1) 求抛物线y2解析式
(2) 将y2作平移使其顶点为E(1，－4)得y3，y3交y轴于B、D（D在右侧），交y轴于点C，点P是y3在x轴下方的抛物线上一动点．设△PCD的面积为S，若S为整数，则这样的△PCD共有多少个，为什么？
(3) 是否存在抛物线y4＝ax2＋bx＋c，使其经过点(－5，2)，且对于任意一个实数x，这三个函数所对应的函数值y1、y2、y4，都有y1≤y2≤y4成立？若存在，求出抛物线y4的解析式；若不存在，请说明理由
解：（1）

（2）

（3）

22. （本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线C：y=x4x+4 (0＜＜2)，
（1）当C及x轴有唯一交点时，求C的解析式。
（2）若=1，将抛物线C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得抛物线C，抛物线C及x轴相交于M、N两点（M点在N点的左边），直线y=kx（k＞0）及抛物线C相交于P、Q（P在第三象限）且△NOQ的面积是△MOP的面积的4倍。求k的值。
（3）若A（1，y），B（0，y），C（－1，y）三点均在C上，连BC，作AE∥BC交抛物线C于E，求证：当值变化时，E点在一条直线上。
解：（1）

（2）

（3）

23.（本题满分12分）如图1，抛物线ya4及x轴交于A、B两点，及y轴交于点C，M为抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，E是线段DM上一点，DE1，且∠DBE∠BMD。
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一点，且△PBE是以BE为一条直角边的直角三角形，请求出所有符合
条件的P点的坐标；
（3） 如图2，N为线段MD上一个动点，以N为等腰三角形顶角顶点，NA为腰构造等腰△NAG，
且G点落在直线CM上，若在直线CM上满足条件的G点有且只有一个时，求点N的坐标。
解：（1）

（2）

（3）

24.如图，抛物线y＝－－x－4的顶点为点E，对称轴交x轴于点D.直线y ＝kx-2k -4及抛物线交于A，B两点，交抛物线对称轴于点C.
(1)请直接写出点C的坐标；
(2)当k变化时
①求△ABD面积的最小值；②请直接写出S△ACD·S△EBC的取值范围或值.
(3)求∠ADB＝90°时，k的值.
解：（1）

（2）

（3）

25．（本小题满分12分）
如图1，已知抛物线，及x轴交于点A和点B（3，0）（A在B左边），及y轴交于点C，当x＜1时，y随着x的增大而增大，当x＞1时，y随着x的增大而减小．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点P（1，t）（t＞0），设抛物线的顶点E，问：是否存在实数t，使以P点为圆心的⊙P恰好在线段AB和线段BE上截得的线段的长相等？若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由．

（3）如图2，若直线（k＞0）及x轴交于N，交y轴于D，已知F（0，），直线AF及DN交于M，连CM、CN、CA，求证不论k取何值，为定值．

26．（本题12分）已知二次函数C1：y＝x2＋(2m＋1)x＋m2的图象及y轴交于点C，顶点为D
(1) 若不论m为何值，二次函数C1图象的顶点D均在某一函数的图象上，直接写出此函数的解析式
(2) 若二次函数C1的图象及x轴的交点分别为M，N，设△MNC的外接圆的圆心为P，试说明⊙P及y轴的另一个交点Q为定点，并判断该定点Q是否在(1)中所求函数的图象上
(3) 当m＝1时，将抛物线C1向下平移n（n＞0）个单位，得到抛物线C2，直线DC及抛物线C2交于A、B两点，若AD＋CB＝DC，求n的值
解：（1）

（2）

（3）

27.如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2-2ax-3及x轴交于A、B，且AB=4，及y轴交于C点，
（1）求抛物线的解析式
（2）点P从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时点Q从B点出发在线段BC上以每秒个单位长度的速度向C点运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，当△PBQ存在时，求运动多少秒使△PBQ的面积最大，最大面积是多少？
解：（1）

（2）

（3）
（3）若平行于直线AC的直线及抛物线交于M、N两点，若抛物线上存在一个定点D，使过D点且平行于x轴的直线DE平分∠MDN，求D点坐标和的值

28．(本小题满分12分)如图，已知抛物线的顶点为P，及y轴交于点C，对称轴交x轴于点D，直线+b(k>0)及抛物线交于M、N两点, 交对称轴于点B.
（1）若k=1,b=3时，求M，N两点坐标；
（2）若b=2—k时，直线MN交PC的延长线于点A，求的最小值；
（3）若直线MN过点Q(1，2)，过M，N两点分别作ME⊥x轴于点E，NF⊥x轴于点F, 求证ME+NF=MN。
解：（1）

（2）

（3）

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